Théorie Financière 2008-2009 1. Introduction

squelchrecessSecurity

Jun 19, 2012 (4 years and 10 months ago)

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Théorie Financière

2008
-
2009

1. Introduction


Professeur André Farber

March 13, 2013

Tfin 2008 01 Introduction

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2

Organisation du cours


Ouvrages de référence:

Brealey, R., Myers, S. and Allen, F. (BMA)

Principle of Corporate Finance

9th ed., McGraw
-
Hill 2008


Farber,A. Laurent, M
-
P., Oosterlinck, K., Pirotte, H. (FLOP)

Finance

2d ed. Pearson Education, 2008



Site web: www.ulb.ac.be/cours/solvay/farber


Copie des transparents (PowerPoint)


Glossaire anglais
-

français


Notes pédagogiques, exercices, anciens examens


Liens vers d’autres sites


Examen(s)


March 13, 2013

Tfin 2008 01 Introduction

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3

Exercices


Assistants:


Benoit Dewaele


Ritha Sukadi


6 séances (Vendredi 10
-
12), 4 groupes


Groupe 1: A à F


Groupe 2: G à L



Groupe 3: M à P


Groupe 4: Q à Z

Semaines 2, 4, 6, 9, 11, 13

Semaines 3, 5, 8, 10, 12, 14

March 13, 2013

Tfin 2008 01 Introduction

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4

Plan du cours


1.


Introduction
-

Fondements


2.


Valeur actuelle


3.


Cash flows, planning financier


4.


Evaluation d’entreprises


5,6.


Analyse de projets d’investissement


7,8.


Rentabilité attendue et risque


9,10.


Options


11, 12.

Evaluation et financement

March 13, 2013

Tfin 2008 01 Introduction

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5

What is Corporate Finance?


INVESTMENT DECISIONS
: Which REAL ASSETS to buy ?


Real assets
: will generate future cash flows to the firm


Intangible assets
actifs immatériels
: R&D, Marketing, ..


Tangible assets
actifs réels

: Real estate, Equipments,..


Current assets: Inventories, Account receivables,..



FINANCING DECISIONS
: Which FINANCIAL ASSET to sell ?

Comment
trouver les 24 milliards? Réinvestissement des fonds propres, pas de paiement de dividendes, émission d’actions, emprunt...


Financial assets
: claims on future cash flows


Debt: promise to repay a fixed amount


Equity: residual claim



DIVIDEND DECISION
: How much to return to stockholders?

3 types de décision

Est
-
ce une bonne idée de dépenser 24
milliards pour acheter une banque
hollandaise? Il faut prendre en compte les
perspectives de ce que va rapporter
l’investissement.

Quelle est la part de bénéfice que l’on va verser aux actionnaires et quelle est celle que l’on garde pour les investissement
s i
nternes?

Ex : Microsoft n’a pas donné de dividende pendant 25ans, puis grâce à un cash de 60 milliards, Bill a versé des dividendes.

March 13, 2013

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6

Accounting View of the Firm


Balance sheet

Income statement


Sales


Operating expenses

= Earnings before interest and
taxes (EBIT)


Interest expenses


Taxes

= Net income (earnings after taxes)


Retained earnings


Dividend payments

Current
assets

Fixed
assets

Current
liabilites

Long
-
term
debt

Shareholders’
equity

Net
Working
Capital

Différents points de vue :



comptable



cash flow : flux de caisse (différence entre ce qu’on encaisse et décaisse au cours d’un exercice)

March 13, 2013

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7

Cash Flows of the Firm



Firm




Financial
markets


Firm issue
securities

Firm invest

Cash flow from
operations

Dividend and
debt payments

Timing of cash flows + uncertainty

Investors

Pour se financer, la société émet des actions/obligations pour faire un investissement qui créera des bénéfices


cash flow et dividende.

Il ne faut pas négliger la dimension temporelle, les cash flows n’ont pas lieu en même temps à la même date ! La rentabilité
de
l’investissement doit être calculée en fonction de la duréee de vie de l’investissement


Risque

March 13, 2013

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8

Market Value of the Firm

Total
capital

Fixed
Assets

+

Net
Working
Capital

Book
equity

Debt

Book values

Market values

Market
value of
equity

Market
value of
debt

Market
capitalization

But des décisions financières : créer de la valeur

Il faut comparer la valeur de marché au total de l’actif

Si j’investis 10 dans mon entreprise, et que je revend à 200, j’ai créé de la
valeur : MVA

March 13, 2013

Tfin 2008 01 Introduction

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9

Value creation


Market value added (MVA)


= Market value of the firm’s capital


Total capital employed





VALUE CREATION : 2 strategies

Comment créer de la valeur? 2 façons


Strategy 1
investissement de l’argent dans des projets dont la valeur des cash flows futurs est supérieure au montant
investi au départ


Buy assets at a cost lower than the value of the future revenues


real assets


financial assets



Strategy 2

vendre les actions à un prix plus élevé que ce qu’on paye les dividendes que l’on distribue aux actionnaires


Sell financial assets for a price higher than the value of future
payments



Market value of equity


+ Market value of debt


Stockholders’ equity


+ Financial debt

Société cotée en bourse : on multiplie le nombre d’actions par le cours boursier = on compare la valeur boursière aux fonds p
rop
res. On a
création de valeur pour les actionnaires si la valeur boursière est plus élevée que les fonds propres.

March 13, 2013

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10

Examples (Sept 5, 2008)

Microsoft

Wal
-
Mart

Market

Cap $billion

nombre d’actions x cours boursier

Capitalisation boursière (milliards USD)

234.19

238.95

Stockholders’ Equity $b

Fonds propres

36.27

La valeur créée est
bcp

plus grande

63.23

Revenues ($b)

Chiffre d’affaires

60.42

378.79

Net Income $b

Résultat net

17.68

12.73

Price/Book

rapport entre cours de l’action
et valeur comptable de l’action

doit être > 1

6.46

3.78

Return on
Equity

(ROE)

rentabilité
financière : bénéfice/fonds propres (si j’ai 100 de
FP et 25/an de bénéfice ROE = 25%)

52.48%

pas vraiment de
problèmes financiers

20.75%

Price
-
Earnings

Ratio (P/E)

13.74

18.07

March 13, 2013

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11

The Cost of Capital


The firm can always give cash back to the shareholders









Capital employed by the firm has an
opportunity cost


The opportunity
cost of capital

is the expected rate of return offered by
equivalent investments in the capital market


The
weighted average cost of capital

(WACC) is the (weighted) average of
the cost of equity and of the cost of debt

Project


Cash


Stockholder

Investment
opportunities in
capital markets

?

March 13, 2013

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12

Stockholders’ problem

equity

rs'
Stockholde
Income
Net

ROE
Investment
Initial
Gain
Capital
Div
r



1


Capital market

Company

ROE

Return on Equity

r

Expected return

March 13, 2013

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13

How to measure value creation ?


1. Compare market value of equity to book value





Value creation if M/B > 1



2. Compare return on equity to the opportunity cost of equity






Value creation if ROE > Opportunity Cost of Equity


share
per

Book value
price
Stock
book(M/B)
-
to
-
Market

equity

rs'
Stockholde
Income
Net
)
(
equity
on
Return

ROE
March 13, 2013

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14

Value creation: Example


Data:


Book value of equity =


10 b


Net income =


2 b / year


Cost of equity
r

= 10%



Return on equity ROE = 2 / 10 = 20% > 10%



Market value of equity =
NI

/
r

= 2 / 10% =


20 b


Market value added: MVA = 20


10 =

10 b


Market to Book
M/B

= 20 / 10 = 2



March 13, 2013

Tfin 2008 01 Introduction

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15

M/B vs ROE



Simplifying assumptions:





Expected net income income = constant





Net income = dividend


Market value determination:


Net income = Expected return


Market value of equity



NI = r


MVeq


ROE (definition):


Return on equity = Net income / Book value of equity



ROE = NI / BVeq



= r


MVeq / Bveq



Conclusion
: in this simplified setting,


M/B =
MVeq/BVeq >
1

††††††
ROE> r


March 13, 2013

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16


Drivers of ROE


PROFITABILITY (du Pont system)




Three determinants :





Equity
Assets
Assets
Sales
Sales
Net Income
ROE







Equity
Book
Income
Net

ROE
Financial
Leverage

Asset
Turnover

Profit
Margin

Sales = CA

Assets = actif total


Profit margin = qu’est ce qui me reste à la fin après avoir
payé mes employés, l’ONSS etc


Asset turnover : quel est le montant de CA que je réalise
par unité d’actif que j’investis


rotation d’actifs.
Combien de fois je vend mon actif au cours d’un exercice?

Financial Leverage : l’imputation de la dette dans la structure financière de
l’entreprise. Si actif 100, dettes 90, FP 10 : 100/10

On peut travailler sur la marge, sur la rotation d’actifs ou sur le levier financier


coûteau suisse financier !

March 13, 2013

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17

Example (Sept. 5, 2008)

Microsoft
WalMart
Revenues
60.42
378.79
Net Income
17.68
12.73
Total assets
72.79
163.514
Equity
36.27
63.23
ROE
48.75%
20.13%
Profit margin
29.26%
3.36%
Asset turnover
0.83
2.32
Leverage
2.01
2.59

Belgacom : il faut des marges bénéficiaires élevées car pour cause structurelle, la rotation d’actifs est faible

Delvaux : faible rotation, grande marge

Microsoft a besoin de beaucoup d’actifs pour générer son produit.

Wal Mart : marge bénéficiaire assez faible compensée par la rotation élevée des actifs de par la rotation des stocks et par l
e f
ait qu’il n’y ait
pas de compte client (les clients payent tout de suite)

Foundations of Finance

March 13, 2013

Tfin 2008 01 Introduction

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19

Theory of finance


A young science


Finance has been around for many centuries, of course…


Main problem: calculation!!


Imagine having to calculate the future value of 1 euro invested for 13 years
when the annual interest rate is 4.35% (with annual compounding):

Future value = (1.0435)
13


A nightmare…..


This problem disappeared after WWII with the development of computers.


Now we have calculators and spreadsheets….


We also have large data bases



Fondements posés au 19
ème

siècle par Fisher

Il faut une mesure correcte de la création de valeur : VAN = valeur actuelle nette ≠ entre valeur actuelle des cash in et des

ca
sh out. Cette
VAN peut être calculée dans un marché qui fonctionne correctement.

March 13, 2013

Tfin 2008 01 Introduction

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20

Irving Fisher


Finance has its roots in economics


Irving Fisher laid the foundations of modern theory of finance.


Takes into account the
time dimension

of financial decisions


Main ideas:


Decisions should based on present value


Net Present Value (NPV): a measure of additional wealth


With perfect capital markets: independent of preferences



March 13, 2013

Tfin 2008 01 Introduction

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21

Present value: 1 period, certainty


Perfect capital market


Risk
-
free interest rate:
r
f


Future cash flow
C
1


Present value:



or:


f
r
C
C
PV


1
)
(
1
1
PV
(
C
1
) =
v
1



C
1

Interpretation:

v
1

= 1
-
year discount factor



price of 1


to be received in one year



price of unit 1
-
year zero coupon

with

f
r
v


1
1
1
Une seule période de temps

Les cash flows futurs sont connus aujourd’hui : sans risque : r
f

v
1

: facteur d’actualisation : montant que je peux emprunter
aujourd’hui si je suis prêt à payer 1eur dans 1 an

Zéro
-
coupon : pas de coupon
intermédiaire, je paye aujourd’hui, et je
reçois une valeur nominale à l’échéance.

March 13, 2013

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22

Using present value: 1
-
year bond valuation

Consider a risk
-
free zero coupon bond:


Face value = 100


Maturity = 1 year

Suppose 1
-
year risk
-
free interest rate = 5%

How much would you be willing to pay for this bond?

0
100
100 0.9524 95.24
1.05
P
   
March 13, 2013

Tfin 2008 01 Introduction

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23

No arbitrage


1st pass

If
P
0

≠ 95.24: arbitrage opportunity

Suppose
P
0

= 95.50



t =
0


t

= 1


Sell one bond

+ 95.50


-

100

Invest


-

95.24


+ 100

Total


= 0.26


= 0

Suppose
P
0

= 95



t =
0


t

= 1


Buy one bond

-

95.00


+ 100

Borrow


+ 95.24


-

100

Total


= 0.24


= 0

NO FREE LUNCH

There are no arbitrage
opportunities in
competitive markets

Principe de base d l’évaluation : condition d’absence
d’arbitrage : si le prix n’était pas de 95,24, on aurait une
situation d’arbitrage

Ex : je découvre que le coupon coûte 95,50


je vend un
zéro
-
coupon à 95,50 et je replace 95,24 à 5%. Dans 1 an je
devrai rembourser 100 (du zéro
-
coupon que j’ai vendu) et
je recevrai 100 (des 94,24 que j’ai prêté) mais j’aurai fait
un gain de 95,5


95,24

Ex : je découvre que le coupon coûte 95


j’achète un
zéro
-
coupon à 95 en empruntant 95,24. Dans 1 an, je
devrai rembourser 100 de l’emprunt et je recevrai 100 du
zéro
-
coupon mais j’aurai gagné 0,24

Impossible
car sinon tout le
monde ferait ça ! Il est impossible
d’avoir un profit à coup sûr sans
prendre de risques

March 13, 2013

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24

Microeconomics: a review


Consumption over time:


1 periods, certainty


Perfect capital markets => budget constraint





»
Slope =
-
(1+
r
)

»
Intercept =
W
0
(1+
r
)


Optimum:

»
Marginal Rate of Substitution (MRS) = 1+
r

»
Optimal consumption independent of timing of income


1 1
0 0 0
0 1 1 0
1 1
f f
Q Y
Q Y W
r r
Q v Q W
   
 
  
March 13, 2013

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25

Economic foundations of net present value

100

105

200

Euros now

Euros next year

50

165

Slope =
-

(1 +
r
f
) =
-

(1 + 5%)

I. Fisher 1907, J. Hirshleifer 1958

Perfect capital markets

Separate investment decisions
from consumption decisions

157.5

52.5

150

Y
0

Y
1

Les décisions d’investissement sont indépendantes des décisions de financement

Question éternelle : combien consommer maintenant et demain?

Si il place 50, un an plus tard,il pourra consommer 105 + 52,5

Contrainte inter
-
temporelle de budget

March 13, 2013

Tfin 2008 01 Introduction

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26

Net Present Value

NPV

=
-
I

+
v
1



C
1


=
-
50 + 0.9524


60


= 7.14

Suppose the risk
-
free rate is
r
f

=

5%

Consider the following investment project:


Initial cost:
I
(50)


Future cash flow:
C
1

(60)

Budget constraint with project:

0 1 1 0 1 1 1 0
( ) ( )
Q v Q Y I v Y C W NPV
      
Projet d’investissement


VAN positive : est
-
ce que ça va avoir
un impact sur ma consommation? NON
ça va juste déplacer la droite de budget
d’autant que de la VAN/NPV

March 13, 2013

Tfin 2008 01 Introduction

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27

Fisher Separation Theorem

100

105

200

Euros now

Euros next year

50

165

207.14

NPV

Slope =
-

(1 +
r
) =
-

(1 + 5%)

-
50

I. Fisher 1907, J. Hirshleifer 1958

Perfect capital markets

Investment decision independent of:

-

initial allocation

-

preferences (utility functions)

Du fait que la droite
augmente, même si on a
2 individus qui à la base
ne sont pas d’accord
d’investir car leurs
courbes d’indifférence
sont différentes, ils
peuvent se mettre
d’accord et investir car ils
deviennent plus riches.

March 13, 2013

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28

Enterprise Valuation

Suppose an all equity financed company is created for this project.

Step 1: Creation

Step 2: Equity offering + investment

t

= 0

t

= 1

-
50

+60

Assets

50

Equity

50

t

= 0

t

= 1


+60

Cash flows

Assets

0

Equity

0

Market Cap.

60
50 7.14
1.05
  
NPV =

I+NPV =

60
57.14
1.05

March 13, 2013

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29

Enterprise Valuation With Debt

18
17.14
1.05

42
40
1.05

Suppose that the company borrows 40 to finance part of the project.

Step 1: Creation

Step 2: Borrow + investment

t

= 0

t

= 1

-
10

+60


42 = 18

Assets

50

Equity

10

Debt 40

t

= 0

t

= 1


+18


+42

Cash flows to equity

Assets

0

Equity

0

Market Value

18
10 7.14
1.05
  
Equity =

Equity =

Debt =

18
17.14
1.05

Enterprise= 57.14

March 13, 2013

Tfin 2008 01 Introduction

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30

Entreprise Value Maximisation

0

Investment

Euros today

Euros next year

NPV

Investment
opportunities

Market value of company

Numerical example

r =
5%
Project
CF
0
CF
1
NPV
1
-100
115
9.5
2
-100
110
4.8
3
-100
105
0.0
4
-100
103
-1.9
CF
1
MktVal
Inv
NPV
1
115
109.5
100
9.5
1,2
225
214.3
200
14.3
1,2,3
330
314.3
300
14.3
1,2,3,4
433
412.4
400
12.4
March 13, 2013

Tfin 2008 01 Introduction

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31

Review: Certainty


1 period

1
1 1 1
( )
1
C
PV C C v
r
  

1 1
0
NPV I C v
    
Present value
:

Investment rules:

1
C I
IRR r
I

 
Meaning of NPV:


Variation of stockholder’s wealth

Independent of time preferences (if perfect capital market)

Enterprise value:

Unlevered:

1 1
U
V Cv I NPV
  
Levered:

1 1 1
[ (1 )] (1 )
U
V E D C D r v D r v V
       
1
DIV
Dimension temps : décision ajd qui ont des conséquences dans le futur

Dimension incertitude et risque : est)ce que mes prévisions vont se réaliser?

La valeur d’une entreprise, si le projet est placé dans une entreprise,
la valeur du cash flow = valeur ajoutée nette et l’investissement de
départ (je crois)

March 13, 2013

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32

Uncertainty: 1952


1973
-

the Golden Years


1952:
Harry Markowitz
*

base du calcul d’un choix de portefeuil
.


Portfolio selection in a mean

variance framework


1953:
Kenneth Arrow
*

incertitude basée sur des marchés complets en la modélisant

par des états du monde qui ont chacune des probabilités


Complete markets and the law of one price
CAPM


1958:
Franco Modigliani
*

and Merton Miller
*

la valeur d’une entreprise dans des conditions assez générales sont

indépendantes du financement


décisions d’investissement indépendante du financement


Value of company independant of financial structure


1963:
Paul Samuelson
*

and Eugene Fama


Efficient market hypothesis


1964:
Bill Sharpe
*

and John Lintner


Capital Asset Price Model


1973:
Myron Scholes
*
, Fisher Black and
Robert Merton
*


Option pricing model

Aborder la question de l’incertitude
dès le départ en présentant les
concepts fondamentaux.


Ce slide est un rappel sur comment la
finance s’enseigne et se pratique. La
révolution a eu lieu dans les années 50
et sur une période de 20 ans, on a eu
un paquet de découvertes.


On parlera des auteurs plus tard.


La difficulté ça a été de comprendre le
risque et l’incertitudes sur les
décisions fiancncières.



Ces différents modèles ne sont que des
versions d’un même modèle
fondamental

March 13, 2013

Tfin 2008 01 Introduction

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33

Uncertainty: 1 period
-

2 states example

Value
aujourd’hui

Up market (
u
)

Proba

= 0.75

Down market (
d
)

Proba = 0.25

Expected

return

rentabilité

attendue

Bond

95.24

dans un an
on aura 100

100

100

5%
taux

d’intérêt

sans
risque

Stock
Market

100

120

80

10%

NewAsset

?

200

100

?

What is the value of the following asset? What are its expected returns?

You observe the following data:

Horizon d’une période mais incertitude quant au futur. On a un marché des capitaux qui fonctionne avec des actions et des obl
iga
tions.
La bourse peut monter ou descendre au cours de la période. L’obligation est garantie. C’est un zéro
-
coupon.

Les actions étant plus risquées, on a une plus grande rentabilité


prime de risque de 5% (écart type de 17% sur les valeurs attendues)

On me propose un new asset qui vaut 200 ou 100. Quel est le prix de marché pour cet asset aujourd’hui et quelle est sa rentab
ili
té attendue?
Pour répondre à cette questin, il y a deux approches possible cfr slide suivante

March 13, 2013

Tfin 2008 01 Introduction

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34

Introducing uncertainty

Two possible approaches:

Discount the expected cash
flow using a risk
-
adjusted
discount rate

Discount the risk
-
adjusted
expected cash flow using the
risk
-
free interest rate

1
( )
1
E C
PV
r


*
1
( )
1
f
E C
PV
r


Later in
course

Today

:( )
f m f
CAPM r r r r

  
La valeur actuelle du cash flow futur.

On va actualiser cette valeur à un taux qui dépend du
risuqe du projet. Plus c’est risqué, plus le taux
augmente, plus la rentabilité augmente


CAPM

= 175

Ce que je connais c’est le TI sans risque, mais je ne peux pas l’utliser car il y a
un risque qui est associé. On actualise qqch (numérateur ajusté).

Pas bien suivi !

March 13, 2013

Tfin 2008 01 Introduction

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35

Market statistics (details)

Price today

Cash flow up state
(
π

= 0.75)

Cash flow down
state(1
-
π

=

0.25)

Zero
-
coupon bond

v
1

= 0.9524

1

1

Stock market

S =
100

S
1
u

=
uS

= 120

u =
1
+r
u

=
1
.
20

S
1
d

=
dS =
80

d =
1
+r
d

=
0.80

Risk
-
free interest rate
r
f

1
1 1
1 5%
1 0.9524
f
f
v r
r
    

Stocks: expected cash flow

1 1 1 1
( ) (1 )
0.75 120 0.25 80 110
u d
S E S S S
 
     
    
Expected return on stocks

1
110 100
10%
100
0.75 20% 0.25 ( 20%)
C S
r
S


  
    
(1 )
u d
r r r
 
    
March 13, 2013

Tfin 2008 01 Introduction

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36

Relative Pricing
une étape

Relative pricing: Is it possible to reproduce the payoff of
NewAsset by combining the bond and the stocks?

To do this, solve the following system of equations:

100 120 200
100 80 100
B S
B S
n n
n n
   
   
The solution is:
n
B

=
-
1.00
n
S

=
2.50

The value of this portfolio is:
V =
(
-
1)
×

95.24 + 2.50
×

100 = 154.76

Conclusion: the value of NewAsset is
V

= 154.76 Otherwise, ARBITRAGE

Je suis agent immobilier, et je veux évaluer le prix d’un bâtiment. Où est le bâtiment, quelle est sa surface etc, et je vais

regarder le prix de marché de biens similaires. Sur base de ces prix de marché, je vais aboutir à une évaluation

Pourquoi pas combiner les 2 instrument dont on connaît des caractéristiques ? Imaginons qu’on veuille faire un emprunt, et qu
’on

utilise
l’emprunt pour financer l’achat des actions (position à découvert sur l’obligation) que se passe
-
t
-
il en terme de cash flow? Dan
s 1 an on
rembourse 100 pour l’obligation, et on reçoit 120 ou 80 par l’action. Au final, on aura +20 ou
-
20. Le montant que je dois inves
tir est de 4, 76

Notations :

+ : achat/long

-
: vente/short (pour faire du découvert)

À découvert : vente d’un titre que je ne
possède pas. J’espère donc que le prix
que je vais payer le lendemain pour
acheter les titres sera plus faible. J’espère
que le cours du titre va chuter.

Actualité : dans le tsunami actuel, on
interdit les positions à découvert! Pcq en
faisant ça, on pousse les cours à la baisse.

Un financier va constituer un portefeuille
contenant un certain nombre d’actions et
d’obligations pour reconstituer les
caractéristiques du «

new asset

».


emprunt de 1 et achat de 2,5 actions. C’est
donc ce portefeuille qui réplique le cash
flow.

Si le prix était plus haut, on vendrait le portefeuille et on rachèterait les cash flows

March 13, 2013

Tfin 2008 01 Introduction

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37

States prices (= Digital options)
deux étapes

Value

State =
u

State =
d

u
-
option

v
u

1

0

d
-
option

v
d

0

1

100 120 1
100 80 0
B S
B S
n n
n n
   
   
100 120 0
100 80 1
B S
B S
n n
n n
   
   
n
B

=
-
0.020
n
S

=

0.025

n
B

=
0.030
n
S

=

-
0.025

on shorte sur l’action

v
u

=
0.595

v
d

=
0.357

A digital option is a contract that pays 1 in one state, 0 in other states

(also known as Arrow
-
Debreu securities, contingent claims)

2 states

→ 2 D
-
options

Valuation

Prices of digital options are known as
state prices

nous donne le prix pour un état du monde

Une fois qu’on connaît les prix d’état, le calcul de n’importe quel asset futur est un assemblage

On pourrait considéré que la combinaison de d’actifs financiers est une option digitale = actif financier qui me rapporte 1 d
ans

un état du
monde et 0 dans les autres états du monde. Nature économique de la bête : contrat d’assurance. Imaginer un contrat d’assuranc
e q
ui fait que en
cas de hausse des cours, j’aie une compensation et pas en cas de baisse.Quel est le prix que je suis prête à payer pour ce co
ntr
at d’assurance?

Comme tantôt : on
compose un portefeuille
d’actifs avec les mêmes
caractéristiques

V =
-
1 . 95,24 + 2,5 . 100 = 159,76

Vu =
-
0,02 . 95,24 + 0,025 . 100 = 0,595

March 13, 2013

Tfin 2008 01 Introduction

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38

State prices and absence of arbitrage

In equilibrium, the price that you pay to receive 1


in a future state
should be the same for all securities

Otherwise, there would exist an arbitrage
opportunity.

An arbitrage portfolio is defined as a portfolio:

-
with a non positive value (you don’t pay anything or, even better, you
receive money to hold this portfolio)

-
a positive future value in at least one state, and zero in other states

The absence of arbitrage is the most fundamental
equilibrium condition.

Le prix qu’on a calculé au départ pour les cash flows doit être le prix réel car sinon, arbitrage

À l’équilibre, les prix que je paye pour les mêmes cash flows que je vais recevoir à l’avenir doivent être les même

Principe économique fondamental : en marché parfait, le profit est nul

March 13, 2013

Tfin 2008 01 Introduction

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39

Valuation using state prices

Once state prices are known, valuation is straightforward.

The value of an asset with future payoffs
C
1
u


and
C
1
d

is:

1 1
u u d d
V v C v C
   
This formula can easily be generalized to
S

states:

s s
s
V v V
 

0.595 200 0.357 100 154.76
V
    
March 13, 2013

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40

Fundamental Theorem of Finance

s s
s
V v V


In our example:

In complete markets (number of assets = number of states),
the no arbitrage condition (NA) is satisfied if and only if
there exist unique strictly positive state prices such that:

0.595 200 0.357 100 154.76
V
    
Expected return:

200 154.76 100 154.76
0.75 0.25 13.08%
154.76 154.76
r
 
    
Rentabilité = différence entre prix ajd et demain / prix ajd

March 13, 2013

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41

State prices: formulas

Price

Value up state

Proba
π

Value down state

Proba 1
-

π

Risk
-
free bond

1

1+
r
f

1+
r
f

Stock

S

uS

dS

0.8
1
1.05
0.595
1.2 0.8
u
v

 

1
1
f
u
d
r
v
u d




1
1
f
d
u
r
v
u d




1 1
f f
u d
udS udS
uS dS
r r
v uS v dS S
u d u d
 
 
     
 
1
f
u r d
  
1.2
1
1.05
0.357
1.2 0.8
d
v

 

March 13, 2013

Tfin 2008 01 Introduction

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42

Risk
-
adjusted expected cash flow

(1 )
d f d
p r v
 
(1 )
u f u
p r v
 
Define:

1
u d
p p
 
1,0
u d
p p
 
p
u

and
p
d

look like
probabilities

Properties:

p
u

and
p
d

are
risk
-
neutral probabilities
such that the expected return,
using these probabilities, is equal to the risk
-
free rate.

Pricing equation

*
1 1
1
1 1
( )
1 1
u u d d
u u d d
f f
p C p C
E C
V v C v C
r r

   
 
Risk
-
adjusted
expected cash flow

Risk
-
free rate

Les risque
-
adjusted de cash flow.

V = vu . Cu + vd . Cd

rf : TI sans risque

1 dans un an avec certtude vaut ajd
1/(A+rf) or vu + vd rapporte 1
avec certitudeVu + vd = 1 / (1 +
rf)

Vu

U

D

Vu

1

0

Vd

0

1

Vu +
vd

1

1

March 13, 2013

Tfin 2008 01 Introduction

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43

Risk neutral probabilities: example

In previous example, state prices are:

0.595
u
v

0.357
d
v

The risk neutral probabilities are:

(1 ) (1.05)(0.595) 0.625
u f u
p r v
   
(1 ) (1.05)(0.357) 0.375
d f d
p r v
   
Risk
-
adjusted expected cash flow:

*
1
( ) 0.625 200 0.375 100 162.49
E C
    
Present value calculation:

*
1
( )
162.49
154.76
1 1.05
f
E C
V
r
  

Pseudo probabilités


espérance mathématique qui tient compte du risque associé au projet

Si le marché est amené à choisir entre C1 qui est sûr et donne 175 et C2 qui est incertain mais avec un E (C2) de 175.

Si on a le choix entre 175 sûr ou 200 ou 100, on prend le sûr : aversion au risque

Actualisation au TI sans risque

Démarche pour prendre en compte le risque :
prendre l’équivalent certain et non pas le cash
flow en numérateur

March 13, 2013

Tfin 2008 01 Introduction

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44

Final remarks

Had we known the risk
-
adjusted discount rate (that we calculated


see
previous slide)
r =
13.08%, then:

Expected cash flow:

1
( ) 0.75 200 0.25 100 175
E C
    
Present value calculation:

1
( )
1
175
154.76
1.1308
E C
V
r


 
(True) Expected
Cash Flow

Risk
-
adjusted
discount rate

Autre démarche: on a pu déterminer la rentabilité


on prend la vraie
valeur attendue du cash flow

March 13, 2013

Tfin 2008 01 Introduction

|
45

References


Corporate finance textbooks (MBA level)


Brealey, Richard, Steward Myers and Franklin Allen,
Principles of Corporate Finance
, 9th edition,
McGraw
-
Hill 2006


Ross, Stephen A., Randolph W. Westerfield and Jeffrey F. Jaffe,
Corporate Finance
, 6th edition,
McGraw
-
Hill Irwin 2002


Damoradan, Aswath,
Corporate Finance
:
Theory and Practice
, Wiley 1997


Ouvrages de référence en français:


Bodie, Z. et Merton, R.
Finance

(édition française dirigée par C. Thibierge) Pearson education 2000


Corporate finance texts for executives


Bertoneche, Marc and Rory Knight,
Financial Performance
, Butterworth Heinemann 2001


Hawawini, Gabriel and Claude Viallet,
Finance for Executives: Managing for Value Creation,
South
-
Western College Publishing, 1999

Théorie Financière


2. Valeur actuelle

Professeur André Farber

March 13, 2013

Tfin 02 Present Value

|
47

Present Value: general formula


Cash flows:


C
1
,
C
2
,
C
3
, … ,
C
t
, …
C
T


Discount factors:

v
1
,
v
2
, … ,
v
t
, … ,
v
T



Present value:


PV =
C
1

×

v
1

+
C
2

×

v
2

+ … +
C
T

×

v
T



An example:


Year




0


1


2


3


Cash flow


-
100

40

60

30


Discount factor

1.000

0.9803

0.9465

0.9044


Present value


-
100

39.21

56.79

27.13



NPV =
-

100 + 123.13 = 23.13

Facteur d’actualisation : prix
ajd

d’1 euro que l’on reçoit demain

March 13, 2013

Tfin 02 Present Value

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48

Using prices of U.S. Treasury STRIPS


Separate Trading of Registered Interest and Principal of Securities


Prices of zero
-
coupons


Example: Suppose you observe the following prices

Maturity


Price for $100 face value

1



98.03

2



94.65

3



90.44

4



86.48

5



80.00


The market price of $1 in 5 years is
DF
5

= 0.80



NPV =
-

100 + 150 * 0.80 =
-

100 + 120 = +20



Imaginons qu’on ait une
trasaction

où j’achète des éléments en Chine et au Japon que j’assemble, je revend aux USA et je garde
l’argent en Europe. Imaginons que tout se passe sur le net et immédiatement. On a donc des CF en euro, en yuan, en yen et en
dollars. Je regarde les TC pour faire mes calculs. Quand on évalue les actifs financiers, il faut procéder de la même manière

On crée des zéro coupons
àpd

d’obligations. Et donc on a des prix de marché différents pour les échéances différentes. Si les prix de marché
n’existent pas, il faut les
réestimé

cfr

slide

après

March 13, 2013

Tfin 02 Present Value

|
49

Present value and discounting


How much would an investor pay today to receive

C
t

in
t
years given
market interest rate
r
t
?


We know that

1

0

=> (1+
r
t
)
t


t


Hence

PV


(1+
r
t
)
t

=
C
t


=>

PV

=
C
t
/(1+
r
t
)
t
= C
t


v
t

On a les intérêts composés : on gagne de l’intérêt sur l’intérêt sur l’intérêt, et ils sont réinvestis une fois par an


The process of calculating the present value of future cash flows is called
discounting.


The present value of a future cash flow is obtained by multiplying this cash
flow by a
discount factor
(or
present value factor
)
v
t



The general formula for the
t
-
year discount factor is:


t
t
t
r
v
)
1
(
1


Pour calculer la valeur
ajd
, on va résoudre l’équation en sens inverse et on trouve que le facteur d’actualisation est donné par «

formule à la
fin

»

March 13, 2013

Tfin 02 Present Value

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50

Spot interest rates


Back to STRIPS. Suppose that the price of a 5
-
year zero
-
coupon with face
value equal to 100 is 75.


What is the underlying interest rate?


The yield
-
to
-
maturity on a zero
-
coupon is the discount rate such that the
market value is equal to the present value of future cash flows.


We know that 75 = 100 *
v
5

and
v
5

= 1/(1+
r
5
)
5


The YTM
r
5

is the solution of:



The solution is:




This is the 5
-
year spot interest rate


5
5
)
1
(
100
75
r


%
92
.
5
1
75
100
5
1
5









r
TI spot : imaginons que j’observe que le prix d’un zéro coupon à 5 an est de 75
ajd

pour 100 dans 5ans. Si j’investis 75
ajd
, quel
est le
rdt

sur mon investissement :
yield

to
maturity
. Quel est le
tauc

qui égalise le prix que je vais payer
ajd

à la valeur actuelle

Taux spot à 5 ans

Taux spot = rendement à maturité

March 13, 2013

Tfin 02 Present Value

|
51

Term structure of interest rate


Relationship between spot interest rate and maturity.


Example:


Maturity

Price for

100 face value

YTM (Spot rate)


1


98.03



r
1

= 2.00%


2


94.65



r
2

= 2.79%


3


90.44



r
3

= 3.41%


4


86.48



r
4

= 3.70%


5


80.00



r
5

= 4.56%


Term structure is:


Upward sloping if
r
t

> r
t
-
1

for all
t


Flat if
r
t

= r
t
-
1

for all
t


Downward sloping (or inverted) if
r
t

< r
t
-
1

for all
t



Ce n’est pas vrai qu’il y a un seul taux d’intérêt !

March 13, 2013

Tfin 02 Present Value

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52

Graphique annexe : ordonnée : taux spot :
rdt

à échéance : le taux décroît jusqu’à 3 ans et puis il augmente.

March 13, 2013

Tfin 02 Present Value

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53

Zero coupon yield curve Euro 5
-
aug
-
2005

Source:http://epp.eurostat.cec.eu.int


Situation il y a quelques années

March 13, 2013

Tfin 02 Present Value

|
54

Using one single discount rate


When analyzing risk
-
free cash flows, it is important to capture the current
term structure of interest rates: discount rates should vary with maturity.


When dealing with risky cash flows, the term structure is often ignored.


Present value are calculated using a single discount rate
r
, the same for all
maturities.


Remember: this discount rate represents the expected return.


= Risk
-
free interest rate + Risk premium


This simplifying assumption leads to a few useful formulas for:


Perpetuities

(constant or growing at a constant rate)


Annuities

(constant or growing at a constant rate)


March 13, 2013

Tfin 02 Present Value

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55

Constant perpetuity


C
t

=C
for
t
=1, 2, 3, .....





Examples: Preferred stock (Stock paying a fixed dividend)


Suppose
r
=10%

Yearly dividend =

50


Market value
P0
?



Note: expected price next year =



Expected return =

500
10
.
50
1


P
r
C
PV

Proof:

PV

=
C d + C d² + C d3 + …

PV
(1+
r
) =
C + C d + C d² + …

PV
(1+
r
)


PV

=
C

PV = C/r

500
10
.
50
0


P
%
10
500
)
500
500
(
50
)
(
0
0
1
1






P
P
P
div
Feuille annexe du 8 octobre

Il n’y a pas beaucoup de formules à
retenir, mais celle
-
ci (perpétuité
constante), il le faut!

March 13, 2013

Tfin 02 Present Value

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56

Growing perpetuity


C
t

=
C
1

(1+
g
)
t
-
1
for
t
=1, 2, 3, .....

r>g





Example: Stock valuation based on:


Next dividend
div1,
long term growth of dividend
g


If
r

= 10%,
div
1

=
50,
g
= 5%




Note: expected price next year =




Expected return =

g
r
C
PV


1
000
,
1
05
.
10
.
50
0



P
050
,
1
05
.
10
.
5
.
52
1



P
%
10
000
,
1
)
000
,
1
050
,
1
(
50
)
(
0
0
1
1






P
P
P
div
On a une séquence infinie de cash flow, mais le cash flow n =
cash flow n
-
1 x taux de croissance (g)

Exemple: l’inflation (faire en sorte que le montant ne se
déprécie pas)

Exemple: l’évaluation du prix d’une action (une action n’a
pas d’échéance, une des hypothèses est que le dividende payé
va croître à un taux constant par an)



Attention au timing. Le point de départ du
calcul c’est le CF qui va se produire 1 an
plus tard. Décalage d’un an



il faut que le taux de croissance soit
inférieur au taux d’actualisation : condition
pour que la série converge


On peut réaliser une plus ou moins value en
calculant la valeur aujourd’hui et dans 1 an


March 13, 2013

Tfin 02 Present Value

|
57

Constant annuity


A level stream of cash flows for a fixed numbers of periods


C
1

=
C
2

= … = C
T

= C



Examples:


Equal
-
payment house mortgage


Installment credit agreements



PV = C * v
1

+
C * v
2

+ … +
C

*
v
T

+



=
C *
[
v
1

+
v
2

+ … +
v
T
]



=
C

* Annuity Factor



Annuity Factor = present value of

1 paid at the end of each
T

periods.

Durée finie dans le temps. Exemple : emprunt hypothécaire.

Somme des facteurs d’actualisation = facteur d’annuité

March 13, 2013

Tfin 02 Present Value

|
58

Constant Annuity


C
t
= C
for

t =

1, 2, …,
T




Difference between two annuities:


Starting at
t
= 1


PV=C/r


Starting at
t

=
T
+1


PV = C/r
×
[1/(1+
r
)
T
]


Example: 20
-
year mortgage

Annual payment =

25,000

Borrowing rate = 10%

PV =( 25,000/0.10)[1
-
1/(1.10)
20
] = 25,000 * 10 *(1


0.1486)


= 25,000 * 8.5136


=


212,839

]
)
1
(
1
1
[
T
r
r
C
PV



Interprétation :Si on souhaite emprunter un montant aux taux de marché de 10% et que je suis prêt à payer 25
000euro par an pendant une période de 20 ans. Combien puis
-
je emprunter?

Si je verse 25 000eur à
perpétuité
, le montant que je pourrais
emprunter serait de 25 000 / 0,10 = 250 000

Quand on évalue des actions, on utilise un multiple. La valeur
actuelle est égale à 25 000 x m où m est le prix par euro de la
perpétuité = 1/r = 1/0,10

Si je verse 25 000 pendant 20 ans. Il faut
retirer aujourd’hui les paiement qui ne
seront pas fait en l’année 21, 22 …
L’infini


20 = l’infini! Si je me place la
20
ème

année, on a une nouvelle
perpétuité dont je connais la valeur 1 an
avant le premier CF. Mais l’évaluation
se fait l’année 0. Je dois calculer la
valeur aujourd’hui de ces 250 000
l’année 20


multiplication par le
facteur d’actualisation. Le calcul final
de la valeur de la nullité : PV =
perpétuité


valeur actuelle de la 2
ème

perpétuité = 250 000


250 000 x 0,142

March 13, 2013

Tfin 02 Present Value

|
59

Growing annuity


C
t

= C
1

(1+
g
)
t
-
1

for
t

= 1, 2, …,
T


r
≠ g






This is again the difference between two growing annuities:


Starting at
t

= 1, first cash flow =
C
1


Starting at
t

=
T
+1 with first cash flow =
C
1

(1+
g
)
T


Example: What is the NPV of the following project if
r

= 10%?

Initial investment = 100,
C
1

= 20,
g

= 8%,
T

= 10

NPV=


100 + [20/(10%
-

8%)]*[1


(1.08/1.10)
10
]


=


100 + 167.64


= + 67.64





















T
r
g
g
r
C
PV
1
1
1
1
March 13, 2013

Tfin 02 Present Value

|
60

Useful formulas: summary



Constant perpetuity:
C
t

=
C
for all
t




Growing perpetuity:
C
t

= C
t
-
1
(1+
g
)

r>g t

= 1 to




Constant annuity:
C
t
=C

t
=1 to
T




Growing annuity:
C
t

= C
t
-
1
(1+
g
)


t

= 1 to
T



r
C
PV

g
r
C
PV


1
)
)
1
(
1
1
(
T
r
r
C
PV



)
)
1
(
)
1
(
1
(
1
T
T
r
g
g
r
C
PV





March 13, 2013

Tfin 02 Present Value

|
61

Compounding interval


Up to now, interest paid annually


If
n
payments per year, compounded value after 1 year :




Example: Monthly payment :


r
= 6%,
n
= 12


Compounded value after 1 year : (1 + 0.06/12)12= 1.061680


Effective Annual Interest Rate
: 6,168%


Continuous compounding:


[1+(
r
/
n
)]
n

e
r

(e= 2.7183)


Example :
r
= 6%


e
12

= 1.06184


Effective Annual Interest Rate : 6.184%

n
n
r
)
1
(

On suppose que les intérêts sont réinvestis une fois
par an. Mais le rythme peut être plus important par
exemple si on ouvre un compte à 3 mois. Si je
touche mes intérêts après 3mois, je peux les
réinvestir. La valeur au bout d’un an sera un peu
différente

Le taux que je récupère à la fin de l’année si le
payement se fait tous les 3 mois, est plus élevé que
1 fois par an.



Si on avait une base journalière, on aurait 6,1831%


Il faut tout ramener à une base temporelle
commune : taux annuel effectif.









Sur le plan mathématique, si le nombre de période
tend vers l’infini, alors on a 6,184%

March 13, 2013

Tfin 02 Present Value

|
62

Juggling with compounding intervals


The effective annual interest rate is 10%


Consider a perpetuity with annual cash flow
C =
12


If this cash flow is paid once a year: PV = 12 / 0.10 = 120


Suppose know that the cash flow is paid once a month (the monthly cash
flow is 12/12 = 1 each month). What is the present value?


Solution
1:

1.
Calculate the monthly interest rate (keeping EAR constant)

(1+
r
monthly
)
12

= 1.10

r
monthly

= 0.7974%

2.
Use perpetuity formula:

PV = 1 / 0.007974 = 125.40


Solution 2:

1.
Calculate stated
annual

interest rate = 0.7974% * 12 = 9.568%

2.
Use perpetuity formula: PV = 12 / 0.09568 = 125.40


March 13, 2013

Tfin 02 Present Value

|
63

Interest rates and inflation: real interest rate


Nominal
interest rate = 10%



Date 0


Date 1


Individual invests



$ 1,000


Individual receives





$ 1,100


Hamburger sells for



$1


$1.06


Inflation rate = 6%


Purchasing power (# hamburgers)

H1,000


H1,038


Real
interest rate = 3.8%


(1+Nominal interest rate) = (1+Real interest rate)
×
(1+Inflation rate)



Approximation:

Real interest rate


Nominal interest rate
-

Inflation rate

Taux d’intérêt nominal, c’est celui qui est affiché (5% par exemple)

Le taux d’intérêt réel tient compte de l’inflation et de la réalité au bout d’un an (moins de 5%)

March 13, 2013

Tfin 02 Present Value

|
64

Bond Valuation


Objectives for this session :


1.Introduce the main categories of bonds


2.Understand bond valuation


3.Analyse the link between interest rates and bond prices


4.Introduce the term structure of interest rates


5.Examine why interest rates might vary according to maturity

March 13, 2013

Tfin 02 Present Value

|
65

Zero
-
coupon bond


Pure discount bond
-

Bullet bond


The bondholder has a right to receive:


one future payment (the
face value
) F


at a future date (the
maturity
) T


Example : a 10
-
year zero
-
coupon bond with face value $1,000





Value of a zero
-
coupon bond:



Example :


If the 1
-
year interest rate is 5% and
is assumed to remain constant


the zero of the previous example would sell for

T
r
PV
)
1
(
1


91
.
613
)
05
.
1
(
000
,
1
10


PV
Zero
-
coupon : je paye aujourd’hui et je reçois les intérêts et la valeur du coupon dans un an et rien entre temps

Taux de coupon exprimé en % de la valeur faciale de l’obligation. La valeur faciale de l’obligation est de 100 par
convention.

March 13, 2013

Tfin 02 Present Value

|
66

Level
-
coupon bond


Periodic interest payments (
coupons
)


Europe : most often once a year


US : every 6 months


Coupon usually expressed as % of
principal


At maturity, repayment of principal


Example : Government bond issued on March 31,2000


Coupon 6.50%


Face value 100


Final maturity 2005


2000


2001


2002


2003


2004


2005



6.50

6.50

6.50

6.50

106.50

Si j’investit dans cette obligation, je reçois des intérêts au long de l’année ainsi que le total à la fin de
l’année.

March 13, 2013

Tfin 02 Present Value

|
67

Valuing a level coupon bond





Example: If
r

= 5%




Note:
If
P
0

>
F
: the bond is sold at a premium



If
P
0

<
F
: the bond is sold at a discount



Expected price one year later
P
1

= 105.32


Expected return: [6.50 + (105.32


106.49)]/106.49 = 5%

49
.
106
7835
.
0
100
3295
.
4
5
.
6
100
5
.
6
5
5
05
.
0









d
A
P
T
T
r
T
T
d
A
C
r
r
C
r
C
r
C
P













100
)
1
(
100
)
1
(
...
)
1
(
1
2
0
Le prix de l’obligation est fixé en fonction des taux de marché. Application directe de la formule
d’actualisation. Simplification : taux d’actualisation égal pour toutes les échéances.




2 parties : annuité constante et valeur finale à l’échéance (qui est en fait un zero coupon).

Le point important ici : ce qui va déterminer le prix de l’obligation, c’est le taux de marché en application.

Le dernier prix à l’échéance finale sera de 100. Le prix est de 106 aujourd’hui. Le prix
diminue donc au cours de l’échéance. L’obligation se vend avec une prime. Le taux de
marché est inférieur au taux de coupon.

March 13, 2013

Tfin 02 Present Value

|
68

When does a bond sell at a premium?


Notations:
C =
coupon,
F

= face value,
P

= price


Suppose
C / F > r


1
-
year to maturity:



2
-
years to maturity:



As:
P
1

>
F


F
P
r
F
C
F
r
F
C
P








0
0
1
1
1
r
P
C
P



1
1
0
with

r
F
C
P



1
1
F
r
F
C
F
r
F
C
P







1
1
1
0
Petit développement

March 13, 2013

Tfin 02 Present Value

|
69

A level coupon bond as a portfolio of zero
-
coupons


« Cut » level coupon bond into 5 zero
-
coupon





Face value

Maturity

Value



Zero 1


6.50


1



6.19



Zero 2


6.50


2



5.89



Zero 3


6.50


3



5.61



Zero 4


6.50


4



5.35



Zero 5


106.50


5


83.44



Total






106.49

Cette obligation qui paye des coupons on peut toujours la voir comme étant un portefeuille de zéro
-
coupons de valeur nominale et d’échéances différentes.

On paye 106,49, on a 5,81% du montant qui est investit dans un zéro
-
coupon venant à échéance dans 1 an.


March 13, 2013

Tfin 02 Present Value

|
70

Law of one price


Suppose that you observe the
following data:


Bond
Price
1
2
3
A
100.97
104
0
0
B
105.72
7
107
0
C
101.56
5.5
5.5
105.5
Maturity
What are the underlying discount factors? Bootstrap method

100.97 =
v
1

104

105.72 =
v
1

7 +
v
2

107

101.56 =
v
1

5.5 +
v
2

5.5 +
v
3

105.5

1
2
3
Discount factors
0.971
0.925
0.864
Spot rates
3%
4%
5%
On scippe

March 13, 2013

Tfin 02 Present Value

|
71

Bond prices and interest rates

Bond prices fall
with a

rise in interest rates
and rise with a fall
in

interest rates

0,00
20,00
40,00
60,00
80,00
100,00
120,00
140,00
0%
1%
2%
3%
4%
5%
6%
7%
8%
9%
10%
11%
12%
13%
14%
15%
16%
17%
18%
19%
20%
Interest rate
Bond price
Il y a une relation inverse entre le taux d’intérêt et la valeur de l’obligation. Quant TI baisse, P augmente.



March 13, 2013

Tfin 02 Present Value

|
72

Sensitivity of zero
-
coupons to interest rate

0,00
50,00
100,00
150,00
200,00
250,00
300,00
350,00
400,00
450,00
0%
1%
2%
3%
4%
5%
6%
7%
8%
9%
10%
11%
12%
13%
14%
15%
16%
17%
18%
19%
20%
Interest rate
Bond price
5-Year
10-Year
15-Year
3 zéro coupons

Calibrage des valeurs faciales pour que les 3 zéro coupons aient la même valeur au taux de 10%



La sensibilité des 3 zéro
-
coupons à une variation donnée de TI est très différente! Si les TI augmentent, les 3 zéro coupons von
t
diminuer, mais les échéances plus longues vont chuter plus que les courtes échéances

March 13, 2013

Tfin 02 Present Value

|
73

Duration for Zero
-
coupons


Consider a zero
-
coupon with t years to maturity:




What happens if
r
changes?




For given P, the change is proportional to the maturity.



As a first approximation (for small change of
r
):

t
r
P
)
1
(
100


P
r
t
r
r
t
r
t
dr
dP
t
t












1
)
1
(
100
1
)
1
(
100
1
r
r
t
P
P





1
Duration =
Maturity

Duration : outil de base dans la gestion des risques de TI

Si le TI du marché change, quel va être l’impact
sur le prix? Dérivée du prix par rapport au taux.


La variation du prix du zéro coupon pour une
variation de taux d’intérêt =
-

l’échéance / 1+r
fois le prix.

Le moins est un rappel de la relation négative
entre le prix et le TI

On supposant que les variations de taux sont
petites, on arrive à cette expression.

Si le TI varie de 1% et qu’on a un zéro coupon à
15ans, le prix va chuter d’environ 15%.
Sensibilité du prix directement liée à l’échéance.

Si on anticipe une baisse de taux alors que les
taux montent


catastrophe

March 13, 2013

Tfin 02 Present Value

|
74

Duration for coupon bonds


Consider now a bond with cash flows:
C
1
, ...,
C
T


View as a portfolio of
T
zero
-
coupons.



The value of the bond is:
P = PV
(
C
1
) +
PV
(
C
2
) + ...+
PV
(
C
T
)



Fraction invested in zero
-
coupon
t
:
w
t

=
PV
(
C
t
) /
P





Duration
: weighted average maturity of zero
-
coupons

D= w
1

×

1 +
w
2

×

2 +
w
3

×

3+…+
w
t

×

t
+…+
w
T

×
T

Généralisation du même concept

Duration : moyenne pondérée des zéro
-
coupons dans le portefeuille + pondération par le poids

March 13, 2013

Tfin 02 Present Value

|
75

Duration
-

example


Back to our 5
-
year 6.50% coupon bond.





Face value

Value



w
t

Zero 1


6.50



6.19


5.81%

Zero 2


6.50



5.89


5.53%

Zero 3


6.50



5.61


5.27%

Zero 4


6.50



5.35


5.02%

Zero 5


106.50



83.44


78.35%

Total




106.49



Duration
D
= .0581
×
1 + 0.0553
×
2 + .0527
×
3 + .0502
×
4 + .7835
×
5



= 4.44


For coupon bonds, duration < maturity

4,44 : l’échéance moyenne des CF des montant que je vais recevoir est de 4,44 années.

Pour un zéro coupon, la duration = l’échéance

Sinon, la duration < échéance

March 13, 2013

Tfin 02 Present Value

|
76

Price change calculation based on duration


General formula:







In example:
Duration =
4.44 (when
r
=5%)


If
Δ
r
=+1% :
Δ

×
4.44
×

1% =
-

4.23%



Check: If
r

= 6%,
P

= 102.11


Δ
P/P =
(102.11


106.49)/106.49 =
-

4.11%

r
r
P
P
Duration





1
Difference due to
convexity

Une hausse du TI devrait nous conduire à une hausse du prix de l’obligation de 4,23%

Vérification





La différence est due au fait que la relation entre le taux et le prix est convexe et non linéaire Or on se
base sur la pente de la courbe càd linéaire

En réalité la formule fonctionne si on a des mini variations ce qui est le cas dans la réalité

March 13, 2013

Tfin 02 Present Value

|
77

Duration
-
mathematics


If the interest rate changes:





Divide both terms by
P

to calculate a percentage change:




As:




we get:

)
(
1
...
)
(
1
2
)
(
1
1
)
(
...
)
(
)
(
2
1
2
1
T
T
C
PV
r
T
C
PV
r
C
PV
r
dr
C
dPV
dr
C
dPV
dr
C
dPV
dr
dP












)
)
(
...
)
(
2
)
(
1
(
1
1
1
2
1
P
C
PV
T
P
C
PV
P
C
PV
r
P
dr
dP
T









P
C
PV
T
P
C
PV
P
C
PV
Duration
T
)
(
...
)
(
2
)
(
1
2
1







r
Duration
P
dr
dP



1
1
Pour ceux qui aiment les maths

March 13, 2013

Tfin 02 Present Value

|
78

Yield to maturity


Suppose that the bond price is known.


Yield to maturity
= implicit discount rate


Solution of following equation:

T
y
F
C
y
C
y
C
P
)
1
(
...
)
1
(
1
2
0








0,00
20,00
40,00
60,00
80,00
100,00
120,00
140,00
0%
1%
2%
3%
4%
5%
6%
7%
8%
9%
10%
11%
12%
13%
14%
15%
16%
17%
18%
19%
20%
Interest rate
Bond price
Extraordinairement important pour les intermédiaires financiers. Bilan d’une banque en valeur de marché :
Actifs (prêts hypothécaires) Passif (dettes : dépôts de la clientèle; + fonds propres) et A=P

Le premier facteur qui fait varier l’A et le P : TI car les prêts et les
emprunts sont fonction de r

La valeur de marché des FP change

March 13, 2013

Tfin 02 Present Value

|
79

Yield to maturity vs IRR

The yield to maturity is the internal rate of return (IRR) for an investment in
a bond.

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
A
B
C
D
E
F
G
H
Yield to maturity - illustration
Coupon
7%
Face value
100
Maturity
6
years
Price
105
0
1
2
3
4
5
6
Cash flows
-105
7
7
7
7
7
107
Yield to maturity
5.98%
B11. =IRR(B9:H9)
March 13, 2013

Tfin 02 Present Value

|
80

Asset Liability Management


Balance sheet of financial institution (mkt values):


Assets = Equity + Liabilities

∆A = ∆E + ∆L



As: ∆P =
-
D * P * ∆
r

(D = modified duration)



-
D
Asset

* A * ∆
r =
-
D
Equity

* E * ∆
r
-

D
Liabilities

* L * ∆
r


D
Asset

* A = D
Equity

* E + D
Liabilities

* L

( )
Equity Asset Asset Liabilities
L
D D D D
E
  


Il en a parlé, mais je n’ai pas suivi…

March 13, 2013

Tfin 02 Present Value

|
81

Examples

Value
MDuration
Value
MDuration
Assets
100
3
Equity
10
21
Liabilities
90
1
Value
MDuration
Value
MDuration
Assets
100
15
Equity
10
-30
Liabilities
90
20
SAVING BANK

LIFE INSURANCE COMPANY

Banque de dépôt : duration de l’A plus longue que les duration de P

Compagnie d’assurance : dettes d’échéances très longues : longue duration P. La
compagnie investit dans des portefeuille d’obligations par exemple qui a une
duration plus faible.


Si j’ai une hausse des TI, la valeur des prêts hypothécaire diminue très fort (car
longue échéance) alors que les dettes ne bougent pas.


March 13, 2013

Tfin 02 Present Value

|
82


Immunization: D
Equity

= 0


As:

D
Asset

* A = D
Equity

* E + D
Liabilities

* L


D
Equity

= 0 →


D
Asset

* A = D
Liabilities

* L



March 13, 2013

Tfin 02 Present Value

|
83

Spot rates


Spot rate = yield to maturity of zero coupon



Consider the following prices for zero
-
coupons (Face value = 100):

Maturity

Price

1
-
year


95.24

2
-
year


89.85


The one
-
year
spot
rate is obtained by solving:



The two
-
year
spot
rate is calculated as follow:



Buying a 2
-
year zero coupon means that you invest for two years at an
average rate of 5.5%

%
5
1
100
24
.
95
1
1




r
r
%
5
.
5
)
1
(
100
85
.
89
2
2
2




r
r
March 13, 2013

Tfin 02 Present Value

|
84

Forward rates


You know that the 1
-
year rate is 5%.


What rate do you lock in for the second year ?


This rate is called the
forward rate


It is calculated as follow:


89.85
×

(1.05)
×

(1+
f
2
) = 100


f
2

= 6%


In general:


(1+
r
1
)(1+
f
2
) = (1+
r
2



Solving for
f
2
:



The general formula is:

1
1
1
)
1
(
2
1
1
2
2
2






d
d
r
r
f
1
1
)
1
(
)
1
(
1
1
1









t
t
t
t
t
t
t
d
d
r
r
f
March 13, 2013

Tfin 02 Present Value

|
85

Forward rates :example


Maturity

Discount factor

Spot rates

Forward rates


1


0.9500


5.26


2


0.8968


5.60


5.93


3


0.8444


5.80


6.21


4


0.7951


5.90


6.20


5


0.7473


6.00


6.40



Details of calculation:


3
-
year spot rate :



1
-
year forward rate from 3 to 4

%
80
.
5
1
)
8444
.
0
1
(
)
1
(
1
8444
.
0
3
1
3
3
3






r
r
%
21
.
6
1
8444
.
0
8968
.
0
1
1
)
1
(
)
1
(
3
2
2
2
3
3
3









d
d
r
r
f
March 13, 2013

Tfin 02 Present Value

|
86

Term structure of interest rates


Why do spot rates for different
maturities differ ?


As


r
1

<
r
2


if

f
2

>
r
1


r
1

=
r
2


if

f
2

=
r
1


r
1

>
r
2


if

f
2

<
r
1



The relationship of spot rates with
different maturities is known as the
term structure of interest rates


Time to maturity

Spot

rate

Upward sloping

Flat

Downward sloping

March 13, 2013

Tfin 02 Present Value

|
87

Forward rates and expected future spot rates


Assume risk neutrality


1
-
year spot rate
r
1

= 5%, 2
-
year spot rate
r
2

= 5.5%


Suppose that the expected 1
-
year spot rate in 1 year E(
r
1
) = 6%



STRATEGY 1 : ROLLOVER


Expected future value of rollover strategy:


($100) invested for 2 years :


111.3 = 100
×

1.05
×

1.06 = 100
×

(1+
r
1
)
×

(1+E(
r
1
))




STRATEGY 2 : Buy 1.113 2
-
year zero coupon, face value = 100

March 13, 2013

Tfin 02 Present Value

|
88

Equilibrium forward rate


Both strategies lead to the same future expected cash flow



their costs should be identical