Rheophysique des suspensions concentr´ ees: cadre th ...

pawunderarmMechanics

Jul 18, 2012 (5 years and 3 months ago)

457 views

17
`
eme
Congr
`
es Franc¸ais de M
´
ecanique Troyes,– septembre 2005
Rh
´
eophysique des suspensions concentr
´
ees:cadre th
´
eorique et similitude
Christophe Ancey,Peter Vollm
¨
oller,Steve Cochard
´
Ecole Polytechnique F
´
ed
´
erale de Lausanne
ENAC/ICARE/LHE,station 18
1015 Lausanne,Suisse
christophe.ancey@epfl.ch
R
´
esum
´
e:
Bien des mat
´
eriaux rencontr
´
es dans l’environnement et l’industrie ont l’apparence de fluide quoiqu’ils soient en fait
des suspensions de particules dans un fluide.Les avalanches,les laves torrentielles,le b
´
eton frais,etc.fournissent
des exemples de tels (( fluides )).Quand ces suspensions peuvent
ˆ
etre test
´
ees au laboratoire avec des rh
´
eom
`
etres,
elles se caract
´
erisent par des propri
´
et
´
es rh
´
eologiques complexes.Ces propri
´
et
´
es restent difficiles
`
a comprendre
si l’on reste dans le cadre de la m
´
ecanique des milieux continus,cadre dans lequel les lois rh
´
eologiques sont
le plus souvent exprim
´
ees.L’approche rh
´
eophysique est une alternative int
´
eressante pour d
´
ecrire la dynamique
de telles suspensions.L’article offre une revue des principales notions utiles
`
a la compr
´
ehension des propri
´
et
´
es
rh
´
eologiques.L’accent est particuli
`
erement mis sur le r
ˆ
ole des interactions entre particules et les nombres sans
dimension caract
´
erisant les r
´
egimes d’
´
ecoulement.
Abstract:
Many materials involved in environmental or industrial problems take the appearance of fairly homogeneous fluids
on the bulk scale although they are suspensions made up of solid particles in air or water.Typical examples include
avalanches,debris flows,fresh concrete,etc.When these suspensions can be tested with the usual laboratory
rheometers,they exhibit a wide range of bulk rheological properties (time-dependent effects,viscoplasticity,etc.)
and flow effects (particle migration,shear localization).Such properties are difficult to understand and describe
within the framework of continuummechanics,in which they are most often expressed.A rheophysical approach is
an alternative and fruitful way to describe the dynamics of these suspensions.This paper reviews the main notions
that are useful for understanding their rheological properties.Emphasis is given to the role played by a percolating
network of coarse particles and the nature of contact between particles and the dimensionless numbers that can
be used to characterized the flow regimes.
Mots-clefs:
rh
´
eophysique,suspension,similitude
1 Introduction:les fondements de l’approche rh
´
eophysique
L’analyse du lien existant entre le comportement macroscopique d’une suspension et le com-
portement individuel de ses constituants est un sujet d
´
ej
`
a ancien.Outre les analyses pr
´
eliminaires
d’Einstein et de Landau,Batchelor a propos
´
e d
`
es les ann
´
ees 1970 un cadre th
´
eorique de calcul
de la loi de comportement macroscopique d’une suspension dilu
´
ee de particules (non collo
¨
ıdales)
`
a partir d’une moyenne des interactions fluide/particules [1].Ce cadre d’analyse a
´
et
´
e progres-
sivement
´
etendu pour prendre en compte des interactions particulaires plus complexes (interac-
tions collo
¨
ıdales,mouvement brownien),des concentrations plus importantes en particules,etc.
Principalement,les travaux th
´
eoriques de Buyevich [2],Lhuillier [3,4] ainsi que de Zhang et
Prosperetti [5,6] ont pos
´
e des jalons importants dans notre compr
´
ehension actuelle des suspen-
sions concentr
´
ees (c’est-
`
a-dire dont la teneur volumique en solide d
´
epasse les 30 %);la prise en
compte d’effets visqueux dans la th
´
eorie cin
´
etique des gaz a
´
egalement
´
et
´
e r
´
ealis
´
ee ces derni
`
eres
1
17
`
eme
Congr
`
es Franc¸ais de M
´
ecanique Troyes,– septembre 2005
ann
´
ees [7,8].Devant la complexit
´
e des lois rh
´
eologiques formul
´
ees,des approches simplifi
´
ees
ont
´
egalement mises en œuvre,notamment par Van der Brule et Jongshaap [9],Ancey et al.
[10],etc.
Nous allons ici de rappeler bri
`
evement les principes de l’approche rh
´
eophysique et d
´
eduire
les nombres sans dimension importants qui caract
´
erisent les
´
ecoulements de suspensions con-
centr
´
ees.
1.1 Mouvement d’une sph
`
ere isol
´
ee et cons
´
equences sur la nature de l’
´
ecoulement
Le point de d
´
epart de toute approche rh
´
eophysique est d’examiner le comportement du
mat
´
eriau
`
a une
´
echelle microscopique,puis d’en d
´
eduire son comportement
`
a l’
´
echelle macro-
scopique par passage
`
a la moyenne.Le changement d’
´
echelle est une n
´
ecessit
´
e d
`
es lors que,
dans les calculs et les applications,on s’int
´
eresse
`
a des variations de grandeurs moyennes et
non au d
´
etail de la microstructure.Dans le cas d’une suspension de particules de m
ˆ
eme taille,le
choix naturel de l’
´
echelle microstructurelle est la taille moyenne des particules.Pour commen-
cer,consid
´
erons une particule suppos
´
ee rigide dans un fluide newtonien,que l’on va supposer
ˆ
etre en r
´
egime laminaire.Le mouvement local du fluide de masse volumique ½
f
et anim
´
e d’une
vitesse u
f
est d
´
ecrit par les
´
equations de Navier-Stokes
@u
f
@t
+u
f
¢ ru
f
= ¡
1
½
f
rp +
1
½
f
r¢ ¾
f
;(1)
r¢ u
f
= 0;(2)
o
`
u l’on a introduit p la pression g
´
en
´
eralis
´
ee et ¾
f
le tenseur des extra-contraintes (ici ¾
f
= 2¹d
o
`
u d d
´
esigne le tenseur des taux de d
´
eformation).Les conditions aux limites pour la fronti
`
ere
entre phases fluide et solide sont donn
´
ees par une condition de non-p
´
en
´
etration:u
f
¢ k = 0,o
`
u
k d
´
esigne la normale
`
a l’interface entre phases,et l’
´
egalit
´
e des contraintes aux interfaces.
Pour la particule solide,on
´
ecrit l’
´
equation de la quantit
´
e de mouvement sous la forme
lagrangienne suivante
du
p
dt
= g +
1
m
p
F(u
p
;u
f
);(3)
o
`
u F(u
p
;u
f
) d
´
esigne le champ de force r
´
esultant de l’interaction du fluide et de la particule,
m
p
est la masse de la particule et u
p
la vitesse de son centre de gravit
´
e.Notons que pour
l’instant la force F(u
p
;u
f
) n’est pas d
´
efinie;dans l’expression de la d
´
ependance de F vis-
`
a-vis des variables de l’
´
ecoulement,nous avons fait l’hypoth
`
ese qu’elle d
´
epend de la vitesse
instantan
´
ee de la particule et du champ (eul
´
erien) de vitesse instantan
´
ee du fluide (donn
´
e par
les
´
equations de Navier-Stokes).On voit imm
´
ediatement le couplage qui existe entre les deux
jeux d’
´
equations puisque pour r
´
esoudre les
´
equations de Navier-Stokes,il faut conna
ˆ
ıtre les
conditions aux limites,donc la position de la particule,et que pour conna
ˆ
ıtre la position de cette
derni
`
ere
`
a un instant donn
´
e,il faut conna
ˆ
ıtre le champ de vitesse du fluide.
Pour y voir plus clair dans ce couplage,nous allons maintenant transformer ces
´
equations
afin de faire appara
ˆ
ıtre les nombres sans dimension importants.Introduisons a une longueur
caract
´
eristique de la particule et U une
´
echelle de vitesse du fluide.L’
´
echelle de temps pour
le fluide s’en d
´
eduit:a=U.Pour d
´
efinir un temps caract
´
eristique du fluide,plusieurs strat
´
egies
sont possibles.Pour simplifier le choix,on va d
´
ej
`
a
´
ecarter les syst
`
emes domin
´
es par la gra-
vit
´
e pour lesquels m
p
g À F(u
p
;u
f
).On va d
´
efinir le temps caract
´
eristique de la particule
comme un temps de relaxation,c’est-
`
a-dire le temps n
´
ecessaire pour que la vitesse varie de
2
17
`
eme
Congr
`
es Franc¸ais de M
´
ecanique Troyes,– septembre 2005
fac¸on appr
´
eciable sous l’action du fluide quand on modifie subitement l’
´
equilibre de la parti-
cule.Si l’on d
´
esigne par F l’ordre de magnitude de la force d’interaction,un examen des termes
pr
´
edominants dans (3) montre qu’il faut d
´
efinir le temps de relaxation de la particule comme
´
etant:t
p
= m
p
U=F.Exprimons maintenant les
´
equations pr
´
ec
´
edentes sous une forme sans
dimension (les variables sans dimension portent un tilde)
Re
p
µ
@~u
f
@
~
t
+~u
f
¢ r~u
f

= ¡

f
a
¹U
r~p +¢~u
f
;(4)
o
`
u P est l’
´
echelle de pression g
´
en
´
eralis
´
ee,qu’on prendra ici
´
egale
`
a P = ¹U=(½
f
a) et Re
p
=
½
f
Ua=¹ est le nombre de Reynolds particulaire.Pour la particule solide,on aboutit
`
a
St
d~u
p
d
~
t
=
m
p
F
g +
~
F(~u
p
;~u
f
);(5)
avec St = t
p
=t
f
le nombre de Stokes.Interpr
´
etons maintenant les
´
equations et les r
´
egimes
d’
´
ecoulement qui en d
´
ecoulent
`
a l’aide des nombres sans dimension introduits.
Examinons tout d’abord le cas St À 1.Le temps caract
´
eristique du fluide
´
etant petit de-
vant le temps de relaxation de la particule,le fluide a le temps de s’adapter aux variations du
mouvement de la particule et inversement la particule ne subit pas les actions rapides
1
du fluide
principalement parce que le terme de couplage F est trop faible (la particule voit en revanche
les variations lentes dans le mouvement du fluide).En pratique cela signifie que le mouvement
de la particule et l’
´
ecoulement fluide sont
`
a traiter s
´
epar
´
ement et qu’il faut tenir
´
eventuellement
compte d’un terme de couplage.Si maintenant on ne consid
`
ere plus une seule particule mais
une collection de particules,cela signifie qu’une fois qu’on a moyenn
´
e les
´
equations du mou-
vement de chacune des deux phases,on se retrouve avec deux
´
equations reli
´
ees par un terme
de couplage.Physiquement cela veut donc dire qu’
`
a l’
´
echelle macroscopique,les
´
ecoulements
gardent un caract
`
ere franchement biphasique.Le transport de s
´
ediment dans les rivi
`
eres offre
un exemple de suspensions gardant un caract
`
ere biphasique
`
a l’
´
echelle macroscopique.
Dans le cas inverse St!0,le temps de relaxation
´
etant tr
`
es petit devant l’
´
echelle de
variation du fluide,la particule a le temps de s’ajuster
`
a toute variation du fluide.On d
´
eduit de
l’
´
equation (5) que m
p
g=F = ¡
~
F(~u
p
;~u
f
),c’est-
`
a-dire qu’il doit exister une fonction h telle que
u
p
= h(u
f
).La particule est donc esclave de la phase fluide.En pratique cela implique que
le mouvement de la particule se d
´
eduit imm
´
ediatement de la connaissance du mouvement du
fluide.Si on extrapole cela au cas des suspensions de particules,le r
´
egime St!0 peut
ˆ
etre
d
´
ecrit
`
a l’aide d’une seule
´
equation moyenn
´
ee repr
´
esentant le comportement des deux phases.
Dans ce cas,le comportement macroscopique du m
´
elange est identique
`
a celui d’un fluide
monophasique (malgr
´
e le caract
`
ere biphasique
`
a l’
´
echelle locale).
1.2 D’une sph
`
ere isol
´
ee
`
a une collection de sph
`
ere en suspension:passage
`
a la moyenne
Le passage
`
a la moyenne peut
ˆ
etre conduit de mani
`
ere rigoureuse lorsque Re
p
!0 et
St!0 et la concentration volumique Á (d
´
efinie comme le rapport du volume de solide sur
le volume total) est petite (Á ¿ 1).Nous commenc¸ons par indiquer comment ce passage est
classiquement r
´
ealis
´
e pour les suspensions dilu
´
ees
`
a petit nombre de Reynolds avant d’indiquer
les limites d’un tel traitement.
1.Une mani
`
ere plus rigoureuse de montrer cela est de prendre la transform
´
ee de Fourier des
´
equations (4–5)
[11].
3
17
`
eme
Congr
`
es Franc¸ais de M
´
ecanique Troyes,– septembre 2005
Un des moyens les plus efficaces de construire un op
´
erateur de moyenne est de consid
´
erer
que l’on est (fictivement) capable de r
´
ealiser un tr
`
es grand nombre d’essais (on les appellera
des r
´
ealisations) avec les m
ˆ
emes conditions macroscopiques (m
ˆ
emes conditions aux limites,
m
ˆ
eme nombre de particules,etc.);seule change donc la position des N particules.On d
´
efinit
la moyenne d’ensemble comme la moyenne de toutes les r
´
ealisations possibles;l’ensemble C
N
de toutes les r
´
ealisations possibles constitue l’espace des phases du syst
`
eme,c’est-
`
a-dire l’en-
semble des param
`
etres n
´
ecessaires
`
a sp
´
ecifier l’
´
etat du syst
`
eme.Dans le cas pr
´
esent,l’
´
etat du
syst
`
eme est enti
`
erement d
´
etermin
´
e si on conna
ˆ
ıt la position de toutes les particules.On intro-
duit la probabilit
´
e P d’observer N particules dans une configuration donn
´
ee C
N
.La moyenne
d’ensemble d’une quantit
´
e f s’
´
ecrit donc
hfi (x;t) =
Z
C
N
dC
N
P(C
N
)f(x;tjC
N
):(6)
L’
´
etape suivante est de prendre la moyenne d’ensemble des
´
equations du mouvement (1–3)
[12].Ces
´
equations moyennes font appara
ˆ
ıtre des termes traduisant ce qui se passe
`
a l’interface
solide-fluide.Ces termes sont construits comme des moyennes (dites conditionnelles) de l’
´
etat
de contrainte
`
a la surface de la particule lorsque la position des autres particules est connue;
on d
´
ebouche sur une suite hi
´
erarchique d’
´
equations que l’on ferme en postulant que la concen-
tration solide est faible (c’est-
`
a-dire qu’il n’y a que des paires de particules en interaction hy-
drodynamique).Une approche tout aussi rigoureuse peut
ˆ
etre men
´
ee dans le cas inverse o
`
u le
nombre de Stokes est tr
`
es grand et le nombre de Reynolds particulaire est

soit petit:Re
p
¿ 1 et St À 1,ce qui implique que la phase fluide peut r
´
epondre ins-
tantan
´
ement au mouvement des particules.C’est typiquement le cas d’une suspension de
particules dans un gaz.On peut alors d
´
evelopper une th
´
eorie cin
´
etique avec des concepts
assez voisins du traitement hydrodynamique [13];

soit tr
`
es grand:Re
p
À1 et St À1,ce qui implique que la phase fluide peut
ˆ
etre trait
´
ee
comme un fluide parfait (non visqueux).Certaines
´
emulsions (
´
ecoulement de bulles d’air
dans de l’eau par exemple) peuvent
ˆ
etre dans ce cas de figure.L
`
a encore,le comportement
macroscopique peut
ˆ
etre d
´
ecrit
`
a l’aide d’une th
´
eorie cin
´
etique [14].
Toutefois,hormis ces quelques cas limites,le passage
`
a la moyenne soul
`
eve des difficult
´
es
th
´
eoriques de diff
´
erent ordre:

d
`
es que l’inertie du fluide n’est plus n
´
egligeable,on tombe sur deux difficult
´
es majeures.
Premi
`
erement,la moyenne de l’
´
equation (1) donne un terme de la forme r¢ huui,qui ne
peut pas
ˆ
etre exprim
´
e simplement en fonction,de u,puisque la d
´
ecomposition de Rey-
nolds nous am
`
ene
`
a une expression de la forme r¢ hui hui+r¢ hu
0
u
0
i,qui fait appara
ˆ
ıtre
un terme cin
´
etique (tenseur de Reynolds).De plus,un second terme appara
ˆ
ıt quand on
moyenne l’
´
equation (1):h@u=@ti,ce qui implique que l’histoire de la configuration est
`
a prendre en compte et conduit
`
a inclure dans l’espace des phases l’acc
´
el
´
eration des par-
ticules.Enfin il faut noter que l’apparition de non-lin
´
earit
´
es dans l’
´
equation de Stokes
ne permet plus d’appliquer le principe de superposition,qui permettait pr
´
ec
´
edemment
d’obtenir des solutions g
´
en
´
erales
`
a la base des m
´
ethodes analytiques et num
´
eriques;

d
`
es que la concentration solide devient suffisamment grande,les interactions entre parti-
cules commencent
`
a jouer un r
ˆ
ole cl
´
e dans la dynamique des suspensions.Les
´
equations
de fermeture et les approximations pr
´
ec
´
edemment utilis
´
ees ne sont plus valables car on
commence
`
a avoir des interactions
`
a trois particules (et plus);
4
17
`
eme
Congr
`
es Franc¸ais de M
´
ecanique Troyes,– septembre 2005

lorsque le nombre de Stokes est interm
´
ediaire (St = O(1)),le couplage entre phases
continue et dispers
´
ee devient complexe,ce qui se traduit
`
a l’
´
echelle macroscopique par
l’impossibilit
´
e de traduire le comportement moyen avec l’approximation de fluide mono-
phasique;
– on va le voir plus,lorsque la concentration solide augmente jusqu’
`
a approcher la concen-
tration maximale d’entassement,un r
´
eseau de particules en contact se forme.Les contacts
(ici pris dans un sens tr
`
es g
´
en
´
eral) sont le si
`
ege de dissipations parfois importantes qui
mettent en jeu la rotation des particules.Il faut donc des
´
equations suppl
´
ementaires pour
prendre en compte ce nouveau degr
´
e de libert
´
e du syst
`
eme.
Pour contourner cette difficult
´
e,les chercheurs ont eu recours
`
a diff
´
erentes m
´
ethodes plus
ou moins
´
elabor
´
ees,comme l’introduction de nouvelles
´
equations de fermeture,ad hoc ou tir
´
ees
de simulations num
´
eriques.Nous allons ci-apr
`
es montrer le d
´
eveloppement d’un cadre de trai-
tement adapt
´
e
`
a la mod
´
elisation des suspensions tr
`
es concentr
´
ees.
2 Lois de comportement des suspensions tr
`
es concentr
´
ees
Ici,nous parlons de suspensions tr
`
es concentr
´
ees pour d
´
esigner des syst
`
emes de parti-
cules dont la concentration solide est proche du seuil maximal d’entassement Á
m
.Cela conf
`
ere
quelques propri
´
et
´
es remarquables au syst
`
eme,propri
´
et
´
es que l’on recense ici rapidement:

il peut se former un r
´
eseau de particules en contact (le terme contact est ici toujours dans
un sens tr
`
es g
´
en
´
eral);

ce r
´
eseau peut transmettre des forces sur de grandes distances presque instantan
´
ement;

ce r
´
eseau peut g
´
en
´
erer des efforts importants au niveau des contacts;

les contraintes g
´
eom
´
etriques li
´
ees
`
a ce r
´
eseau lorsqu’il doit s’
´
ecouler am
`
enent aux ph
´
eno-
m
`
enes de dilatance et de blocage;

comme on est proche de la concentration maximale d’entassement,on peut avoir des tran-
sitions entre un comportement fluide (grandes d
´
eformations) et un comportement solide
(faibles d
´
eformations);

les vo
ˆ
utes du r
´
eseau donnent naissance
`
a des zones enclav
´
ees o
`
u le niveau de contrainte
peut
ˆ
etre significativement plus faible;

les h
´
et
´
erog
´
en
´
eit
´
es de contraintes peuvent
ˆ
etre
´
egalement associ
´
ees
`
a des variations locales
de concentration solide.
2.1 Point de d
´
epart:
´
equations du mouvement
Pour simplifier le probl
`
eme,nous allons consid
´
erer que les particules sont sph
´
eriques (de
rayon a),rigides,et de m
ˆ
eme taille,que la phase continue est un fluide Newtonien,et que
l’
´
ecoulement est en cisaillement simple.Cette derni
`
ere hypoth
`
ese sur le champ cin
´
ematique est
rendue ici n
´
ecessaire pour pouvoir utiliser la notion de suspension statistiquement homog
`
ene
dans le calcul des moyennes.Le nombre de particules par unit
´
e de volume (nombre de densit
´
e)
est n que l’on relie
`
a la concentration solide volumique Á par n = Á=(4¼a
3
=3).
L’approche consiste dans un premier temps
`
a obtenir une moyenne de volume des
´
equations
du mouvement,puis ensuite
`
a utiliser une moyenne d’ensemble.L’op
´
erateur (( moyenne de
volume )) se construit simplement en prenant la moyenne int
´
egrale sur un volume de contr
ˆ
ole
V suppos
´
e de taille suffisamment grande pour contenir un grand nombre de particules mais
suffisamment petit par rapport
`
a l’
´
echelle de longueur macroscopique du probl
`
eme
´
etudi
´
e.En
5
17
`
eme
Congr
`
es Franc¸ais de M
´
ecanique Troyes,– septembre 2005
￿
FIG.1 Volume de contr
ˆ
ole
cisaillement simple,l’id
´
ee est de choisir une forme tr
`
es allong
´
ee le long de la direction du ci-
saillement et de hauteur faible de telle sorte que la suspension y soit statistiquement homog
`
ene.
La moyenne de volume d’une quantit
´
e f s’
´
ecrit alors
¹
f(x;t) =
1
V
Z
V
f(x;t)dV:(7)
Ici l’un des principaux avantages de cet op
´
erateur est qu’on peut le permuter avec l’op
´
erateur
de d
´
erivation temporelle ou spatiale.La principale subtilit
´
e ici est qu’on int
`
egre des champs
sur un volume de contr
ˆ
ole fixe V comprenant les deux phases.On d
´
efinit alors une fonction
d’appartenance
`
a la phase solide [15]:H(x) = 1 si x est
`
a l’int
´
erieur d’une particule et H(x) =
0 si x prend place dans la phase continue.On appelle V
p
le sous-volume de V comprenant les
particules et A
p
la surface enveloppant V
p
.
On multiplie l’
´
equation (1) par 1 ¡ H,puis on int
`
egre sur le volume V.En se servant de
la conservation de la masse (@H=@t +u ¢ rH = 0),de la relation rH = k sur A
p
avec k la
normale ext
´
erieure
`
a A
p
(et rH = 0 sinon),et de la d
´
ecomposition de Reynolds u
f
=
¹
u
f
+u
0
f
,
on peut en fin de compte
´
ecrire
½
f
µ
@¹u
f
@t
+r¢ ¹u
f
¹u
f

= ¡r¹p +
1
V
Z
A
p

f
¡p1) ¢ kdA+r¢
1
V
Z
V
f

f
¡½
f
u
0
f
u
0
f
)dV:(8)
Dans cette
´
equation,il faut comprendre la vitesse moyenne de la phase continue comme
´
etant
¹u
f
(x;t) =
1
V
Z
V
(1 ¡H(x;t)) u
f
(x;t)dV =
1 ¡Á
V
f
Z
V
f
u
f
(x;t)dV;
o
`
u l’on s’est servi de la d
´
efinition de la concentration solide
R
V
(1 ¡H)dV = 1 ¡ Á.Ici,on a
donc d
´
efini la vitesse moyenne de la phase continue au niveau du volume de contr
ˆ
ole;cette
vitesse moyenne vaut 1 ¡Á la vitesse fluide r
´
eelle (c’est-
`
a-dire celle moyenn
´
ee sur le volume
occup
´
e par le fluide).
Pour le solide,il faut nous ramener tout d’abord
`
a une forme eul
´
erienne du mouvement.
L’hypoth
`
ese de sph
`
ere rigide entra
ˆ
ıne que le champ cin
´
ematique au sein d’une particule est de
la forme:u
p
(x;t) = u
p
(y;t)+!
p
£(x¡y) avec y la position du centre de gravit
´
e et!la vitesse
de rotation de la particule.Comme le gradient d’un champ rotationnel est nul,l’
´
equation locale
pour une particule solide s’
´
ecrit alors:½
p
@u
p
=@t = ½
p
g+r¢¾
p
,avec ici une premi
`
ere difficult
´
e:
la particule
´
etant rigide,le champ de contrainte est ind
´
efini.En fait cela ne constituera pour la
6
17
`
eme
Congr
`
es Franc¸ais de M
´
ecanique Troyes,– septembre 2005
suite qu’un probl
`
eme mineur dans la mesure o
`
u si l’on int
`
egre cette
´
equation sur son volume,
la relation de Green-Ostrogradski permet de relier ce champ aux forces agissant
`
a la surface du
solide.On proc
`
ede comme pr
´
ec
´
edemment en multipliant l’
´
equation pr
´
ec
´
edente par H puis en
int
´
egrant sur V.On notera qu’en fait V n’englobe pas n
´
ecessairement des volumes entiers de
particule,comme cela est sch
´
ematis
´
e sur la figure 1.De nouvelles manipulations am
`
enent
`
a
½
p
µ
@¹u
p
@t
+r¢ ¹u
p
¹u
p

= Á½
p
g +r¢ (¹¾
p
¡½
p
u
0
p
u
0
p
) ¡
1
V
Z
A
p
¾
p
¢ kdA:(9)
Puisqu’
`
a la surface des particules on a:¾
p
¢ k = (¾
f
¡ p1) ¢ k,le dernier terme du membre
de droite,repr
´
esentant les contraintes exerc
´
ees
`
a la surface des particules,
´
equivaut (au signe
pr
`
es) au terme similaire dans l’
´
equation (8).Ces termes refl
`
etent les transferts de quantit
´
e de
mouvement qui existent entre les deux phases,transferts qui se r
´
ealisent donc simplement
`
a
travers leur interface commune.
Il est possible de d
´
efinir une vitesse locale sous la forme:u(x;t) = Hu
p
(x;t) + (1 ¡
H)u
f
(x;t).La vitesse moyenne volumique s’
´
ecrit donc:¹u(x;t) = ¹u
p
(x;t) + ¹u
f
(x;t).On peut
´
egalement d
´
efinir une vitesse moyenne massique:¹½¹u
m
= ½
p
¹u
p
+ ½
f
¹u
f
,avec ¹½ = Á½
p
+
(1 ¡Á)½
f
.Les deux vitesses ne co
¨
ıncident que lorsque les masses volumiques des deux phases
sont
´
egales.Une approximation utile peut
ˆ
etre faite quand la masse volumique de l’une des
phases est tr
`
es faible devant l’autre et la vitesse moyenne des deux phases est du m
ˆ
eme ordre
de grandeur.Si l’on reprend l’analyse dimensionnelle pr
´
ec
´
edente,un tel cas se rencontre par
exemple pour une suspension de particules solides dans un gaz avec St À1 et ½
p
À½
f
;il en
est de m
ˆ
eme pour des
´
emulsions (½
p
¿½
f
et St À1 ou St!0).Notons enfin que l’
´
equation
de conservation de la masse est v
´
erifi
´
ee r¢ ¹u = r¢ ¹u
m
= 0 (Á
´
etant suppos
´
ee constante).
En additionnant terme
`
a terme les deux
´
equations (8) et (9),on obtient l’
´
equation moyenn
´
ee
de conservation de la quantit
´
e de mouvement
¹½
µ
@¹u
m
@t
+r¢ ¹u
m
¹u

= ¡r¹p
?
+r¢
1
V
Z
V
(¾ ¡(½u)
0
u
0
)dV;(10)
avec ¹p
?
=
¹
© + ¹p
f
(avec maintenant r
¹
© = ¡¹½g).Cette
´
equation n’est r
´
eellement int
´
eressante
que dans la mesure o
`
u l’on peut l’arranger sous une forme classique d’
´
equation de bilan d’un mi-
lieu continu,c’est-
`
a-dire si on a ¹u
m
¼ ¹u afin que les termes du membre de gauche puissent
ˆ
etre
identifi
´
es
`
a une d
´
eriv
´
ee mat
´
erielle.Si une telle condition est v
´
erifi
´
ee,alors on peut imm
´
ediatement
identifier l’expression du membre de droite sous l’op
´
erateur divergence comme
´
etant typique
d’un tenseur de contraintes.Nous appellerons le tenseur macroscopique des extra-contraintes
¹¾ =
1
V
Z
V
(¾ ¡½uu
0
)dV;(11)
qui est la forme propos
´
ee par Batchelor pour la contrainte macroscopique [1].On montre que
ce tenseur se d
´
ecompose en une contribution fluide [10]
¹¾
(f)
= 2¹
¹
d ¡
1
V
Z
V
f
½
f
u
0
u
0
dV;(12)
et une contribution particulaire plus complexe
¹¾
(p)
=
1
V
Z
A
p
¾ ¢ xkdA¡
1
V
Z
V
p
½
p
u
0
u
0
dV +G(!
p
);(13)
7
17
`
eme
Congr
`
es Franc¸ais de M
´
ecanique Troyes,– septembre 2005
o
`
u G(!
p
) repr
´
esente une fonction antisym
´
etrique assez complexe de!
p
que l’on ne d
´
etaillera
pas ici,notamment parce que dans la plupart des cas d’int
´
er
ˆ
et pratique,G s’annule [10].Le
terme le plus int
´
eressant est le premier terme de droite,que l’on peut repr
´
esenter sous la forme
´
equivalente:na < fk >,qu’on a obtenu en
´
ecrivant qu’
`
a la surface d’une particule,l’
´
equilibre
des contraintes am
`
ene
`
a:f = ¾
p
¢ kdA = (¾
f
¡1) ¢ kdA+f
c
,o
`
u f repr
´
esente l’ensemble des
forces de surface agissant sur une particule et f
c
l’action de contact exerc
´
ee par une particule
en contact.(On a fait de plus l’hypoth
`
ese que le syst
`
eme est ergodique et donc on peut rempla-
cer des moyennes de volume par des moyennes d’ensemble).On reconna
ˆ
ıt dans ce r
´
esultat un
r
´
esultat bien connu des m
´
ecaniciens des sols [16] et qui permet de d
´
efinir la contrainte macro-
scopique en fonction de la distribution de forces de contact entre particules f.
2.2 Equation de bilan pour l’
´
energie
Dans le cadre de l’approximation d’une suspension monophasique
`
a l’
´
echelle macrosco-
pique,on peut r
´
ealiser un calcul similaire pour l’
´
energie totale du syst
`
eme par unit
´
e de volume
E ="+u
2
=2,o
`
u"d
´
esigne l’
´
energie interne et u
2
=2 est l’
´
energie cin
´
etique (toujours par unit
´
e
de volume).On montre alors [10]
d½¹"
dt
+
1
2
d
dt
½u
0
2
= ¹¾:
¹
d +r¢ q +
Z
A
p
k ¢ ]¾ ¢ u[dA:(14)
Le premier terme du membre de gauche repr
´
esente la variation de l’
´
energie interne et le
second la variation d’
´
energie cin
´
etique fluctuante (li
´
ee
`
a une (( temp
´
erature granulaire)) T =
u
0
¢ u
0
=3 repr
´
esentant l’agitation des particules).Dans le membre de droite,le premier terme
repr
´
esente le travail fourni par le cisaillement simple (en cisaillement simple on a:¹¾ ¢
¹
d = ¿ _°
avec ¿ la contrainte de cisaillement et _° le taux de cisaillement),le second terme q = ¡
¾ ¢ u
0
est
un flux d’
´
energie li
´
e aux fluctuations de vitesses,tandis que le troisi
`
eme est li
´
e aux dissipations
d’
´
energie lors des contacts entre particules (ce terme provient du fait que la vitesse de glissement
au niveau du contact n’est pas n
´
ecessairement nulle,ce qui dissipe de l’
´
energie).
Une autre interpr
´
etation peut en
ˆ
etre tir
´
ee apr
`
es avoir int
´
egr
´
e l’
´
equation (14) sur un volume
de contr
ˆ
ole V de fronti
`
ere A.En r
´
earrangeant les termes,on tire [17]
Z
V
¹¾:
¹
ddV =
Z
A
µ
1
2
½Tu ¢ k +q ¢ k

dA+
Z
V
(
_
¹"¡hk ¢ ]¾ ¢ u[i)dV:(15)
Le premier terme repr
´
esente la production d’
´
energie sous l’effet du cisaillement.Il existe
deux modes de dissipation de cette
´
energie.Une partie est dissip
´
ee sous l’effet de m
´
ecanismes
de diffusion,qui ne font en fait que distribuer l’
´
energie.Dans le cas pr
´
esent,il y a,d’une
part,l’advection d’
´
energie fluctuante entre l’
´
energie fluctuante rec¸ue et celle fournie au volume
de contr
ˆ
ole) et,d’autre part,le flux d’
´
energie fluctuante q qui peut dissiper de l’
´
energie aux
fronti
`
eres du domaine.Le second mode de dissipation de l’
´
energie est li
´
e aux processus de dis-
sipation interne soit par augmentation de l’
´
energie interne (production de chaleur sous l’effet
du frottement visqueux ou des d
´
eformations in
´
elastiques au sein des particules,et donc aug-
mentation de la temp
´
erature thermodynamique du syst
`
eme),soit par dissipation au niveau des
contacts entre particules (lorsque le contact est glissant).
Dans le cas d’un fluide newtonien,le terme de dissipation particulaire n’existe pas,l’agita-
tion particulaire est tr
`
es faible,et il en ressort que le principal mode de dissipation de l’
´
energie
8
17
`
eme
Congr
`
es Franc¸ais de M
´
ecanique Troyes,– septembre 2005
est l’augmentation de l’
´
energie interne.Pour des suspensions concentr
´
ees,on introduit d’une
part la possibilit
´
e de dissiper de l’
´
energie aux fronti
`
eres (solides) si l’agitation particulaire est
suffisante et d’autre part la possibilit
´
e de dissiper de l’
´
energie au niveau des contacts glissants
entre particules.Du point de vue de la dissipation d’
´
energie,suspensions concentr
´
ees et fluides
homog
`
enes se comportent donc diff
´
eremment.Une propri
´
et
´
e remarquable en d
´
ecoule:dans
le cas des fluides newtoniens,il y a
´
equivalence entre
´
equations de l’
´
energie et de la quantit
´
e
de mouvement;il est
´
egalement possible de construire le tenseur des contraintes de la fac¸on
suivante:¾
ij
= @½
_
¹
E=@
¹
d
ij
.Dans le cas des suspensions tr
`
es concentr
´
ees,une telle op
´
eration
n’est possible que si l’on incluait dans l’
´
energie interne les autres termes de dissipation,termes
dont on ne conna
ˆ
ıt pas d’expression g
´
en
´
erique.En pratique,pour des suspensions concentr
´
ees,
l’
´
equation de l’
´
energie n’est pas
´
equivalente
`
a celle de la quantit
´
e de mouvement et peut donc
ˆ
etre utilis
´
ee comme
´
equation suppl
´
ementaire pour la fermeture du probl
`
eme.
2.3 Diagramme des r
´
egimes et calcul des contributions
Jusqu’
`
a pr
´
esent,nous avons utilis
´
e l’op
´
erateur (( moyenne de volume )) pour
´
etablir le lien
entre micro- et macro-structure.Toutefois,nous ne pouvons gu
`
ere esp
´
erer aller plus loin dans
cette direction.Si l’on souhaite progresser dans la d
´
etermination d’une loi de comportement,
la principale id
´
ee est d’examiner les contributions des diff
´
erentes phases et de ne retenir que
les termes pr
´
edominants.Cela se fait classiquement
`
a l’aide de nombres sans dimension.Pour
caract
´
eriser une interaction,il faut sp
´
ecifier un temps caract
´
eristique associ
´
e et un ordre de
grandeur de la contrainte g
´
en
´
er
´
ee.Pour qu’une interaction soit pr
´
edominante,il faut
`
a la fois
qu’elle ait le temps de se produire et que sa magnitude soit bien sup
´
erieure
`
a celle des autres.
En pratique,la plupart des nombres sans dimension que l’on forme peuvent s’interpr
´
eter
`
a la
fois en termes de temps caract
´
eristique et de force.C’est le cas par exemple du nombre de
Stokes,qui est
`
a la fois un rapport de temps de relaxation particule/fluide et un rapport de force
inertie des particules/frottement visqueux.Cela
´
evite d’introduire une pl
´
ethore de nombres sans
dimension.Pour les suspensions concentr
´
ees,d’autres nombres sans dimension que le nombre
de Stokes peuvent
ˆ
etre utilis
´
es avec profit.
Consid
´
erons l’exemple d’un
´
ecoulement granulaire sec.Des r
´
eseaux de particules en contact
se forment au cours du cisaillement.A chaque instant,des branches se cr
´
eent,d’autres sont
d
´
etruites.Prenons une particule appartenant
`
a un r
´
eseau de force,donc suppos
´
ee
ˆ
etre sou-
mise essentiellement
`
a du frottement.A une profondeur h,l’ordre de grandeur de la contrainte
normale ¾
n
est ½
p
gh.Le temps caract
´
eristique du frottement t
p
peut
ˆ
etre estim
´
e
`
a partir de
l’
´
equation du mouvement de cette particule:m_v ¼ ¡¸¾
n
a
2
,o
`
u ¸ d
´
esigne le coefficient de
frottement interparticulaire.On d
´
eduit que le temps caract
´
eristique (d
´
efini comme le temps
n
´
ecessaire
`
a ce que la particule parcourt une distance a) vaut
`
a peu pr
`
es t
p
/
p
½
p
a
2

n
.Ce
temps peut
ˆ
etre compar
´
e
`
a la dur
´
ee de vie du r
´
eseau de particules t
n
.En cisaillement simple,
au bout d’un temps t
n
¼ _°
¡1
,deux particules initialement en contact se trouvent s
´
epar
´
ees.On
peut donc d
´
efinir un nombre que nous appellerons de Coulomb sous la forme suivante [17]
Co =
µ
t
p
t
n

2
=
½
p
a
2

2
¾
n
;
rapport que l’on peut
´
egalement interpr
´
eter comme le rapport d’une contrainte collisionnelle ou
inertielle sur une contrainte normale.Les cons
´
equences en termes dynamiques sont
`
a
´
etablir:

si Co ¿ 1,cela veut dire que (i) la particule a le temps de s’adapter aux variations
des contraintes macroscopiques durant un cycle de vie du r
´
eseau auquel elle a pris part,
9
17
`
eme
Congr
`
es Franc¸ais de M
´
ecanique Troyes,– septembre 2005
￿
FIG.2 Diagramme simplifi
´
e des r
´
egimes d’
´
ecoulement.D’apr
`
es [18,19].Les transitions
entre r
´
egimes sont d
´
efinies
`
a l’aide de nombre sans dimension:le nombre de P
´
eclet Pe =
6¼¹a
3
_°=(kT) (T la temp
´
erature thermodynamique,k la constante de Boltzmann) pour la
transition entre r
´
egimes brownien (agitation thermique des particules) et hydrodynamique;le
nombre de r
´
epulsion Nr = ª=(kT) (avec ª le potentiel des interactions de van der Waals)
pour la transition entre r
´
egimes collo
¨
ıdal et brownien;¡ = 6¼¹a
3
_°=ª un nombre traduisant
le rapport des forces hydrodynamiques sur les interactions collo
¨
ıdales;le nombre de Reynolds
particulaire ou de l’
´
ecoulement pour la transition vers la turbulence;le nombre de Leighton
Le = ¹_°a=(²¾
n
) (avec ²a la distance moyenne de s
´
eparation entre les surfaces de deux par-
ticules voisines) pour la transition entre r
´
egimes hydrodynamique et frictionnel;le nombre de
Bagnold Ba = ½
p
_°²a=¹ pour la transition entre r
´
egimes hydrodynamique et collisionnel.Par
ailleurs Á
m
d
´
esigne la concentration solide maximale d’entassement (Á
m
¼ 0;635 pour des
particules sph
´
eriques de m
ˆ
eme taille) et Á
c
la concentration minimale d’apparition d’un r
´
eseau
de particules en contact (Á
c
de l’ordre de 0;5 pour des particules sph
´
eriques de m
ˆ
eme taille).
10
17
`
eme
Congr
`
es Franc¸ais de M
´
ecanique Troyes,– septembre 2005
(ii) les effets inertiels sont n
´
egligeables devant les effets frictionnels,(iii) ce r
´
eseau de
contact a mat
´
eriellement le temps de transmettre des efforts des couches sup
´
erieures aux
couches basales,(iv) une particule du r
´
eseau ressent des effets
`
a tr
`
es longue port
´
ee (il y a
donc des effets non-locaux).On s’attend donc
`
a ce que les contacts frictionnels jouent un
r
ˆ
ole pr
´
edominant dans la dynamique d’ensemble et que le comportement macroscopique
refl
`
ete ce comportement.On montrera plus loin qu’il en est ainsi.On appelle r
´
egime
frictionnel un tel r
´
egime d’
´
ecoulement.
– A l’oppos
´
e,lorsque Co À 1,cela implique que (i) la dur
´
ee de vie des r
´
eseaux est trop
faible pour que la transmission d’efforts ait lieu,(ii) les effets inertiels l’emportent sur
les effets frictionnels,(iii) le mouvement de la particule est principalement influenc
´
ee par
le mouvement local des particules voisines (comportement similaire
`
a un gaz dense).On
appelle r
´
egime collisionnel un tel r
´
egime d’
´
ecoulement.
`
A l’aide d’un certain nombre de groupes sans dimensions,il est possible d’arriver
`
a un
´
etablir un diagramme simplifi
´
e du comportement d’une suspension [18,19,10].La figure 2
fournit une sch
´
ematisation d’un tel diagramme dans le cas du cisaillement simple;on a pris
comme param
`
etres-cl
´
es sur le plan macroscopique la concentration solide Á et le taux de ci-
saillement _°.Pour les concentrations solides faibles
`
a mod
´
er
´
ees,les r
´
egimes d’
´
ecoulement et
leurs transitions vers d’autres r
´
egimes sont assez bien connus [20].En revanche,au fur et
`
a
mesure que la concentration solide augmente,la d
´
etermination de la loi de comportement est
plus difficile.
3 Bilan et perspectives
L’id
´
ee force de l’approche rh
´
eophysique est qu’il est possible de d
´
eduire ou d’expliquer le
comportemet rh
´
eologique des suspensions concentr
´
ees par une analyse du comportement local
et des interactions fluides/particules;nous avons ici balay
´
e les principaux concepts utilis
´
es
`
a
cette fin et leurs limites.Un point que nous avons
´
egalement d
´
evelopp
´
e concerne les nombres
sans dimension caract
´
erisant les
´
ecoulements.Une hypoth
`
ese est que,malgr
´
e le nombre de pa-
ram
`
etres et de processus impliqu
´
es,une vision d’ensemble du comportement des suspensions
peu
ˆ
etre obtenue en se plac¸ant dans un diagramme _° ¡Á et en consid
´
erant quelques nombres
sans dimensions.Nous avons montr
´
e que des nombres comme ceux de Coulomb,Bagnold,etc.
peuvent
ˆ
etre construits comme des rapports de temps et de force.Nos premi
`
eres exp
´
eriences sur
des
´
ecoulements granulaires [17,21] et des suspensions concentr
´
ees [22] ont confirm
´
e qu’on
pouvait caract
´
eriser
`
a l’aide d’un seul nombre dimension le comportement macroscopique;
depuis ces essais,d’autres exp
´
eriences tendent
`
a confirmer ce r
´
esultat [23].Il est l
´
egitime ce-
pendant de se demander quelle est la limite de cette hypoth
`
ese.Ainsi les exp
´
eriences r
´
ecentes
de Lenoble et al.[24] ont permis de visualiser ce qui se passait dans une cellule de cisaillement
de Couette et ont r
´
ev
´
el
´
e un comportement bien plus riche que les mod
`
eles de champ moyen que
nous proposions [22] consid
`
erent.
R
´
ef
´
erences
[1]
G.K.Batchelor.The stress systemin a suspension of free-forces particles.J.Fluid Mech.,
41:545–570,1970.
[2]
Y.A.Buyevich and I.N.Shchelchkova.Flow of dense suspension.Prog.Aero.Sci.,
18:121–150,1978.
11
17
`
eme
Congr
`
es Franc¸ais de M
´
ecanique Troyes,– septembre 2005
[3]
D.Lhuillier.Transport phenomena in moderatly concentrated suspensions of rigid spheres.
Physica A,165:303–319,1990.
[4]
D.Lhuillier.Ensemble averaging in slightly non-uniform suspensions.Eur.J.Mech.B,
6:649–661,1992.
[5]
D.Z.Zhang and A.Prosperetti.Averaged equations for inviscid disperse two-phase flow.
J.Fluid Mech.,267:185–219,1994.
[6]
D.Z.Zhang and A.Prosperetti.Momentum and energy equations for disperse two-phase
flows and their closure for dilute suspensions.Int.J.Multiphase Flow,23:425–453,1997.
[7]
J.T.Jenkins and H.M.Hanes.Collisional sheet flows of sediment driven by a turbulent
fluid.J.Fluid Mech.,370:29–52,1998.
[8]
D.L.Koch and R.J.Hill.Inertial effects in suspension and porous-media flows.Annu.Rev.
Fluid Mech.,33:619–647,2001.
[9]
B.H.A.A.van der Brule and R.J.J.Jongshaap.Modeling of concentrated suspensions.J.
Stat.Phys.,62:1225–1237,1991.
[10]
C.Ancey,P.Coussot,and P.Evesque.A theoretical framework for very concentrated
granular suspensions in a steady simple shear flow.J.Rheol.,43:1673–1699,1999.
[11]
S.Kim and S.J.Karrila.Microhydrodynamics:Principles and Selected Applications.
Butterworth-Heinemann,Stoneham,1991.
[12]
E.J.Hinch.An averaged-equation approach to particle interactions in a fluid suspension.
J.Fluid Mech.,83:695–720,1977.
[13]
A.Sangani,G.Mo,H.K.Tsao,and D.L.Koch.Simple shear flows of dense gas-solid
suspensions at finite Stokes numbers.J.Fluid Mech.,313:309–341,1996.
[14]
S.Y.Kang,A.Sangani,H.K.Tsao,and D.L.Koch.Rheology of dense bubble suspensions.
Phys.Fluids
,9:1540–1561,1997.
[15]
T.S.Lundgren.Slowflowthrough stationary randombeads and suspensions of spheres.J.
Fluid Mech.,51:273–299,1972.
[16]
J.Christoffersen,M.M.Mehrabadi,and S.Nemat-Nasser.Amicromechanical description
of granular behavior.J.Appl.Mech.,48:339–344,1981.
[17]
C.Ancey and P.Evesque.Frictional-collisional regime for granular suspension flows
down an inclined channel.Phys.Rev.E,62:8349–8360,2000.
[18]
P.Coussot and C.Ancey.Rh
´
eophysique des p
ˆ
ates et des suspensions.EDP Sciences,Les
Ulis,1999.
[19]
P.Coussot and C.Ancey.Rheophysical classification of concentrated suspensions and
granular pastes.Phys.Rev.E,59:4445–4457,1999.
[20]
W.B.Russel,D.A.Saville,and W.R.Schowalter.Colloidal dispersions.Cambridge Uni-
versity Press,Cambridge,1995.
[21]
C.Ancey.Dry granular flow down an inclined channel:Experimental investigations on
the frictional-collisional regime.Phys.Rev.E,65:11304,2002.
[22]
C.Ancey.Role of lubricated contacts in concentrated polydisperse suspensions.J.Rheol.,
45:1421–1439,2001.
[23]
GDR-MIDI.On dense granular flows.The European Physical Journal E,14:341–365,
2004.
[24]
M.Lenoble,P.Snabre,B.Pouligny,and C.Barentin.Shearing a granular paste in a Couette
device:flow and size segregration.In H.Hermann,editor,Powders and Grains,Stuttgart,
2005.Balkema.
12