Algebraic cryptography: new constructions and their security against provable break

tofupootleAI and Robotics

Nov 21, 2013 (3 years and 6 months ago)

267 views

￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿
￿
￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿
1
￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
2
￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿
2
1
￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿
59655￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
2
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿
￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿
￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿
￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ NP = RP￿
￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ϕ(n)￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿ n = pq￿ ￿￿￿￿￿ p ￿￿￿ q ￿￿￿
￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿ ￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿ H ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ G ￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ f:G →
H ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ R ￿￿ ￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿
￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿
Ker(f) ￿￿ G￿ A ￿￿ ￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿ P:A → G ￿￿￿￿￿￿￿￿
Im(P) = Ker(f)￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿ S = (R,A,P) ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ H ￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ f ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ A￿ G￿ H￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ G ￿￿ H￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ N￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ N ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ G￿ H￿ ￿￿￿ A￿
￿ |R| = |H|￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ f(g) ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ g ∈ R ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
g ∈ R ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ f(g) = h ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ h ∈ H ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ N￿ ￿￿￿￿￿
￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ P ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿ ￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿y
2
= x
3
+ax+b ￿￿ y
2
+xy = x
3
+ax
2
+b￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿
￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ 20 ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿
￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿
￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿
￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ P ￿= NP￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ P ￿= NP ￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿
￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ S ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ (G,E,D) ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ G ￿￿ ￿￿￿￿￿ 1
n
￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿
G(1
n
) = (e,d) ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ E ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ e ￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ m ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
E(e,m) = c.
￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ D ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ d ￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ c￿ ￿￿￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿ D ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿
D(d,c) = m
￿
,
￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ m ￿￿￿￿ E(e,m) = E(e,m
￿
)￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ (G,E,D) ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ M ￿￿￿ A￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ h￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ Q ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ B ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ k￿
Pr
r
£
A(1
k
,c,e) = h(m) | (e,d) ←
r
G(1
k
),m←
r
M(1
k
),c ←
r
E(e,m)
¤

≤ Pr
r
£
B(1
k
) = h(m) | m→
r
M(1
k
)
¤
+
1
Q(k)
.
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ M ￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ M ￿M ￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿
￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿
￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ f ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿￿￿ f ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿
￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿ ￿A￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿B￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿
￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿
￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿
￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿
￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ m
￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ c￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ m ￿￿￿￿ c￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ E(m) ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿ m￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ E ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ E ￿￿ ￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ r￿ ￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ e￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ m￿ ￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ r ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ E(r,e,m) = c￿
￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ {r
1
,...,r
k
} ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
E(m,pk,r
1
) =...= E(m,pk,r
k
)￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿
￿￿￿￿￿ k > 1￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿
￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿
￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ RP￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿=￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿⊆￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ C ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ (G,E,D) ￿￿ ￿￿￿
￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ m ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ pk ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ (pk,sk) ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ G(1
n
)￿
Pr [C(E(m,pk,r),pk) = (m,r
￿
)] ≥
1
poly(n)
,
￿￿￿￿￿ E(m,pk,r
￿
) = E(m,pk,r)￿ ￿￿￿ n ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿
￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿ E ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ C ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
(G,E,D) ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ m￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ (pk,sk) ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ G(1
n
)￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ E
Pr [C(E(m,pk,r),pk) = (m,r
￿
)] ≥
1
poly(n)
,
￿￿￿￿￿ E(m,pk,r
￿
) = E(m,pk,r)￿ n ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ C￿
￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ (G,E,D) ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿
￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ C ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿ ￿￿ (G,E,D)￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿
￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿ G ≤ GL(n,F) ￿￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ F
n
￿ ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿ X ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ f:F
n
→X
￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ∀g ∈ G f(gx) = f(x)￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿ M ⊆ F
n
￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ m
1
￿= m
2
∈ M f(m
1
) ￿= f(m
2
)￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿ (G,f,M)￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿ G ￿￿￿ M￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿ m ∈ M ￿m ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ g ∈ G￿ ￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ gm￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿
f(gm) = f(m)￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ M ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ f(m) ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ m￿ ￿￿ ￿￿￿￿
￿ ￿￿￿￿￿￿ (G,f,M) ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿
￿
￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿ (G,f,M)￿
￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ G￿ f￿ ￿￿￿ M￿
￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿
￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿⊆￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿ SL
2
(Z) ￿￿ 2×2￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ 1 ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿ X ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ S ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ N
￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ X ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿
Q
m
i=1
Y
i
￿ ￿￿￿￿￿ m ≤ N ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ i ￿￿￿￿￿￿
Y
i
￿￿ Y
−1
i
￿￿ ￿￿ S￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ G ￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿
G =
½µ
1 x
0 1

,x ∈ Z
¾
.
￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿
f
µ
x
1
x
2

= x
2
,
￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
M =
½µ
1
x

,x ∈ Z
¾
.
￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ g ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿￿￿ N ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ m￿￿￿￿ gm￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ gm￿￿￿ N￿ ￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿ f(gm) ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ m ￿￿ ￿￿￿￿
￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ C ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ NP ⊆ RP￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿
µ
1 λ
0 1
¶µ
1 µ
0 1

=
µ
1 λ +µ
0 1

.
￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
1
n
Const
￿
￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ 3/4 ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ NP ⊆ RP￿
￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿ ￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿
￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿
￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ v ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿ (G
v
,f
v
,M
v
)￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿
￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ v ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ G
v
￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ G
v
≤ GL(n,R) ￿￿￿ ￿￿￿￿ n ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ R￿
￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ (G,f,M)￿ ￿￿￿￿￿ G ≤ GL(n,R) ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿
f ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ f:R
n
→R ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ∀g ∈ G∀x ∈ R
n
f(gx) = f(x)￿ ￿￿￿
M ⊂ F
n
￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ∀m￿= m
￿
∈ M f(m) ￿= f(m
￿
)￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ R￿ n￿ G ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ M￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ f ￿￿ f ◦ h ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ M ￿￿ h(M)￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿
￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ G ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ O ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ (G,f,M)
￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿ ￿￿￿ G
0
⊂ G ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿ P(G
0
,O) ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ (G,f,M,T) ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿
￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ (G,f,M,T)￿ ￿￿￿￿￿ G ∈ G
0
￿ (G,f,M) ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ T ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ G￿
￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ {(G
i
,f
i
,M
i
,T
i
)}
s
i=1
￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ o ∈ O ￿￿ ￿￿￿￿￿
s￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ P(G
0
,O) ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ (G,f,M,T)￿ ￿￿￿￿￿ G = o(G
1
,...,G
s
)￿
f = o(f
1
,...,f
s
)￿ M = o(M
1
,...,M
s
)￿ ￿￿￿ T ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ T
1
,...,T
s
￿￿
￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ o￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ T
1
,...,T
s
￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿
￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ φ:R → R
￿
￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿R
￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿ R ￿￿￿￿
ϕ:R
￿
→R￿ ￿￿￿ φϕ = id￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ f ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ φ(f) ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿
φ(f)(x
￿
) = f(ϕ(x
￿
))￿ ￿￿ ∀x ∈ R
n
,g ∈ G f(x) = f(gx) ￿￿￿￿
∀x
￿
∈ R
￿n
,g ∈ G φ(f)(gx
￿
) = f(gϕ(x
￿
)) = f(ϕ(x
￿
)) = φ(f)f(x
￿
).
￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿
￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ C ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ Z￿
￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ m,m
￿
∈ M ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ φ(m) = φ(m
￿
) ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ φ(M)￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ φ(M) ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ g ￿→ h
−1
gh￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ f(x) ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ f
￿
(x) = f(hx)￿ ￿￿
∀g ∈ G∀x ∈ R
n
f(gx) = f(x) ￿￿￿￿
∀g ∈ G∀x ∈ R
n
f
￿
(h
−1
ghx) = f(hh
−1
ghx) = f(g(hx)) = f(hx) = f
￿
(x).
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ M ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ G
1
,G
2
￿→ G
1
× G
2
￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ G
1
≤ GL(n
1
,F) ￿￿￿ G
2
≤ GL(n
2
,F) ￿￿￿￿ G
1
×G
2
≤ GL(n
1
+n
2
,F)￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ f
1
(x)￿ f
2
(x) ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ G
1
￿ G
2
￿ ￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿ f ∈ ￿f
1
(x),f
2
(y)￿ ≤ R[x,y] ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ G
1
× G
2
￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ M
1
× M
2
￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ G￿ H￿ ￿￿￿￿￿ G ≤ GL(n,R)￿ H ≤ S
m
￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ G￿ H ￿￿ R
mn
￿￿￿￿￿￿ ￿￿
(g
1
,...,g
m
,π)
0
@
x
1
...
x
m
1
A
=
0
@
g
1
x
π(1)
...
g
m
x
π(m)
1
A
.
￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ f￿ ￿￿ ∀g ∈ G,x ∈ R
n
f(gx) = f(x) ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿
￿￿￿ G￿ H ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ f
m
￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ M
m
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ Δ = {(x,...,x) | x ∈ M} ￿￿
￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ o ∈ O ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿o(G) =
G￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ f ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ M￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿
￿￿ f ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿
￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ H(f)￿ ￿￿ f ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ G￿ ￿￿￿ ∀g ∈ G ≤ GL(n,F) det g = ±1
￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ F ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿
H(f) = det
µ

2
f
∂z
i
∂z
j

￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ G ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ M ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ J￿ ￿￿ f
1
,...,f
n
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ G ≤ SL(n,F) ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ F ￿￿ ￿
￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿
J(f
1
,...,f
n
) = det
µ
∂f
i
∂z
j

￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ n ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ C
￿￿ R￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ Q￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ Q ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ C￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ f ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿ G ≤ GL(n,C) ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ G ≤ GL(n,Q) ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ G
￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ C ￿￿￿
￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ Q￿
￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿
￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ 4 ￿￿
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ a
G
￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ a ∈ F
n
￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿ G ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿
Q
b∈a
G
(x+b)￿ ￿￿￿￿￿ x ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿ G￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ G￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
P
b∈a
G
b ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ G￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿
￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ a ￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ S
n
￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ F
n
S
n

GL(n,F) ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ x
1
+...+ x
n
￿￿ x
1
...x
n
￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ Z
n
￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ g ∈ GL(m,F) ￿￿￿￿
￿￿￿￿ g
n
= e ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ f ￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ f(x) = f(gx)￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ Z
n
￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿
ξ
n
e￿ ￿￿￿￿￿ ξ
n
￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ n￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ e ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ n ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ Z
n
￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿
0
B
@
ξ
1
...0
￿
￿
￿
￿
￿
￿
0...ξ
m
1
C
A
,
￿￿￿￿￿ ξ
i
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ξ
n
i
= 1￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿
￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ C[x
n
1
,...,x
n
m
]￿
￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ D
2k
￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ D
2k
→GL(2,R) ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ D
2k
￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿
D
2k
=
¿µ
cos

k
−sin

k
sin

k
cos

k

,
µ
1 0
0 −1
¶À
.
￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
q = x
2
+y
2
,h =
k−1
Y
i=0
µµ
cos
2πi
k

x +
µ
sin
2πi
k

y

.
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ p ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ D
2p
￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ D
2p

GL(2,F
p
) ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ F
p
￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
D
2k
=
¿µ
1 1
0 1

,
µ
−1 0
0 1
¶À
.
￿￿
￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ F
p
[y,(xy
p−1
− x
p
)
2
]￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ F
p
[x
2
,y(y
p−1
−x
p−1
)]￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ SO(2l,F) ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ charF ￿= 2￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ (−1)
det g
￿￿￿ ￿
g ∈ SO(2l,F)￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿
￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ Sp(2n,F) ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ f ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ d￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿
¡
n+d+1
d
¢
￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ f(g
i
m
j
) = f(m
j
) ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ m
j
∈ M
￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ g
i
∈ G￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿ M ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ f = const￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ d ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿
¡
n+d+1
d
¢
￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ S
n
￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ τ
ij
￿￿
￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿
f(x
1
,...,x
n
) = x
1
+...+x
n
.
￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ m
i
= (m
i1
,...,m
in
)￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
h = λ
1
x
1
+...+λ
n
x
n
￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ h￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ τ
ij
￿￿ h(τ
ij
x) = h(x) ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ λ
i
= λ
j
￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ M￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ M￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ m ∈ M ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ m
G
￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ E(m) ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ g ∈ G
￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ E(m) ￿￿￿ gm￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿ ￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿
GL(n,F) ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ 1￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿ a ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ a
−1
Ga = H
￿￿￿ ￿￿￿￿￿ G ￿￿￿ H￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿
￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿
￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿
￿￿￿ G ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ A ￿￿￿ B ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ G
G
A
= ￿a
1
,...,a
m
￿,G
B
= ￿b
1
,...,b
n
￿.
￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ G
A
￿￿￿
G
B
￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ G
˜
G
A
￿￿￿
˜
G
B
￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿a
1
,...,a
m
￿
￿￿￿ ￿b
1
,...,b
n
￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ G￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿ G ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ a
i
￿ 1 ≤ i ≤ m￿ ￿￿￿ b
j
￿ 1 ≤ i ≤ n￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿ A ￿￿￿ B ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ a ∈ G
A
￿￿￿ b ∈ G
B
￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿
￿￿￿￿ ￿￿￿￿ N ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
X
A
= {a
−1
b
j
a}
n
j=1
,X
B
= {b
−1
a
i
b}
m
i=1
.
￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ A ￿￿￿￿￿￿ B￿ ￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ a ￿￿￿￿￿￿ b￿
￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ G
A
￿￿￿￿￿￿ G
B
￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
b
−1
ab ￿￿￿￿￿￿ a
−1
ba￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ X
A
￿￿￿￿￿￿ X
B
￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
a
−1
(b
−1
ab) = [a,b] = (a
−1
ba)
−1
b.
￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿ a ∈ G
A
￿￿￿ b ∈ G
B
￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ a
￿
￿￿ G
A
￿￿￿ b
￿
￿￿ G
B
￿ ￿￿￿￿￿
X
A
= {a
￿
−1
b
j
a
￿
}
n
j=1
,X
B
= {b
￿
−1
a
i
b
￿
}
m
i=1
.
￿￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ G ￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ G
A
￿￿￿ G
B
￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ⊆ ￿￿￿ ￿￿￿
￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ G
A
￿￿￿ G
B
￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ G
˜
G
A
￿￿￿
˜
G
B
￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿a
1
,...,a
m
￿ ￿￿￿ ￿b
1
,...,b
n
￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ M ￿￿￿￿
￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ N￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ I = {a
1
,...,a
m
￿ b
1
,...,b
n
￿
a
−1
b
1
a,...,a
−1
b
m
a￿ b
−1
a
1
b,...,b
−1
a
n
b} ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿
Pr[M(I) = a
￿
1
,s
1
,...,a
￿
f
,s
f
,b
￿
1
,t
1
,...,b
￿
g
,t
g
] ≥ 1/p(N),
￿￿
￿￿￿￿￿ G
A
= ￿a
1
,...,a
m
￿ ￿￿￿ G
B
= ￿b
1
,...,b
n
￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ a ∈ G
A
￿
b ∈ G
B
￿ a
￿
=
Q
f
i=1
a
￿
s
i
i
￿ b
￿
=
Q
g
j=1
b
￿
t
j
j
￿ a
￿
i
∈ {a
i
}
m
i=1
￿ b
￿
j
∈ {b
j
}
n
j=1
￿ a
￿
−1
b
j
a
￿
= a
−1
b
j
a￿ ￿￿￿ ￿￿￿
1 ≤ j ≤ n￿ b
￿
−1
a
i
b
￿
= b
−1
a
i
b￿ ￿￿￿ ￿￿￿ 1 ≤ i ≤ m￿ s
i
￿￿￿ t
j
￿￿￿ ￿￿ {−1,1} ￿￿￿ ￿￿￿ 1 ≤ i ≤ f ￿￿￿
1 ≤ j ≤ g￿ f,g ≤ N ￿￿￿ p ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ M￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ M ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿ M￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ M
￿
￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿ p(N)/2 ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ M ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ (X,{Y
i
}
i
,N) ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿ X =
Q
m
i=1
Y
￿
s
i
i
￿ ￿￿￿￿￿ Y
￿
∈ {Y
i
}
i
￿ m ≤ N￿ s
i
∈ {−1,1} ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ G
A
￿￿￿ G
B
￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ Pr[M
￿
￿￿￿￿￿￿￿] ≥ 1/2￿
￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ Pr[M
￿
￿￿￿￿￿￿￿] = 0￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ M ￿￿ ￿￿￿￿ a = b = X,a
i
= b
i
= Y
i
￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿
a
−1
b
1
a,...,a
−1
b
m
a￿ b
−1
a
1
b,...,b
−1
a
n
b ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ⊆ ￿￿￿ ￿￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ G
A
￿￿￿ G
B
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿
￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ G
A
￿￿￿ ￿￿ G
B
￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿
￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ G ￿￿ ￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿
G ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ O￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿
￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ G￿ ￿￿￿ ￿
￿￿￿ G
0
⊂ G ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿ P(G
0
,O) ￿￿
￿￿￿￿￿ (G,T)￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ O ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ R ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ V ￿￿ ￿￿ R￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ G ≤ GL(V,R)￿ ￿￿￿￿￿ u ∈ V ￿￿￿ v ∈ u
G
= {u
g
:g ∈ G} ￿￿￿ g ∈ G ￿￿￿￿ ￿￿￿￿
v = u
g
￿
￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ 3.4￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿ G ∈ G￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ G￿ ￿￿￿ ￿￿￿ G ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿
￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿
￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿
￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ 2￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ 29￿￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ 2001 ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿
￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿
￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ 8￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ 1￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿
￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ 3n ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ 44￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ 22￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ 7￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿80￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿
￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿
￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ 25
￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿
5￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿98￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ 37￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ 26￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿
24￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ 27￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿86￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿