Pid 2004-1

steamgloomyElectronics - Devices

Nov 15, 2013 (3 years and 8 months ago)

56 views

Discrete
-
time controllers

structures and tuning

Š. Kozák 2000,


Department of Automatic Control Systems

For Vienna University


PID
regulátory


spätnoväzbové
štruktúry


Riadenie (CO)

u
(t) :


Proportional gain

Integral gain

Derivative gain











dt
de
K
d
e
K
t
e
K
t
u
d
t
I
p


)
(
)
(
)
(
0
Proportional feedback gain K
P


Proportional control :


Feedback control c(t) is linearly proportional
to the error :


Steady state error will decrease



Faster response


Too much gain will make the system
unstable

)
(
)
(
t
e
K
t
u
p
p

Integral feedback gain K
I


Integral control:


Penalty on the past error


Zero steady state error


Destabilizing influence


It gets oscillatory as K
I

increases



d
e
K
t
u
t
I
i


0
)
(
)
(
Derivative feedback gain K
D


Derivative control:



Stabilize the system:


reduce oscillatory behavior



Create a damping effect in the system
dynamics



It makes system slow down

dt
de
K
t
u
D
D

)
(
Continuous regulator: principle of PID

set
-
point

plant

command

variable

K
i

K
p

K
d

d



d

dt

PID

The proportional factor K
p

generates an output proportional to the error, it requires a non
-
zero error to produce the command variable.

Increasing the amplification Kp decreases the error, but may lead to instability

The integral factor K
i

produces a non
-
zero control variable even when the error is zero,

but makes response slower.

The derivative factor K
d

speeds up response by reacting to an error step with a control
variable change proportional to the step.

error

process value

integral factor

derivative
factor

proportional factor

measurement

PID response

asymptotic error:

proportional only

too much proportional

factor: unstable

no remaining error,

but sluggish

response:

integral only

differential factor

increases responsiveness

Performance specifications of the closed loop
system (step response
)


Steady state error:



Maximum overshoot:



Delay time:


Rise time:


Settling time:

Digital control systems

Digital realisation of an “analogue type” controller

ADC
-

Digital controller
-

DAC

should behave the same as an
analogue controller (e.g. PID type), which implies
the use of a high
sampling frequency

(the algorithm implemented is very simple)


Bad use of the potentialities of the digital controller

System

Digital

Controller

y(t)

Perturbations

e
(
t)

y
ref
(t)

+

-

DAC

ADC

e
(
k)

u(k)

u(t)

T
s

“Il ne suffit pas de mettre un TIGRE (microprocesseur ou DSP) dans
son régulateur, il faut rajouter de l’intelligence”

System

Digital

Controller

y(t)

Perturbations

Yref(k)

+

-

DAC

e(k)

u(k)

u(t)

Ts

The sampling frequency is chosen in accordance with the bandwidth
desired for the closed
-
loop system

Intelligent use of the “computer” : high sampling period and then
implementation of complex algorithms requiring greater computation
time.


Not only a copy of analogue control : BRAINWARE

ADC

y(k)

Discretized System

Digital control systems

Discrete
-
time system models


and


digital control algorithms


y(k) = f[y(k
-
i), u(k
-
j)]

or

G
(z
-
1
) = z
-
d

B(z
-
1
)/A(z
-
1
)

Choice of sampling frequency


fs = 1/Ts = (6 to 25) *
f
CL
B



fs : sampling period


f
CL
B
: bandwidth of the closed
-
loop system

If fs is fixed => limit for
f
CL
B

(


fs /15 )

No more

Úvod do prepočtov spojitých
regulátorov na diskrétne formy


Ideálne „textbook“
PID

regulátory


Neideálne formy a opisy
PID

regulátorov


Podmienky
ekvivalentnosti

spojitých a
diskrétnych PID regulátorov vzhľadom
na periódu vzorkovania


Rekurentné formy



diferenčné rovnice
diskrétnych PID regulátorov


PID regulátory s
ohraničením riadiaceho

zásahu











dt
t
de
T
d
e
T
t
e
K
t
u
d
t
i
)
(
)
(
1
)
(
)
(
0


s
r
s
r
r
s
T
s
T
K
s
G
d
i
R
1
1
0
)
(
1
1
)
(













d
i
KT
r
T
K
r
K
r




1
1
0
Neidealizovaný (reálny) PID regulátor obsahuje v derivačnej zložke

oneskorovací člen (zabezpečujúci realizovateľnosť derivačnej zložky).


















s
T
s
T
s
T
K
s
G
f
d
i
R
1
1
1
)
(


Základné spojité formy PID regulátorov

Neideálna forma opisu PID (realizovateľná)

)
)
(
(
)
(
/
f
T
t
f
d
i
e
dt
de
T
T
dt
e
T
t
e
K
t
u





1
ff

=T
d
*(
1
/T
f
*Dirac(t)
-
1
/T
f
2
*exp(
-
t/T
f
))

Základné diskrétne formy opisu PID regulátora



Prenosová funkcia diskrétneho regulátora v s a z
-
oblasti :

)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
z
E
z
U
z
z
q
z
q
q
z
G
s
E
s
U
s
T
s
T
K
s
G
R
d
i
R













1
2
2
1
1
0
1
1
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
z
E
z
U
z
p
z
p
z
q
z
q
q
z
G
s
E
s
U
s
T
s
T
s
T
K
s
G
R
f
d
i
R
















2
2
1
1
2
2
1
1
0
1
1
1
1









s
s
G
z
z
z
G
G
z
G
R
R
TC
R
)
(
)
(
)
(

1























i
f
d
f
d
T
T
T
T
D
K
q
T
T
K
q
2
1
1
1
1
0
f
T
T
i
d
f
d
e
D
D
T
T
T
T
K
q












1
1
2
1
)
(
1
2
1
1
1
D
p
D
p




)
2
(
)
1
(
)
(
)
2
(
)
1
(
)
(
2
1
0
2
1










k
e
q
k
e
q
k
e
q
k
u
p
k
u
p
k
u
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
1
2
1
0







k
e
q
k
e
q
k
e
q
k
u
k
u
2.

1.





































































)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
f
f
f
d
f
f
f
f
d
f
f
d
f
d
f
d
i
R
T
s
T
T
T
L
T
s
T
T
s
T
T
L
T
s
s
T
T
L
s
T
s
T
Ĺ
s
E
s
U
s
T
s
T
s
T
K
s
G
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
ff

=T
d
*(
1
/T
f
*Dirac(t)
-
1
/T
f
2
*exp(
-
t/T
f
))

Doplnok :

Ako určiť originál k derivačnej zložke


1. Ak nahradíme integrál v spojitej verzii sumou (obdlžníková náhrada)
deriváciu diferenciou prvého rádu, potom v k
-
tom diskrétnom kroku
riadiaci zásah je vyjadrený





kde

P
-

je koeficient zosilnenia odpovedajúci proporcionálnemu zosilneniu
spojitého PID regulátora,
T
i



resp.
T
d
sú koeficienty odpovedajúce
integračnej resp. derivačnej časovej konštante spojitého regulátora

(















k
i
d
i
k
e
k
e
T
T
i
e
T
T
k
e
K
k
u
1
1
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
Rekurentný vzťah pre riadiaci zásah sa určí rozdielom u(k)
-
u(k
-
1)

(



















1
1
2
1
1
1
1
k
i
d
i
k
e
k
e
T
T
i
e
T
T
k
e
K
k
u
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
(















k
i
d
i
k
e
k
e
T
T
i
e
T
T
k
e
K
k
u
1
1
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(


k



k
-
1


(




















)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
2
1
1
1
k
e
k
e
k
e
T
T
k
e
T
T
k
e
k
e
K
k
u
k
u
k
u
d
i


-

odčítaním

Základné diskrétne formy PID regulátorov (DPID)

(

)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
2
1
1
2
1
2
1
1
1




























k
e
T
T
K
k
e
T
T
T
T
K
k
e
T
T
K
k
e
k
e
k
e
T
T
k
e
T
T
k
e
k
e
K
k
u
k
u
k
u
d
i
d
d
d
i

q
0

q
1

q
2

)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
1
2
1
0







k
e
q
k
e
q
k
e
q
k
u
k
u
q
0

> 0

q
1
>
-

q
0


-
(
q
0
+q
1
) <

q
2
< q
0

Podmienky ekvivalentnosti :









T
T
K
q
d
1
0














T
T
T
T
K
q
d
i
2
1
1


T
T
K
q
d

2


q
0

u(k)

q
0
-
q
2

2q
0
+q
1

t=
k
T

q
0
+q
1
+

q
2

PCH
-

PID REGUL
Á
TORA
-
PODM.EKVIVALENTNOSTI

q
0

> 0

q
1
>
-
q
0


-
(
q
0
+q
1
) <

q
2
< q
0

K(1+c
d
)

u(k)

K

K(1+c
i
)


t=
k
T

Kc
i

PCH
-

PID REGUL
Á
TORA
-
PODM.EKVIVALENTNOSTI

c
d

> 0

c
i

> 0

c
i
<

c
d

u(k)

q
0

t=kT

PCH
-

PI REGUL
Á
TORA
-
PODM.EKVIVALENTNOSTI

q
0
+q
1

(

)]
(
)
(
)
(
[
)
(
)]
(
)
(
[
)
(
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
2
1
1
1
2
2
1
2
1
2
1
1
1
1





















































k
y
k
y
k
y
T
T
K
k
e
T
T
K
k
y
k
y
K
k
u
k
y
k
w
k
y
k
w
k
y
k
w
T
T
k
e
T
T
k
y
k
w
k
y
k
w
K
k
u
k
u
d
i
d
i
(

)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
2
1
1
2
1
2
1
1
1




























k
e
T
T
K
k
e
T
T
T
T
K
k
e
T
T
K
k
e
k
e
k
e
T
T
k
e
T
T
k
e
k
e
K
k
u
k
u
k
u
d
i
d
d
d
i




w(k)=w(k
-
1)=w(k
-
2)

)]
(
)
(
)
(
[
)
(
)]
(
)
(
[
)
(
)
(
2
1
2
1
1
1














k
y
k
y
k
y
T
T
K
k
e
T
T
K
k
y
k
y
K
k
u
k
u
d
i
Iné formy a vyjadrenia diskrétneho PID regulátora

Takahashiho vzťah (feedforward forma diskrétneho PID
-
u):

(

(





































)
(
)
(
)]
(
)
)
(
)
(
[(
)
(
)
(
)
(
)
(
]
)
(
)
)
(
)
(
[(
)
(
)
(
2
1
2
1
0
1
1
1
2
0
2
1
1
1
k
e
k
e
T
T
i
e
k
e
e
T
T
k
e
K
k
u
k
e
k
e
T
T
i
e
k
e
e
T
T
k
e
K
k
u
d
k
i
i
d
k
i
i

















T
T
k
e
T
T
T
T
k
e
T
T
T
T
k
e
K
k
u
k
u
d
i
d
d
i
)
(
)
)(
(
)
)(
(
)
(
)
(
2
2
2
1
1
2
1
1
q
0

q
1

q
2

)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
1
2
1
0







k
e
q
k
e
q
k
e
q
k
u
k
u
-

2.

Ak nahradíme integrál v spojitej verzii sumou
(lichobežníková náhrada)

deriváciu diferenciou prvého rádu, potom v k
-
tom a k
-
1 diskrétnom kroku
riadiaci zásah je vyjadrený













T
T
T
T
K
q
d
i
2
1
0














i
d
T
T
T
T
K
q
2
2
1
1




T
T
K
q
d

2
)
2
(
)
1
(
)
(
)
(
2
1
0






k
e
q
k
e
q
k
e
q
k
u
)}
2
(
{
)}
1
(
{
)}
(
{
)}
1
(
{
)}
(
{
2
1
0







k
e
q
Z
k
e
q
Z
k
e
q
Z
k
u
Z
k
u
Z
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
2
1
1
0
1
z
E
z
q
z
E
z
q
z
E
q
z
U
z
z
U







)
(
)
(
)
1
)(
(
2
2
1
1
0
1
z
E
z
q
z
q
q
z
z
U







)
(
)
(
)
(
)
(
1
)
(
1
2
2
1
1
0
z
E
z
U
z
P
z
Q
z
z
q
z
q
q
z
G
R











Prenosová funkcia diskrétneho PID regulátora

)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
1
2
1
0







k
e
q
k
e
q
k
e
q
k
u
k
u




















0

k
1

k
(

(

(

2
1
0
2
1
0
2
1
0
2
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
2
3
1
2
2
2
0
1
1
0
0
q
k
kq
q
k

q
q
q
k
u

k
u
q
q
q

q
q
q
u

u
k
q
q

q
q
u

u
k
q
u
k





























)
(
..
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
(

2
1


k
pre
k-
u
k
u
)
(
0
0

q
0
1
1
0
0
1
0
0
2
0
1
q
q
q
q
q
q
q

u
u








)
(
)
(
(

(

1
0
2
2
1
0
0
2
1
q
q
q
alebo
q
q
q
k
pre
k
u
k
u









)
(
(

0
2
1
0
0
1
0
0
q
q
q
q
q
q
q








Podmienky ekvivalentnosti PID a PSD regulátora

P
odmienky „
ekvivalentnosti
“:

0
0
0
1
1




k
pre
k
pre
k
k
e
)
(
)
(
q
0

u(k)

q
0
-
q
2

2q
0
+q
1

t=
k
T

q
0
+q
1
+

q
2

q
0

> 0

q
1
>
-
q
0


-
(
q
0
+q
1
) <

q
2
< q
0

K
q
q
q
K
q
c
q
d
)
(
c
q
K
2
1
0
i
2
2
0








1
2
2
1
1
0
1
1
1
1
2
1
1
)
(
)
(
)
1
(
1
1
1
)
1
2
(
)
1
(
)
(

































z
z
q
z
q
q
Z
E
z
U
z
c
z
z
c
K
z
z
c
z
c
c
c
K
z
G
d
i
d
d
i
d
R
T
T
c
d
d

d
d
d
Kc
T
T
K
K




i
i
T
T
c



i
i
i
Kc
T
T
K
K



Podmienky ekvivalentnosti PSD regulátora s PID regulátorom


d
i
i
d
c
c

0
c

0
c





Iná ekvivalentná forma vyjadrenia diskrétneho PID regulátora



1
2
2
1
1
0
1
1
1
1
2
1
1
)
(
)
(
)
1
(
1
1
1
)
1
2
(
)
1
(
)
(


































z
z
q
z
q
q
Z
E
z
U
z
c
z
z
c
K
z
z
c
z
c
c
c
K
z
G
d
i
d
d
i
d
R
(rkoz0)



1
2
2
1
1
0
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1

































z
z
q
z
q
q
Z
E
z
U
z
c
z
c
K
z
z
c
z
c
c
c
K
z
G
d
i
d
d
i
d
R
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
Veľmi

často

sa

odchýlka

nahrádza

e(k)

e(k
-
1
),

čím

sa

dosahuje

okamžité

pôsobenie

riadiaceho

zásahu

na

proces
.

Táto

zmena

sa

prejaví

aj

v

prenosovej

funkcii

regulátora

na

integračnej

zložke,

ktorá

neobsahuje

v

čitateli

člen

z
-
1
.


(

)
(
)
(
)
(
2
0
k
e
q
q
k
e
K
k
u
p





Integračná zložka:






(

(

(

(

(

1
1
1
1
)
(
2
1
0










k
e
q
q
q
k
u
k
e
Kc
k
u
k
u
i
i
i
i
(

(



)
1
(
)
(
1
)
(
2






k
e
k
e
q

k
e
c
K
k
e
Kc
k
u
d
d
d

Riadiaci zásah
podľa (rkoz0)
je potom tvorený súčtom jednotlivých zložiek






)
(
)
(
u
(k)
u
)
(
i
p
k
u
k
k
u
d



Derivačná zložka
:

Proporcionálna zložka
:

K
q
q
q
K
q
c
q
d
)
(
c
q
K
2
1
0
i
2
2
0






Paralelná forma diskrétneho PID regulátora:

Upravený tvar DPID

Vynechávaním

jednotlivých

koeficientov

q
i
,

pre

i=
0
,
1
,
2

dostaneme

rôzne


štruktúry

diskrétnych

regulátorov
.



Ak

vo

vzťahu

(rkoz
0
)

položíme

q
2
=
0
,

dostaneme

prenosovú

funkciu


diskrétneho

regulátora

v

tvare
:






)
(
)
(
1
)
(
1
1
1
0
z
E
z
U
z
z
q
q
z
G
R








Diskrétny

regulátor

opísaný

vzťahom

(rkoz
1
)

voláme

diskrétny

regulátor

prvého

rádu

(
PS
-
regulátor
)
.



Riadiaci

zásah

diskrétneho

PI

regulátora

je

vyjadrený

diferenčnou


rovnicou


)
1
(
)
(
)
1
(
)
(
1
0





k
e
q
k
e
q
k
u

k
u
)
(
)
(
)
)(
(
z
U
z
z
q
q
z
E
1
1
1
0
1





(rkoz1)

Podmienky ekvivalentnosti sú odvodené podobne ako u PID regulátora

0
(0)
(1)
0


q
a
u
u
0
1
1
0
0
q
q
alebo
q
q




u(k)

q
0

t=kT

PCH
-

PI REGUL
Á
TORA
-
PODM.EKVIVALENTNOSTI

q
0
+q
1

Iné vyjadrenie PS regulátora je možné pomocou koeficientov K, c
i
a c
d
.

Pre q
2
=0 je zosilnenie K a koeficienty c
d

a c
i
vyjadrené

)
(
0
1
0
0
q
q
K
c
c
q
K
i
d




0)
(q

0
K
0


0
c
i

Prenosová funkcia diskrétneho P
I

regulátora
(DPI)
použitím koeficientov

K, c
i

:








)
(
)
(
1
)
1
(
1
)
(
1
1
z
E
Z
U
z
z
c
K
z
G
i
R








Riadiaci zásah






)
1
(
)
1
(
)
(
)
1
(
)
(






k
e
c
K
k
Ke
k
u
k
u
i


Diskrétny I

regulátor získame ak položíme q
0
=0, q
2
=0. Prenosová
funkcia diskrétneho I regulátora je v tvare:










Riadiaci zásah určíme z prenosovej funkcie










Ak položíme c
i
=0, dostaneme diskrétny PD regulátor s prenosovou
funkciou:



)
(
)
(
1
)
(
1
1
1
z
E
z
U
z
z
q
z
G
R





)
1
(
)
1
(
)
(
1




k
e
q
k
u
k
u


)
1
(
1
)
(
)
(
)
(
1
1
2
0








z
c
K
z
E
z
U
z
q
q
z
G
d
R
K
q
c
q
q
K
d
2
2
0
)
(



0
)
(
q
z
G
R

Prenosová funkcia
diskrétneho P

regulátora







Riadiaci zásah P regulátora:

u(k) = q
0
e(k)

?

(





















)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
2
1
1
1
1
k
e
k
e
k
e
T
T
k
e
T
T
k
e
k
e
P
k
u
k
u
k
u
d
i



)]
(
)
(
[
)
(
)
(
1
1





k
e
k
e
K
k
u
k
u
Modifikácia

PID regulátorov úpravou
derivačného člena


jednoduchá náhrada derivácie diferenciou prvého rádu vnáša
nepresnosti do rekurzívnzych a nerekurzívnzych foriem PSD
regulátorov a môže spôsobiť, že riadiaci zásah nadobúda veľké a
prudké zmeny.


Aby sa tomu predišlo, využíva sa náhrada derivácie priemernou
hodnotou napr. zo štyroch hodnôt odchýlky:










Ak použijeme
nerekurzívnu formu PID

regulátora, potom deriváciu
nahradíme vzťahom
:























4
)
(
)
1
(
)
2
(
)
3
(
)
(
4
1
)
(
3
k
e
k
e
k
e
k
e
i
e
k
e
k
k
i
s













)
(
k
e
T
T
dt
de
T
s
d
d



















T
k
e
k
e
T
k
e
k
e
T
k
e
k
e
T
k
e
k
e
T
s
s
s
s
d
5
.
1
)
3
(
)
(
5
.
0
)
3
(
)
(
5
.
0
)
(
)
1
(
5
.
1
)
(
)
(
4
)]
3
(
)
2
(
3
)
1
(
3
)
(
[
6







k
e
k
e
k
e
k
e
T
T
d
pre
rekur
entnú

formu
:






)
4
(
)
3
(
2
)
2
(
6
)
1
(
2
)
(
[
6









k
e
k
e
k
e
k
e
k
e
T
T
dt
de
T
d
d


PID formy „
neidealizovaného“

diskrétneho regulátora



Ak spojitý PID regulátor obsahuje v derivačnej zložke
oneskorovací člen, môžeme jeho diskrétny opis určiť
niekoľkými spôsobmi. Prakticky sa využívajú dva spôsoby
prepočtu:



Prvý spôsob

prepočtu je realizovaný na základe určenia
z
-
obrazu zo spojitého opisu, t.j.











s
s
G
z
z
z
G
G
z
G
R
R
TC
R
)
(
)
(
)
(

1










s
T
s
T
s
T
K
s
G
f
d
i
R
1
1
1
)
(





















s
T
T
s
T
s
L
K
z
z
K
z
G
fi
d
i
R
1
1
1
1
2
1

)
(













1
1
1
1
1
D
z
z
T
T
z
T
T
K
f
d
i
(

(

1
1
1
2
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1










































































z
D
z
z
D
T
T
T
T
z
T
T
T
T
D
z
T
T
K
z
D
z
T
T
z
z
T
T
K
i
f
d
i
f
d
f
d
f
d
i
)
(
)
(
1
2
2
1
1
2
2
1
1
0
z
E
z
U
z
p
z
p
z
q
z
q
q










(

(

1
1
1
2
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1










































































z
D
z
z
D
T
T
T
T
z
T
T
T
T
D
z
T
T
K
z
D
z
T
T
z
z
T
T
K
i
f
d
i
f
d
f
d
f
d
i
)
(
)
(
1
2
2
1
1
2
2
1
1
0
z
E
z
U
z
p
z
p
z
q
z
q
q










(

(

1
1
1
2
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1










































































z
D
z
z
D
T
T
T
T
z
T
T
T
T
D
z
T
T
K
z
D
z
T
T
z
z
T
T
K
i
f
d
i
f
d
f
d
f
d
i
(

(

1
1
1
2
1
1
1
0
1
1
1
2
1
1























































z
D
z
z
D
T
T
T
T
z
T
T
T
T
D
z
T
T
K
z
G
i
f
d
i
f
d
f
d
R
)
(
)
(
)
(
1
2
2
1
1
2
2
1
1
0
z
E
z
U
z
p
z
p
z
q
z
q
q

































i
f
d
f
d
T
T
T
T
D
K
q
T
T
K
q
2
1
1
1
1
0
f
T
T
i
d
f
d
e
D
D
T
T
T
T
K
q












1
1
2
1
)
(
1
2
1
1
1
D
p
D
p




)
2
(
)
1
(
)
(
)
2
(
)
1
(
)
(
2
1
0
2
1










k
e
q
k
e
q
k
e
q
k
u
p
k
u
p
k
u
Druhý spôsob výpočtu parametrov PID neideálneho diskrétneho PID
regulátora môžeme určiť aproximatívnym spôsobom podľa Tustinového
vzťahu.



)
(
)
(
1
1
2



z
T
z
s










s
T
s
T
s
T
K
s
G
f
d
i
R
1
1
1
)
(
Dosadením za


)
(
)
(
1
)
(
2
2
1
1
2
2
1
1
z
E
z
U
z
p
z
p
z
q
z
q
q
z
G
o
R










1
1
1
1
1
0
2
1
)]
2
1
(
5
.
0
(
2
1
[
p
p
p
d
p
c
c
c
c
c
K
q









1
1
1
1
1
2
1
)]
(
4
[
p
d
p
p
c
c
c
c
K
q









1
1
1
1
1
2
2
1
1
5
0
2
2
p
i
d
i
p
c
c
c
c
c
K
q







]
.
)
(
[
T
T
c
f
p

1


i
i
T
T
c

1


T
T
c
d
d

1
)
2
1
(
4
1
1
1
p
p
c
c
p



1
1
2
2
1
1
2
p
p
c
c
p



)
(
)
(
1
)
(
2
2
1
1
2
2
1
1
z
E
z
U
z
p
z
p
z
q
z
q
q
z
G
o
R










)
2
(
)
1
(
)
(
)
2
(
)
1
(
)
(
2
1
0
2
1










k
e
q
k
e
q
k
e
q
k
u
p
k
u
p
k
u
Riadiaci zásah PID(NI) regulátora

Typ

Koeficienty PSD regulátora

2
2
1
1
0
2
2
1
1
0
)
(









z
p
z
p
p
z
q
z
q
q
z
G
R

0
q

1
q

2
q


0
p

1
p

2
p










T
T
K
d
1












i
d
T
T
T
T
K
2
1

T
T
K
d

PSD

(1)

1

1

1











T
T
T
T
K
d
i
2
1












i
d
T
T
T
T
K
2
2
1

T
T
K
d

PSD

(2)

1

1

0










0
1
T
T
K
d

)
/
exp(
2
1
1
0
1
i
i
d
T
T
D
T
T
T
T
D
K
















1
0
1
D
T
T
T
T
K
i
d











PSD

(3)

1

1
1

D

1
D




1
1
1
1
1
2
1
)
2
1
(
2
/
)
(
2
1
p
p
i
d
p
c
c
c
c
c
K








1
1
1
1
2
1
)
(
4
p
d
p
i
c
c
c
c
K






1
1
1
1
1
2
1
1
2
/
2
)
2
(
p
i
d
i
p
c
c
c
c
c
K






PSD

(4)

T
T
c
p
/
1
0
1


i
i
p
p
T
T
c
c
c
/
)
2
1
/(
4
1
1
1




T
T
c
c
c
d
d
p
p
/
)
2
1
/(
)
1
2
(
1
1
1





Doplnok


kvalita regulácie frekvenčná oblasť

Closed Loop

Open loop : system H(s) ; system with controller F(s).H(s)


Closed loop : H
CL
(s) = F(s).H(s) / [ 1 + F(s). H(s) G(s) ]


G(s)

System

Reg.

Transducer

F(s)

H(s)

Yref

Y

Disturbances

Perturbations

e

+

-

Feed

P

Steady state error : F(s) must contains the internal model of the
reference (the transfer function that generates Yref(t) from the
Dirac impulse ;

e.g. step = (1/s) * Dirac ; ramp = (1/s
2
) * Dirac,...

Closed Loop : Perturbation
rejection

Perturbation
-
output sensitivity function :


S
yp
(s) = Y(s) / P(s) = 1 / [1 + F(s).H(s).G(s)]


Perturbation rejection :


S
yp
(0) = 0

to get a perfect rejection of the perturbation in



steady state (controller must contain the classes of



perturbation)

and

|S
yp
(
w
) | < G ;


w


[ Example :
|S
yp
(
w
) | < 2 (6dB) ;


w 


If the energy of the perturbation is concentrated in a given
frequency band, the
|S
yp
(
w
) | should be limited in this band.


Controller Design

In order to design and tune a controller :

1) To specify the desired control loop performances


Regulation and tracking : rise time and max overshoot






or bandwidth and resonance


2) To choose a suitable controller design method


3) To know the dynamic model of the plant to be controlled


=> control model

Control model :

-

Non parametric models : e.g. frequency response, step response,…

-

Parametric models : e.g. transfer function, differential eq., state eq.

To get the model :

-

knowledge type model (based on the physic laws) ; used for
plant simulation and design

-

identification models (from experimental data)

Continuous
-

time Models :

Frequency
Domain

Linear system

System

u(t) = e
j
w
t

u(t) = e
st

y(t) =
G
(j
w
) .
e
j
w
t


y(t) =
G
(s) .
e
st


w

or f

20.log(|
G
|)

Gain

Phase

w

or f

deg

Bode Diagram

x

x

x

o

Root locus :
poles and zeroes

Nyquist, Nichols,...

Note:

State Equation

Differential Eq.

Transfer
function


Observability,


Controlablity

Continuous
-

time Models :

Time responses

Response of a dynamic system for a step input

t

Final Value

(Steady state)

Maximum overshoot (M)

t
R

ts

0.9 FV

t
R

:

Rise Time

; define as the time needed to attain 90% of the final value ;
or as the time needed for the output to pass from 10 to 90% of the final value

t
S

:

Settling Time

; define as the time needed for the output to reach and
remain within a tolerance zone around the final value (
±
10%,
±

5%,
±
1%,…)

FV :

Final Value

; a fixed output value obtained for t




M :

Maximum Overshoot

; expressed as a percentage of the final value

Example :

1
st

Order

H(s) = G/(1+sT)

FV = G

t
R

= 2.2 T

t
S

= 2.2 T (for 10% FV)

t
S

= 3 T ( for 5% FV)

M = 0

Continuous
-

time Models :

Frequency
responses

f
B

:

Bandwidth

; the frequency from which the zero
-
frequency (steady
state) gain G(0) is attenuated by more than 3 dB ; G(w
B
) = G(0)
-

3dB or
G(w
B
) = 0.707 . G(0)

f
C

:

Cut
-
off frequency

; the frequency from which the attenuation is
more than N dB ;


G(w
C
) = G(0)
-

NdB

Q :

Resonance factor

; the ratio between the gain corresponding to the
maximum of the frequency response curve and the value G(0)

20 log[ H(jw) ]

w= 2 p f

Resonance

-

3 dB

w
B

(f
B
)

w
C

(f
C
)

(p
-

m) x 20 dB/dec

Nb of poles

Nb of zeroes

N dB

Reciprocity :

Time / Frequency

-

3 dB

f
B =
1/(2
p

T)

f
B



0.35 / t
R

0.1

0.9

t
R
= 2.2 T

time

frequency

Closed Loop : Margins

w




Im H(j
w
)

w


0


-
1

Re H(j
w
)

1/G

Gain Margin :


DG = 1 / |H(jw
180
)|

for F(w
180
) =
-
180


Typical : G

2 (6dB) [min: 1.6
(4dB)]

f

Phase Margin :

F

= 180


-

F
(
w
cr
)

for |
H
(j
w
cr
) = 1

w
cr

: crossing pulsation

Typical : 30




F



60



w
cr

Delay Margin :


F

=
w
0
.
 ;   F/w
cr

additional delay that could be
tolerate by the open loop system
without instability for the closed
loop system

M

Module Margin :



M = |1 + H(j
w
)|
min

= |S
-
1
yp
(j
w
)|
min

Measure of perturbation rejection

and robustness
of non linearity and time variable parameters

Typical :

M

0.5 (
-
6dB) [min: 0.4 (
-
8dB)]