Approc he Visualisation Mamadou Moustapha Kanté Laboratoire ...

mindasparagusNetworking and Communications

Jul 14, 2012 (5 years and 4 days ago)

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Décompositiondegraphes
ApprocheVisualisation
MamadouMoustaphaKanté
LaboratoireBordelaisdeRechercheenInformatique,France
Décompositiondegraphes–p.1
Références
[AP90] Baruch Awerbuch and David Peleg.Sparse
partitions.In 31
th
Annual IEEE Sympo-
sium on Foundations of Computer Science
(FOCS),pages 503–513.IEEE Computer
Society Press,October 1990.
[BC005] Décompositions arborescentes,chapter??
??,2005.
[BMT] Vincent Bouchitté,Frédéric Mazoit,and
Ioan Todinca.Treewidth of planar graphs:
connections with duality.submitted to else-
vier Science.
[Bod] Hans L.Bodlaender.
http://www.cs.uu.nl/people/hansb.Une
bonne référence pour la largeur arbores-
cente,en plus il y a une bibliothèque
TreewidthLIB qui teste des algorithmes de
décomposition.
[Bod05] Hans L.Bodlaender.Discovering treewidth.
Technical report,Institute of information
and computing sciences,utrecht university,
2005.
[CGMZ05] Hubert T-H.Chan,Anumap Gupta,
Bruce M.Maggs,and Shuheng Zhou.On
1-1
hierarchical routing in doubling metrics.
SODA,2005.
[Cou05] Bruno Courcelle.The monadic second-
order logic of graphs XVI:canonical graph
decompositions.to appear,2005.
[Dah00] E.Dahlhaus.Parallel algorithms for hierar-
chical clustering,and applications to split
decompostions and parity graph recogni-
tion.Journal of algorithms,36(2):205–240,
2000.
[dM03] Fabien de Montgolfier.Décomposition mo-
dulaire des graphes:théorie,extensions et
algorithmes.PhD thesis,Université Mont-
pellier II,2003.
[Kan05] Mamadou Moustapha Kanté.Largeur de
clique et k-HB décomposition d’après j.
johnson.Master’s thesis,Université Bor-
deaux 1,2005.
[KL03] Robert Krauthgamer and James R.Lee.The
intrinsic dimensionality of graphs.STOC,
2003.
[KLMN05] Robert Krauthgamer,James R.Lee,Manor
Mendel,and Assaf Naor.Measured des-
cent:a new embedding method for finite
metrics.???,18 Aug 2005.
1-2
[KPR93] Philip N.Klein,Serge A.Plotkin,and Sa-
tish B.Rao.Excluded minors,network de-
composition,and multicommodity flow.In
25
th
Annual ACMSymposium on Theory of
Computing (STOC),pages 682–690.ACM
Press,1993.
[Lan01] J.-M.Lanlignel.Autour de la décomposition
en coupes,school = Université Montpellier
II,LIRMM.PhD thesis,2001.
[Maz04] Frédéric Mazoit.Décompositions algorith-
miques des graphes.PhDthesis,ENS Lyon,
2004.
[MS94] T.Ma and J.P.Spinrad.An o(n
2
) algorithm
for undirected split decomposition.Journal
of Algorithms,16(1):145–160,1994.
[PR00] Ljubomir Perkovi´c and Bruce Reed.An im-
proved algorithm for finding tree decompo-
sitions of small width.IJFOCS,> 2000.
[Sch97] Ina Schiering.A hierarchical approach to
monadic second-order logic over graphs.
???,1997.
1-3
Introduction
1.Larécurrenceestunoutilprivilégiéenmathématiqueseteninformatique.
2.Réductiond’uneclasseversuneautre=>décomposition.
3.Danslesgraphesplusieursproblèmestrèsdifficilesetcoûteuxenespace
etentemps:

Résolutiondeproblèmes
NP
pourcertainesclassesdegraphes

Visualisationdegrandsgraphes,analyse/navigationdegrandsgraphes

Transformationsdanslesgraphes,...
4.Solution:chercherunedécompositionhiérarchique.

Exemple:décompositionplanaire
5.Maispasdemiracles:chaquedécompositionestadaptéeàcertains
problèmesetpasàd’autres.
Décompositiondegraphes–p.2
Introduction
Nousallonsprésentercesdifférentesdécompositions
1.Présentationsuccinctedecertainesdécompositions:

décompositionmodulaire

quelquesdécompositionsdeclustering
2.Décompositionarborescenteetcertainesvariantes.
3.Largeurdeclique.
4.k-HB
décomposition.
5.
SH
-décomposition.
Ons’intéresseauxgraphessimplesnonorientés.Onposen=jV
G
j;m=
jEG
j.
Décompositiondegraphes–p.2
Décompositions“générales”
Définition3.1Ladécompositiond’ungrapheGestunensembledegraphes
quel’onappellecomposantesquiestsoitfGgouunensembleobtenuàpartir
d’unedécompositionenremplaçantunecomposanteparlescomposantesde
sadécomposition.Cettedéfinitionpeutaboutiràunprocessusrécursif.
Onpeutciterentreautres:

LadécompositiondeTutted’ungraphe2-connexe.

Ladécompositiond’ungrapheplanaireengraphesplanairesexternes.
-DanielGonçalvezaprouvéparexemplequetoutetriangulationd’un
grapheplanaireestdécomposableen2sous-graphesplanairesexternes
triangulésAetBtelqueAestconnexeetBa2composantesconnexes.
Deplusilproposeunalgorithmelinéaire.
Décompositiondegraphes–p.3
Décompositionmodulaire

SoitXVG
.OnditqueXestunmodulesipourtouty2VG
Xsoity
estreliéàtouslesélémentsdeXouàaucun.

Unmoduleesttrivials’ilestégalàVG
ou;oufvg;v2VG
.Ungrapheest
premiers’ilnecomportequedesmodulestriviaux.

Unmodulefortestunmodulequinechevauchepasunautremodule.

OnnoteG[H=v]lasubstitutiondeHàvdansG(toutsommetreliéàvest
reliéàtouslessommetsdeH).
Définition4.1Ladécompositionmodulaired’ungrapheGestl’ensemblede
toussesmodulesforts.Onpeutlereprésentersousformed’arbres.Laracine
estlemoduletrivialVG
etlesfeuilleslesmodulestriviauxfvg.Lesnoeuds
sontlesmodulesnontriviauxetonaunerelationpère-filsentredeuxmodules
YetXsiXY.
Ladécompositionmodulaireestunproblèmerésolubleentempspolynomial
(ilexisteplusieursalgorithmesentempsO(n+m).Leurdifférencerésulte
seulementdanslacompréhensiondel’algorithme.)
Décompositiondegraphes–p.4
Décompositionmodulaire

Ladécompositionmodulaireestutilepouruncodagecompactdesgraphes
(onfactoriseenquelquesorteleslistesd’adjacence)

Elleestutilepourlarésolutiondeproblèmes
NP
danscertainesclassesde
graphes(sansP
5
induits,comparabilité,...),endessinsdegraphes,
reconnaissancedegraphes,...

MaissoitG2G
n
;Pr(Gpremier)=1lorsquentendversl’infini.

Lanotiondemoduleestgénéraliséeauxgraphesorientésetplus
généralementauxk-structures.

Elleaétéétendueauconceptdepairehomogènepuisdek-homogène.
VoirlathèsedeFabienMontgolfierpouruneétudedétaillée[
dM03
].
Décompositiondegraphes–p.4
Décompositionmodulaire
Exempled’unedécompositionmodulaire
1
23
45
1
1
54
54
2
2
2
3
3
3
Décompositiondegraphes–p.4
Splitdécomposition

Unsplitd’ungrapheconnexeestunebipartitionfA;BgtelqueE
G
=
EG[A]
[EG[B]
[(A1
B1
)[(A
2
B2
);jAj;Ai
A;Bi
B;jBj2.

SifA;BgestunsplitdeGalorsGpeutêtreexprimécommel’unionde
G[A]etG[B]reliésparunoudeuxbipartiscomplets.

IlexisteunalgorithmeparalléleetséquentielenO(n+m)[
Dah00
].

Décompositionensplits:riennevautunexemple...
b
a
c
d
ef
g
h
km
np
F
IG
.1–UngrapheG
Décompositiondegraphes–p.5
Splitdécomposition
a
b
c
d
e
f
g
h
km
np
F
IG
.1–1èrephasedelasplitdécomposition
Décompositiondegraphes–p.5
Splitdécomposition
a
bc
d
e
f
g
h
km
np
F
IG
.1–LasplitdécompositiondeG
Décompositiondegraphes–p.5
Clustering

[SparsePartitions]=fX1
;:::;X
`
gestunecouverturedeGsi
Si
Xi
=VG
etchaqueXi
estconnexe.OnappelleXi
uncluster.Une
partitiondeGestunecouverturedeGtellequeX
i
\Xj
=;.

Latailledesclusterset“l’interactionentreclusters”(chevauchement,
nombredeliensentredeuxclusters)semblentêtredebonscritèrespour
jugerdelaqualitéd’unecouverture.

Lerayond’unclustersembleêtreunbonparamètrepourlatailledes
clustersetlasparsitépour“l’interactionentreclusters”.

Pourlasparsitéonpeututilisercesdifférentesmesures:Soient(x)=
fXi
jx2Xi
g;v
(X)=N1
(X);c
(X)=fX
0
jdG
(X;X
0
)=1g.Ona
cesdifférentesmesures:()=max
x
(x);v
()=
maxX2
v
(X);c
()=maxX2
c
(X)
jXj
.

Onpeutaussiutiliserlesmoyennes.
VoirlepapierdeAwerbuchetPeleg[
AP90
].
Décompositiondegraphes–p.6
Clustering

[
KPR93
]Une(;)-décompositiond’ungrapheGestunepartition
=fX;1
;:::;Xk
gdeGtelquedG
(u;v);u;v2X
i
etquela
sommedesarêtesentreclustersestinférieureouégaleà.

Soitunparamètre.OnpeuttrouverentempspolynomialunmineurKr;r
ouunensemblede
mr

arêtestelqueleursuppressiondéconnecteGen
composantesconnexesetquepourtoutx;ydanslamêmecomposante
connexedG
(x;y)=O(r
2
).
Preuve:
Apartird’unarbrederechercheBFS,regrouperlessommetsen
classes,xestdanslaclasseksidT
(r;x)=k.Onfaitdemêmepourles
arêtesentreclasses.Soite=xyavecxdansk1
;ydansk2
>k1
.Alorsla
classedeeestk1
.Unedecesclassesd’arêtescontientauplus
m

,onenlève
cesarêtes.Oncontinuelemêmeprincipesurlescomposantesdugraphe
obtenupendantauplusrfois.Achaquephase,seulement
m

arêtesest
supprimé.
Décompositiondegraphes–p.6
Clustering
SoitXunensembleetd:XX!R
+
.Lapaire(X;d)estunespace
métriquesipourtoutx;y;z2X:
1.d(x;y)=d(y;x)
2.d(x;y)=0,x=y
3.d(x;y)+d(y;z)d(x;z)
Rd
estl’espacenormédedimensiond.`
p
estlanorme
kukp
=(jui
jp
)
1
p
;u=(u1
;:::;ud
).Soient(X;dX
)et(Y;dY
)deux
espacesmétriques.Soitf:X!Y.Onappelledistorsiondeflepluspetitk
telqu’ilexistec>0etpourtousx;y2X:
ck
1
:d
X
(x;y)dY
(f(x);f(y))c:d
X
(x;y)
SoitPX
l’ensembledetouteslespartitionsdeX.OnnoteDX
l’ensemblede
touteslesdistributionsdeprobabilitésurPX
.SoitP=fC
1
;:::;C
m
g2PX
onnoteparP(x)l’uniqueclusterquicontientx.
Décompositiondegraphes–p.6
Clustering
VoirlepapierdeKraughgameretal[
KLMN05
].
1.Unedécompositiond’unespacemétrique(X;d)estunedistributionPr
surlespartitionsdeX.Soient>0;":X!(0;1].Une-bounded
"-paddeddécompositionestunedécompositiontelque:

PourtoutP2supp(Pr),pourtoutC2P;diam(C).

Pourtoutx2X;Pr[B(x;"(x))*P(x)]
1
2
.
2.Soit":XZ!(0;1].Une"-paddeddécompositionbundledeXest
unefonction:Z!D
X
telquepourtoutu2Z;(u)estune
2u
-bounded"(:;u)-paddeddécompositiondeX.
3.OnnoteX
=inffjilexisteune"-paddeddécompositionbundledeX
avec"(x;u)=
1

g
4.SoitGungrapheplanairevaluééquipéded
G
.Gpeutêtre“dessiné”sur
`O(logn)
1
avecunedistorsiondeO(1).
Décompositiondegraphes–p.6
Clustering

SoitZd1
legrapheinfiniavecV=Zd
etonaunearêteuvàchaquefoisque
l’onakuvk1
=1.Soitdim(G)lepluspetitdtelqueGestsous-graphe
deZd1
.Soit
G
=minfjB(v;r)r

pourtoutv2VG
;r>1g.

Onapourtoutgraphedim(G)=O(
G
logG
)etpourtouteclassede
graphesKr;r
-freeonadim(G)=O(G
).OnappelleaussiG
dimension
doublantedeG.

OnaG
=O(G
).Sionnotecp
(X)lapluspetitedistorsionquirenvoieX
enLp
alorsona:cp
(X)O(
1
1
p
X
(logn)
1
p
).

Onpeutdéfiniruner-paddeddécompositionhiérarchique,leniveau
inférieurraffinantleniveausupérieuretilestprouvéquetoutespace
métrique(X;d)admetunetelledécompositionquidépendde
G
quel’on
peuttrouverentempspolynomial(basésurlelemmelocaldeLovász).

Lapaddeddécompositionétudieenfaitladécomposabilitéd’ungraphe.
Voir[
KLMN05
,
KL03
,
CGMZ05
]
Décompositiondegraphes–p.6
Petiteconclusion

Pourladécompositionmodulaire,ilexistepleind’algosenO(n+m).

Pourlasplit-décomposition,ilexisteaussiunalgorithmeenO(n+m)
paralléleetséquentiel.IlexisteaussiunalgorithmeenO(n
2
)([
MS94
]).
VoirlathésedeLanlignel[
Lan01
].

Pourlasparsedecomposition,algosenO(n
2
)avecversionsdistribuées.
L’originedecesdécompositionsestleroutagedoncconvientaussiaux
graphesavecarêtesétiquetéesdumomentqu’ilexisteunemétrique.

PourlaKPR(Klein,Plotkin,Rao),l’originec’estlescalculsdeflots,donc
convientaussiauxgraphesavecarêtesétiquetées.Lacomplexitéc’esten
O(mr+n).

Pourladimensiondoublante,trèsintéressantetàétudier.Ilexistedes
algorithmespolynomiauxbaséssurlelemmelocaldeLovász(ilexisteune
implémentationpolynomiale,quadratique?).
Décompositiondegraphes–p.7
Décompositionarborescente
Ladécompositionarborescenteestapparuedestravauxsurlesmineursde
RobertsonetSeymour.Ladécompositionarborescented’ungraphe
G=(V;E)estuncouple(T;f);Testunarbre,notonsN
T
l’ensembledes
noeuds.

f:NT
!P(V)

Sv2NT
f(v)=V

Pourtoutuw2E,ilexistev2NT
avecu;w2f(v)

Pourtoutv0
;v1
;v2
2NT
,siv1
appartientaucheminallantdev
0
àv2
alors
f(v
0
)\f(v2
)f(v1
)
Onawd(T;f)=maxfjf(n)jjn2N
T
g1etlalargeurarborescented’un
grapheGnotéetwd(G)=minfwd(T;f)j(T;f)décomposition
arborescentedeGg.
Touteslesclassesdegraphesn’ontpasunelargeurarborescentebornée.
Décompositiondegraphes–p.8
Décompositionarborescente
F
IG
.1–UngrapheG
Décompositiondegraphes–p.8
Décompositionarborescente
1
2 3
4
5
6
7
1
2 3
4
5
67
F
IG
.1–LadécompositionarborescentedeG
Décompositiondegraphes–p.8
Décompositionarborescente

Déterminezlalargeurarborescented’ungrapheest
NP
-completetmême
décidersilecouple(G;k)vérifietwd(G)k.

PourchaquekilestpossiblededéciderpourGdonnésitwd(G)ken
O(n).

PourchaquekilexisteunalgorithmeenO(nlogn)quidonneune
décompositionarborescentedelargeuraupluskourépondque
twd(G)>kendonnantunedécompositiondelargeurauplus2kd’un
sous-grapheG0
deG.Cetalgorithmeestenplusimplémentable.

BouchittéetTodincaonttrouvéunalgorithmepolynomialenlenombrede
séparateursminimauxquidonnelalargeurarborescented’ungraphe.Ceci
donneunalgorithmeintéressantsilenombredeséparateursminimauxest
polynomialetc’estlecasdepleinsdegraphes(graphesdepermutation,
chordal,...).

Ilsontégalementproposéunalgorithmed’approximationquidonneune
décompositionarborescented’auplusO(klogk)avectwd(G)=k.
Décompositiondegraphes–p.8
Décompositionarborescente

Beaucoupd’algorithmesproposéssontbaséssurdesheuristiquesetsurun
ordrelinéairedessommets.

Ilfautnoterquebeaucoupd’heuristiquessontproposésetquecertainssont
implémentablesetd’autresdifficilement.

Ilexisteégalementplusieurstechniquesdepré-traitementdugrapheavant
deleproposeràunalgorithme(décompositionmodulaire,règlesde
réécriturequigarantissentunecertainerèglequifacilitelecalcul,...)mais
aussidesposttraitementspouraméliorerladécompositionproposéeparun
algorithme.

Apparemmentbeaucoupdegraphesaléatoiresontunelargeurarborescente
bornée.

L’intérêtdeladécompositionarborescente:
-ladécompositionarborescenteseconduitbienaveclesopérationsde
mineur.
-OnpeutrésoudretouslesproblèmesexprimablesenMS2
.
Décompositiondegraphes–p.8
Décompositionarborescente

Onpeutimposerparexemplequechaquesommetn’appartiennequ’àun
nombrefixéde“sacs”.Danscecas,c’estencoreplusdifficile.

OnpeutimposerqueTsoitunechaîneetonobtientunautreparamètrela
pathwidthnotéepwd.Ilestclairquetwd(G)pwd(G).Onadesclasses
degraphesquiontunetwdbornéeetunepwdnonbornée.Enfait
BodlaenderetKloksdonnentpourtoutkunalgorithmepolynomialqui
donneunedécompositionlinéairesd’ungraphedetwd(G)k.

DansleurstravauxsurlalargeurarborescenteRobertsonetSeymouront
définiunenouvelledécomposition:labranchwidth.Déciderlabranchwidth
est
NP-completengénéralmaispolynomialpourlesgraphesplanaires.

InaSchieringagénéraliséladécompositionarborescenteendéfinissantla
cH-décomposition.C’estlamêmedéfinitionsaufquechaqueclusterdoit
êtreconnexeetlegrapheforméparlesclustersestdanslaclasseH.Elle
définitaussiunedécompositionhiérarchique.
Voir[
BC005
,
Bod05
,
Bod
,
Sch97
,
Maz04
,
BMT
,
PR00
].
Décompositiondegraphes–p.8
Largeurdeclique
SoitC=f1;2;:::;kgunensemblefinidekétiquettes.

OnappelleC-graphe,ungraphedontlessommetssontétiquetéspardes
étiquettesdeC,chaquesommetayantuneseuleétiquette

OnnoteparVi
l’ensembledessommetsétiquetéspari2f1;2;:::;kg.

OnreprésentelegrapheGparG=(V;E;V1
;:::;Vk
),avec
Vi
\Vj
=;pouri6=j;i;j2f1;2;:::;kg;Vi
pouvantêtrel’ensemble
vide.
Soientlesopérationssuivantes:

[GH]PourlesC-graphesG=(V;E;V1
;:::;V
k
)et
H=(V
0
;E
0
;V
0
1
;:::;V
0
k
),avecV\V
0
=;(sicen’estpaslecason
remplaceHparunecopiedisjointe).OnnoteparGHl’uniondisjointe
deGetHtelque:
GH=(V[V
0
;E[E
0
;V1
[V
0
1
;:::;Vk
[V
0
k
)
Décompositiondegraphes–p.9
Largeurdeclique

[i;j
]PourunC-grapheGonnotepari;j
(G)leC-grapheobtenuen
connectanttouslessommetsétiquetésiavectouslessommetsétiquetésj.

[i!j
]PourunC-grapheGonnotepar
i!j
(G)leC-grapheobtenuen
renommantlesipardesj.Ainsi,aprèscetteopération,aucunsommetdans
Gn’estétiquetépari.

Onnotepari(v)l’opérationquiconsisteàcréerunsommetétiquetépari.

Onappellek-expressionuneexpressionconstruiteaveclesquatre
opérationsci-dessusenutilisantkétiquettesauplus.

Chaquek-expressiontdéfinitdefaçonuniqueungrapheval(t)dontles
sommetssontétiquetésavec1;2;:::;k,chacunayantuneseuleétiquette.

Lak-expressiontdéfinitGsiGestisomorpheaugrapheval(t)non
étiqueté.

Lalargeurdecliqued’ungrapheGnotéecwd(G)estlepluspetitktelqu’il
existeunek-expressionquidéfinitG.
Décompositiondegraphes–p.9
Largeurdeclique
Unexempledegraphe
2
m
1
m
3
m
4
m
6
m
5
m
7
m
8
m





@
@
@
@
@





@
@
@
@
@
e1
=d!c
(b!a
(b;c
(a;d
((a;b
(a(1)b(2)))(c;d
(c(3)d(4)))))))
e2
=c!d
(a!b
(b;c
(a;d
((a;b
(a(5)b(6)))(c;d
(c(7)d(8)))))))
t=a;b
(c;d
(e1
e2
))
Une4-expression
Décompositiondegraphes–p.9
Largeurdeclique

Iln’existeaucunalgorithmepolynomialpourdéterminerlalargeurde
cliqued’ungraphehormispourk3.

CourcelleetOlariuontétudiédesliensentrelalargeurdecliqueetla
largeurarborescenteetontdonnéuneborne.CorneiletRoticsontamélioré
cetteborne.

MaislaquestionsurlabornerestetoujoursouvertecarCorneiletRoticsont
prouvéqu’ilexisteungrapheaveccwd(G)2b
k
2
c1
.

CourcelleetOlariuontégalementétudiécertainestransformationsqui
conserventlalargeurdeclique.

Courcelle,MakowskietRoticsontétudiélelienentrelalargeurdecliqueet
ladécompositionmodulaire.

PourbeaucoupdeclassesdegraphesCourcelleetal.ontprouvéquela
largeurdecliqueestbornéeounonbornée.Onpeutciterentreautres:
Décompositiondegraphes–p.9
Largeurdeclique

Lesgraphesd’intervalle,decomparabilité(Golumbic&Rotics),lagrille
carrée(makowski&RoticspuisGolumbic&Rotics)sontdelargeurdeclique
nonbornée.

Lessplitgraphes,les(q;q1)-graphes,(6;3);(7;5)-graphessontde
largeurdecliquenonbornée(Makowski&Rotics).

les(q;q3)-graphes(Makowski&Rotics),lesdistance-héréditaires
graphes(Golumbic&Rotics)sontdelargeurdecliquebornée.

Courcelleetal.ontprouvéquel’onpeutrésoudreentempslinéairelorsque
l’ondisposedelak-expressiondugraphedesproblèmesMS
1
-définissables
etmêmeMS2
-définissablessilalargeurarborescenteestbornée.

OumetSeymourontproposérécemmentunO(n9
log(n))algorithme,k
fixé.
Décompositiondegraphes–p.9
k-
HB
décomposition

Lak-
HB
décompositionestuneapproximationdelalargeurdeclique.

C’estunegénéralisationdeladécompositionmodulaire.

UnepairehomogèneestunensembleSpartitionnéendeux,S1
etS2
,tel
quetoutsommetx2VS1
S2
estsoitadjacentàtouslessommetsde
Si
;i2f1;2gouàaucun.

Lanotiondek-homogènegénéralisele2pourtoutketla
k-
HB
décompositionestbaséesurcettedernière.
Pouruneintroductiondelalargeurdecliqueetdelak-HB
décompositionvoir
[
Kan05
].Pourplusdedétailssurlalargeurdecliquevoirlalistedesarticles
deCourcelleetal.,unelistenonexhaustiveestdanslabibliographiede
[
Kan05
,
Cou05
].
Décompositiondegraphes–p.10
k-
HB
décomposition
Exempled’unensemble3-homogène
Ensemble
3−homogène
Décompositiondegraphes–p.10
k-
HB
décomposition
SoitG=hVG
;edge
G
(:;:)i.SoitXunsous-ensemblenonvidestrictement
inclusdansVG
.Ondénotepar
X
larelationd’équivalencesurXdéfinie
par:
xX
yssi8z2VG
X;edgeG
(x;z),edgeG
(y;z)
SoitInd(X)2NlecardinaldeX=
X
dansG.Onvaappelercesclasses
d’équivalencedes“sacs”quel’onvanoterX
1
;:::;X`
;`=Ind(X).Soit
e
X=fX1
;:::;X
`g
UngrapheG=(V;E)estditk-
HB
décomposablessi:

IlexisteAetBavec
n
3
jVA
j
2n
3
etInd(A)ketInd(B)2k
,A
etBformantunepartitiondeV.

Lessous-graphesinduitsG[A]etG[B]k-
HB
décomposables.
Décompositiondegraphes–p.10
k-
HB
décomposition

Sicwd(G)kalorskhb(G)k.

Ilexistedesclassesdegraphesdecwdnonbornéemaisavecunekhb
bornée.

Ilexisteunalgorithmepolynomialpourdiresikhb(G)kpourtout
couple(G;k).

Onpeutrésoudrepasmaldeproblèmes
NP-completentempspolynomial.

Maistoutgrapheestsous-grapheinduitd’ungraphe2-
HB
décomposableet
doncaucunehiérarchie.
Décompositiondegraphes–p.10
[k-
HB
]Algorithme
1.kHBD(entrée:(V;E),k2N;sortie:k-HB
tree)
2.Début
3.ChoisirksommetsauplusquivontconstituerlesreprésentantsdessacsdeA
4.Choisirparmiles22k
sous-ensemble,unsous-ensemblequivaconstituerles
sacsdeB
5.Placerlessommetsrestantdetellesortequel’ongardel’équilibre
6.Sileplacementréussi,fairedeuxappelsrécursifssurG[A]etG[B]
7.Sinontesterunautrecouple(A;B)
8.SiladécompositiondeG[A]etdeG[B]réussissent,retournerlek-HB
tree
9.Sinontesterunautrecouple(A;B)
10.Fin
Décompositiondegraphes–p.11
[k-
HB
]Algorithme

Chaquenoeudduk-
HB
treeestcomposéd’ungraphebipartiG

etdelafonction
hG
:V(G)!V(G
)quiassocieàchaquesommetlesacdanslequelilsetrouve

V(G

)=
e
A[
e
BetE(G
)
e
A
e
B

OnaedgeG
(Ai
;Bj
)ssi8x;x2Ai
et8y;y2Bj
onaedge
G
(x;y)

SiGauniveauisedécomposeenAetB,lefilsgaucheestladécompositiondeG
A
etlefilsdroitladécompositiondeG
B

LacomplexitéT(n):

IlyaO(nk
)choixpossiblespourA

PourchaquechoixdeA,ilyac=O(22k
)choixpourBieO(cnk
)choixdes
couples(A;B)pourchaqueniveau

Commeondiviseleproblèmeendeuxproblèmesdetailleauplus
2n
3
,ona
T(n)2T(
2n
3
)+O(cnk
)
Décompositiondegraphes–p.11
[k-
HB
]Exemple
Onfaittournerl’algorithmesurcegrapheaveck=3.
1
j
2
j
3
j
4
j
5
j
6
j
7
j
8
j
9
j
10
j
11
j
12
j
13
j
14
j
15
j
16
j
17
j
18
j
19
j
20
j
H
H
H
H
H
H
H
H
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X








H
H
H
H
H
H
H
H

























H
H
H
H
H
H
H
H








H
H
H
H
H
H
H
H
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X








H
H
H
H
H
H
H
H

























H
H
H
H
H
H
H
H








H
H
H
H
H
H
H
H
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X








H
H
H
H
H
H
H
H

























H
H
H
H
H
H
H
H








Décompositiondegraphes–p.12
[k-
HB
]Exemple

Siàl’étape3del’algorithmeonchoisitlessommets2;3;4pourcomposer
l’ensembleAetlesensembles
f1;6;9;17g;f7;10;12;18;20g;f8g;f11;19gpourl’ensembleB,
l’algorithmenetrouverapasune3-HB
décomposition.
37
8
9
15
16
17
18
19
1
2
4
5
6
11
12
13
14
20
10
Décompositiondegraphes–p.12
[k-
HB
]Exemple

Siàl’étape3del’algorithmeonchoisitparexemplelessommets2;14;9
pourl’ensembleAetlesensemblesf4;8;12;16;20g;f7;15gpourB,
l’algorithmetrouveraune3-
HB
décompositionaupremierniveau:
37
8
9
15
16
17
19
1
4
11
1220
5
1062
13
14
18
Décompositiondegraphes–p.12
[k-
HB
]Exemple
Premierniveaudeladécomposition
2,10,18
6, 14
1,5,9,13,17
3,11,19
7, 16
4,8,12,16,20
Décompositiondegraphes–p.12
SH
-décomposition

SoitG=(V
G
;EG
)ungraphe.SoientA;Bdeuxsous-ensemblesdisjoints
nonvidesdeVG
.Onditquelecouple(A;B)ests-completsi
8x2A;8y2Bxy2EG
.

OnappellesH-décompositiond’ungrapheG=(VG
;EG
)unepartition
=fX1
;:::;X
m
g;m2NdeVG
telque:
EG
=
Si2[m]
EG[Xi
]
[
Si;j2[m];i6=j
Eij
avec
Eij
=
SfAXi;BXj
^(A;B)scompletg
AB

OnappelleX
i
unclusterdeladécomposition.Soith
G
:VG
!qui
associeàchaquesommetx2VG
leclusterX2quilecontient.

Soitlarelationd’équivalencedéfiniesurlessommetsdeGainsi:
xy)hG
(x)=h
G
(y)et(8z=2hG
(x)xz2EG
,yz2EG
)(1)
Décompositiondegraphes–p.13
SH
-décomposition
2341
5678
G
(H;);X1
=f1;2;3;4g;X2
=f5;6;7;8g
a b
u1
u2
Décompositiondegraphes–p.13
SH
-décomposition

OnpeutdéfinircommeparamètreparexemplelatailledeG=.

Onpeutainsidéfinirunedécompositionhiérarchiquesoitauniveaudes
clustersouauniveaudugrapheH=(VH
;EH
)avecVH
=fui
jXi
2g.
Onaunearêteui
uj
dansHàchaquefoisqu’ilexiste~a
Xi
;
~
b
X
j
et~a~
b
2E
F
.

Lasuppressionoul’ajoutd’unearêteaugmenteauplusdedeuxlatailledu
grapheG=.Eneffet,onajouteauplusdeuxclassesd’équivalencepourla
relation.

Toutgraphequiadmetunek-
HB
décompositiondetaillekadmetune
SH-décompositiondetailleauplus2k
+k.Donctouteclassedegraphesqui
admetunecwdbornéeadmetune
SH
-décompositionbornée.

Onpeutvoirla
SH-décompositioncommeunegénéralisationdela
k-
HB
décomposition.
[Notionencoursd’étude].
Décompositiondegraphes–p.13
Conclusion

Iln’yaaucuneraisonpourquetouslesgraphesaientunestructure
arborescente.

Certainesdécompositionssonttropprochesduproblèmededépart.

Lalargeurdecliqueestintéressantemaisleseulproblème“onnesaitrien
dire”etlesalgorithmesd’approximationrestenttropcoûteux.

La
SH-décompositionetladécompositiondeInaSchieringsemblentêtrede
bonnesdécompositionshiérarchiquesetleurétudesembleintéressantau
niveauthéoriqueetpratique.

Parexemplesipourla
SH-décompositionondisposed’unalgorithmede
décompositionparamétrablequifiltrecorrectementlesarêtesentreclusters,
leurutilisationenvisualisationestmesembleprometteuse.Enpluselle
sembleêtreunebonneapproximationpourlalargeurdeclique.
Décompositiondegraphes–p.14
Conclusion
Onpeutseposercesquestions:

Ladécompositiond’ungrapheest-elleunique?Existe-ilune
décompositioncanoniquepourchaquetypededécomposition?

Pourchaquetypededécomposition,quelssontlesopérateurs
correspondantsderecomposition?Sontilsennombrefiniou
"limité"?

Estcequelegraphepeutêtrereconstruitdemanièreuniqueà
partirdesadécomposition?
Décompositiondegraphes–p.14