Euclidean Geometry

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Oct 10, 2013 (4 years and 4 days ago)

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Euclidean Geometry

(Theorems in abbreviation for reference, Middle 1 to Middle 3)


Theorem 1.





I f A O B i s a s t r a i g h t l i n e,



t h e n

x
+
y =
180




( a d j.

s o n s t. l i n e )




[

直線上的鄰角
]



Th e o r e m 2, 3

( c o n v e r s e o f T h e o r e m 1 )






Co r o l l a r y







I f
x
+
y =
180

,


then

A O B i s a s t r a i g h t l i n e



( a d j.

s s u p p.)




[
直線上的鄰角逆定理
]




[
鄰角互補
]



w
+
x
+
y
+
z

= 360




(

s a t a p t.)



[
同頂角
]



Th e o r e m 4.







I f t w o s t r a i g h t l i n e s A O B, C O
D me e t a t O


t h e n

x
=
y



( v e r t. o p p.

s)



[
對頂角
]




Th e o r e m 5, 6, 7






I f A B



CD

then

( 1 )
a
=
b

(corr.

s, AB//CD)



[
同位角
,
AB//CD
]


( 2 )
c
=
b

( a l t.

s, AB//CD)




[
內錯角
,
AB//CD
]


( 3 )
c
+
d

= 180


( i n t.

s, AB//CD)



[
同側內角
,
AB//CD
]




Theorem 8, 9, 10

( c o n v e r s e o f
T h e o r e m 5, 6, 7 )





( 1 ) I f
a
=
b


t hen

AB//CD
( cor r.

s equal )



[
同位角相等
]

( 2 )

I f
c
=
b


t h e n

A B//C D
( a l t.

s e q u a l )


[
內錯角相等
]

( 3 ) I f
c

+
d

= 180



t h e n

AB
//CD
(int.

s supp.)



[
同側內角互補
]



Th e o r e m 1 1.







I f A B//C D a n d A B//E F

t h e n

C D//E F


(// t o t h e s a me s t. l i n e )



[
平行同一直線
]



Th e o
r e m 1 2, 1 3









I n

A B C

( 1 )
a

+
b
+
c
= 180


(


sum of

)



[

內角和
]

( 2 )
d
=
a
+
b

( e x t.


o f

)



[

的外角
]






Th e o r e m 1 4,1 5,1 6,1 7,
18.

( T e s t f o r
C o n g r u e n t

s)











I n

A B C,

P Q R

( 1 ) I f A B = P Q,
b

=
q
, BC = QR


t h e n


A B C



P Q R


( S.A.S )

( 2 )
I f
b

=
c
, BC = QR,
c

=
r


t h e n


A B C



P Q R


( A.S.A.)

( 3 ) I f
a
=
p
,
b

=
q
, BC =QR


t h e n


A B C



P Q R


( A.A.S.)

( 4 ) I f A B = P Q, B C = Q R, C A = R P


t h e n


A B C


P Q R



( S.S.S.)





( 5 ) I f

B =

Q = 9 0

, A C = P R, B C = Q R


t h e n


A B C



P Q R




( R.H.S.)

Th e o r e m 1 9, 2 0,2 1

( T e s t s f o r
S i mi l a r T r i a n g l e s )






I n

A B C,

P Q R

( 1 ) I f
a

=
p

and

b

=
q

and

c

=
r


t h e n


A B C



P Q R


( A.A.A)

( 2 ) I f
a

=
p

and



t h e n


A B C



P Q R


( r a t i o o f 2 s i d e s, i n c.

)



[
兩對邊成比例,夾角相等
]

( 3 ) I f


t h e n


A B C



P Q R


( 3 s i d e s p r o p o r t i o n a l )



[
對應邊成比例
]


Th e o r e m 2 2, 2 3.


( 1 ) T h e s u m o f t h e i n t e r i o r a n g l e s o f a c o n v e x p o l y g o n w i t h n s i d e s i s ( n
-
2 ) x 1 8 0



(


s u m o f p o l y g o n )


[
多邊形內角和
]



( 2 ) I f t h e s i d e s o f a c o n v e x p o l y g o n a r e p r o d u c e d i n o r d e r, t h e s u m o f t h e e x t e r i o r a n g l e s


s o f o r me d i s 3 6 0




( s u m o f e x t.

s o f p o l y g o n )

[
多邊形外角和
]


Th e o r e m 2 4








A B C i s i s o s c e l e s s u c h t h a t A B = A C

t h e n


B =

C


( b a s e

s, i s o s.

)



[
等腰

的底角
]

Th e o r e m 2 5

( c o n v e r s e o f T h e o r e m 2 4
)









I f

B =

C


t h e n

A C = A B


( s i d e s o p p. Eq u a l

s)



[
等角的對邊
]





Theorem 26






I f A B = B C = C A

t h e n


A =

B =


C = 6 0



( P r o p e r t y o f e q u i l a t e r a l

)



[
等邊

性質
]



Th e o r e m 2 7, 2 8,2 9, 3 0.






I f A B D C i s a p a r a l l e l o g r a m

t h e n

( 1 ) A B = C D; A C = B D


( o p p. s i d e s, //g r a m)

[
平行四邊形對邊
]



(
2 )
a

=
d
,
c

=
b


( o p p.

s, //g r a m)

[
平行四邊形對角
]



( 3 ) A O = O D; C O = O B


( d i a g s., //g r a m)


[
平行四邊形對角線
]



( 4 ) a r e a o f

A B C = a r e a o f

D C B;


a r e a o f

A D C = a r e a o f

D A B


( d i a g. b i s e c t s a r e a o f //g r a m)




[
平行四邊形被對角線平分
]


Th e o r e m 3 1,3 2,3 3 3 4.

( T e s t s f o r
P a r a l l e l o g r a ms )






I n q u a d r i l a t e r a l A B C D,

( 1 ) i f A B = D C
a n d

A D = B C


t h e n

A B C D i s a p a r a l l e l o g r a m


( o p p. s i d e s e q u a l )

[
對邊相等
]


( 2 ) i f
a

=
c

and

b

=
d


t h e n

A B C D i s a p a r a l l e l o g r a m


( o p p.

s e q u a l )

[
對角相等
]


( 3 ) i f A O = O C
a n d

B O = O D


t h e n

A B C D i s a p a r a l l e l o g r a m


( d i a g s. b i s e c t e a c h o t h e r )

[
對角線互相平分
]


( 4 ) i f A B = D C
a n d

A B // D C



t h e n

A B C D i s a p a r a l l e l o g r a m


( 2 s i d e s e q u a l a n d //)


[
對邊平行且相等
]












Theorem 35.





I f A B D C i s a s q u a r e,

t h e n

( 1 ) A D = B C


( 2 ) A D


BC


( 3 ) A D b i s e c t s

B A C a n d

B D C;



B C b i s e c t s

A B D a n d

A C D


( 4 ) p o s s e s s a l l p r o p e r t i e s o f a p a r a l l e l o g r a m


( p r o p e r t y o f s q u a r e )

[
正方形性質
]



Th e o r e m 3 6.






I f A B C D i s a r e c t a n g l e,

t h e n

( 1 ) A C = B D


( 2 ) p o s s e s s a
l l p r o p e r t i e s o f a p a r a l l e l o g r a m


( p r o p e r t y o f r e c t a n g l e )

[
矩形性質
]





Th e o r e m 3 7.








I f A B C D i s a r h o mb u s,

t h e n

( 1 ) A C


BD


( 2 ) A C b i s e c t s

B A D,

B C D;


B D b i s e c t s

A B C,

ADC



( 3 ) p o s s e s s a l l p r o p e r t i e s o f a p a r a l l e l o g r a m


( p r o p e r t y o f r h o mb u s )

[
菱形性質
]


Th e o r e m 3 8.

( Mi d
-
p o i n t t h e o r e m)





I n

A B C,


D, E a r e mi d
-
p o i n t s o f A B, A C r e s p e c t i v e l y

t h e n

( 1 ) D E // B C



( 2 ) D E = B C/2


( Mi d
-
p t. t h e o r e m)

[
中點定理
]



Th e o r e m 3 9.

( E q u a l i n t e r c e p t t h e o r e m)





I f A B // C D // E F // G H a n d


A C = C E = E G

t h e n

B D = D F = F H


( Eq u a l i n t e r c e p t t h e o r e m)

[
等截距定理
]


o r
( I n t e r c e p t t h e o r e m)


[
截線定理
]










Theorem 40.

( I n t e r c e p t t h e o r e m)






I n

A B C,


D i s a mi d
-
p o i n t o f A B; D E // B C

t h e n

A E = E C


( I n t e r c e p t t h e o r e m)

[
截線定理
]


Th e o r e m 4
1.

( T h e o r e m o f e q u a l r a t i o )















I f D E // B C

t h e n



( Eq u a l r a t i o s t h e o r e m)

[
等比定理
]



























Theorem 42.

( c o n v e r s e o f T h e o r e m 4 2 )
















I f

t h e n

D E // B C


( c o n v e r s e o f e q u a l r a t i o s t h e o r e m)


[
等比定理之逆定理
]



Th e o r e m 4 3.

( P y t h a g o r a s' t h e o r e m)






I n

A B C



B = 9 0


t h e n



( P y t h a g o r a s' t h e o r e m)

[
畢氏定理
]


Th e o r e m 4 4.

( c o n v e r s e o f t h e o r e m 4 3 )







I n

A B C



t h e n


B = 9 0



( c o n v e r s e o f P y t h a g o r a s' t h e o r e m)



[
畢氏定理
之逆定理
]



Th e o r e m 4 5.

( P e r p e n d i c u l a r b i s e c t o r t h e o r e m)










I f H K i s t h e p e r p e n d i c u l a r b i s e c t o r o f A B


P i n a p o i n t o n H K

t h e n

P A = P B


(


b i s e c t o r t h e o r e m)

[
中垂線定理
]



T
heorem 46.

( c o n v e r s e o f T h e o r e m 4 6 )







I f H K i s t h e p e r p e n d i c u l a r b i s e c t o r o f A B


P A = P B

t h e n

P i s a p o i n t o n HK


( c o n v e r s e o f


b i s e c t o r t h e o r e m)



[
中垂線定理之逆定理
]



Th e o r e m 4 7.

(
A n g l e b i s e c t o r t h e o r e m)







I f A D i s t h e a n g l e b i s e c t o r o f

B A C


P i s a p o i n t o n A D


P E i s t h e p e r p e n d i c u l a r d i s t a n c e o f P f r o m A B


P F i s t h e p e r p e n d i c u l a r d i s t a n c e o f P f r o m A C

t h e n

P E
= P F


(


b i s e c t o r t h e o r e m)

[
角平分線定理
]



Th e o r e m 4 8.

( c o n v e r s e o f T h e o r e m 4 7 )







I f A D i s t h e a n g l e b i s e c t o r o f

B A C


P E i s t h e p e r p e n d i c u l a r d i s t a n c e o f P f r o m A B


P F i s t h e p e r p e n d i c u l a r d i s t a n c e o f P f r o m A C


PE

= PF

then

P i s a p o i n t o n AD


( c o n v e r s e o f


b i s e c t o r t h e o r e m)



[
角平分線定理之逆定理
]


Th e o r e m 4 9.

( C e n t r o i d t h e o r e m)






I n

A B C


A D, C E, B F a r e t h e me d i a n s

t h e n

( 1 ) A D, C E a n d B F m e e t a
t a p o i n t, G.


( G i s t h e c e n t r o i d o f t h e t r i a n g l e )


( 2 ) A G:G D = B G:G F = C G:G E = 2:1;


( Ce n t r o i d t h e o r e m)

[
重心定理
]


Th e o r e m 5 0.

( C i r c u m
-
c e n t r e t h e o r e m)








I n

A B C,


D
E, G F, K H a r e t h e p e r p e n d i c u l a r b i s e c t o r s


o f t h e s i d e s A B, A C a n d B C r e s p e c t i v e l y

t h e n

D E, G F a n d K H me e t a t a p o i n t, O.


( O i s t h e c i r c u mc e n t r e o f t h e t r i a n g l e )


( Ci r c u m
-
c e n t e r t h e o r e m)



[
外接圓心定

]





Theorem 51a.

( I n
-
c e n t e r t h e o r e m)






I n

A B C,


A D, B F, C E a r e t h e a n g l e b i s e c t o r s o f t h e


a n g l e s o f t h e t r i a n g l e

t h e n

A D, B F, C E me e t a t a p o i n t, O.


( O i s t h e i n
-
ce
ntre of the triangle)


(In
-
centre theorem)

[
內切圓心定理
]



Theorem 51b.

( E x
-
c e n t r e t h e o r e m)






I n

A B C,


A D i s t h e a n g l e b i s e c t o r o f a i n t e r i o r a n g l e,


B E a n d C F a r e t h e a n g l e b i s e
c t o r s o f t h e


e x t e r i o r a n g l e s o f t h e o t h e r a n g l e s

t h e n

A D, B E, C F me e t a t a p o i n t, O.


( O i s t h e e x
-
c e n t r e o f t h e t r i a n g l e )


( Ex
-
c e n t r e t h e o r e m)

[
旁切圓心定理
]




Th e o r e m 5 1 c.

( O r t h o c e n t r e t h e o r e m)






I n

A B C,


A D, B F, C E a r e t h e a l t i t u d e s

t h e n

A D, B F, C E me e t a t a p o i n t, O.


( O i s t h e o r t h o c e n t e r o f a t r i a n g l e )


( Or t h o c e n t r e t h e o r e m)

[
垂心定理
]





(Theorems in abbreviation for reference, Mid
dle 4 to Middle 5)


Theorem 52,53.







I f

t h e n
.


( e q u a l c h o r d s, e q u a l a r c s )
[
等弦
,
等弧
]

Co n v e r s e l y


I f

t h e n
.



( e q u a l a r c s, e q u a l c h o r d s )
[
等弧
,
等弦
]


Th e o r e m 5 4,5 5 ( c o r o l l a r y o f
t h e o r e m 5 2, 5 3 )






Two e q u a l c i r c l e s
.


I f

t h e n
.


( e q u a l c h o r d s, e q u a l a r c s )
[
等弦
,
等弧
]

Co n v e
r s e l y


I f

t h e n
.


( e q u a l a r c s, e q u a l c h o r d s )
[
等弧
,
等弦
]


Th e o r e m 5 6, 5 7,5 8,5 9.








I f

( o r
) t h e n
.


( e q u a l a r c s, e q u a l

s)
[
等弧
,
等角
]


(
or
equal chords, equal

s
等弦
,
等角
)

Conversely


I f

t h e n

( o r
).


( e q u a l

s, e q u a l a r c s )
[
等角
,
等弧
]


(
o r

e q u a l

s,

equal chords

等角
,
等弦
)


Corollary 60,61,62, 63.






Two e q u a l c i r c l e s
.


I f

( o r
) t h e n
.


( e q u a l a r c s, e q u a l

s)
[
等弧
,
等角
]



(
or equal cho
rds, equal

s
等弦
,
等角
)

Conversely


I f

t h e n

( o r
).


( e q u a l

s, e q u a l a r c s )
[
等角
,
等弧
]


(
o r

e q u a l

s, e q u a l c h o r d s
等角
,
等弦
)


Th e o r e m 6 4.










( a r c s p r o p. t o

s a t c e n t r e )

[
弧與圓心角成比例
]







Corollary 65.






Two e q u a l c i r c l e s
.




( a r c s p r o p. t o

s a t c e n t r e )

[
弧與圓心角成比例
]



Th e o r e m 6 6.










( a r c s p r o p. t o

s a t c i r c u mf e r e n c e )


[
弧與圓周角成比例
]


Co r o l l a r y 6 7.






Two e q u a l c i r c l e s
.




( a r c s p r o p. t o

s a t c i r c u mf e r e n c e )




[
弧與圓周角成比例
]


Th e o r e m 6 8.





I f

t h e n

.

( l i n e f r o m c e n t r e

c h o r d b i s e c t s c h o r d )



[
圓心至弦之垂線平分該弦
]


Th e o r e m 6 9.

( c o n v e r s e o f T h e o r e m 6 8
)







I f

t h e n

.

( l i n e j o i n i n g c e n t r e t o mi d
-
p t. Of c h o r d p e r p. t o


c h o r d )

[
弦的中點與圓心聯線
該弦
]


Th e o r e m 7 0.






I f

t h e n

.


( e q u a l c h o r d s, e q u i d i s t a n t f r o m c e n t r e )


[
等弦與圓心等距
]





Theorem 71.

(converse of Theorem 70)







I f

t h e n
.


( c h o r d s e q u i d i s t a n t f r o m c e n t r e a r e e q u a l )


[
與圓心等距的弦等長
]


Th e o r e m 7 2.














(

a t c e n t r e t wi c e

a t c i r c u mf e r e n c e )


[

心角兩倍於圓周角
]


Th e o r e m 7 3.






I f

i s a d i a me t e r
,

t h e n



(

i n s e mi
-
c i r c l e )

[
半圓上的圓周角
]


Th e o r e m 7 4.






I f

i s a c h o r d,

t h e n
.


(
s i n t h e s a me s e g me n t
)



[
同弓形內的圓周角
]


Th e o r e m 7 5.






P Q R S i s a c y c l i c q u a d r i l a t e r
a l,

t h e n

(

o r
)


(
o p p.
s, c y c l i c q u a d.
)

[
圓內接四邊形對角
]



Theorem 76.






P Q R S i s a c y c l i c q u a d r i l a t e r a l,

t h e n



(
e x t.
s, c y c l i c q u a d.
)

[
圓內接四邊形外角
]


Th e o r e m 7 7.

( c o n v e r s e o f T h e o r e m 7 4 )






I f

t h e n

A, B, Q, P a r e c o n c y c l i c
.


( c o n v e r s e o f
s i n t h e s a me s e g me n t )



[
同弓形內的圓周角的逆定理
]


Th e o r e m 7 8.

( c o n v e r s e o f T h e o r e m 7 5 )





I f


(

o r
)

t h e n

P, Q, R, S a r e c o n c y c l i c.


( o p p.
s s u p p )

[
對角互補
]


Th e o r e m 7 9.

( c o n v e r s e o f T h e o r e m 7 6 )





If



then

P, Q, R, S are concyclic.


(ext.
s = int. opp.

)

[
外角
=
內對角
]


Theorem 80.








I f P Q i s a t a n g e n t t o t h e c i r c l e ,


t h e n
.


( t a n g e n t

r a d i u s )

[
切線
半徑
]


T h e o r e m 8 1.

( c o n v e r s e o f T h e o r e m 8 0 )







I f

,


t h e n


P Q i s a t a n g e n t t o t h e c i r c l e
.


( c o n v e r s e o f t a n g e n t

r a d i u s )


[
切線
半徑的逆定理
]





Theorem 82.






I f T P, T Q a r
e t w o t a n g e n t s t o t h e c i r c l e,


t h e n

( 1 ) T P = T Q


( 2 )


( 3 )


( t a n g e n t p r o p e r t i e s )


[
切線性質
]


Th e o r e m 8 3.







I f P A Q i s a t a n g e n t t o t h e c i r c l e a t A,

t h e n


(
o r
)


(

i n a l t. s e g me n t )

[
交錯弓形的圓周角
]


T h e o r e m 8 4.

( c o n v e r s e o f T h e o r e m 8 3 )







I f

(
o r
),

the
n

PAQ is a tangent to the circle at A.


(converse of

in alt. segment)


[
交錯弓形的圓周角的逆定理
]