A Symmetric Model of Viscous Relaxing Fluid. An Evolution Problem

johnnepaleseElectronics - Devices

Oct 10, 2013 (3 years and 8 months ago)

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¢
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@t
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1
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2
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L
2
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Z
­
½
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Z
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¤
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W
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0
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~
L
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0
)
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1=2
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0
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Z
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¡
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1
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L
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· c
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L
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W
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L
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dt
+
b
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t
Z
0
c
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b
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2

0
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0
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b
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0
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c
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2
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2
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b
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e
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(I +D
2
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0
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¡1=2
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1;3
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¤
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T
2;1
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Q
¤
)QA
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)
2;3
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)
¡1
QQ
¤
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2
)S(I +D
2
)
¡1
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0
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0
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0
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0
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2
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1
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0
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t
Z
0
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8
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Z
0
c
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9
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;
ds
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0
+
t
Z
0
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b
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Z
0
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Z
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¿
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;L(H))
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³
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b
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´
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c
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b
B
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@s
c
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c
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c
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¡
t
Z
¿
U(t ¡s)
@
@s
c
M(s ¡¿)z(¿) ds
´
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b
B
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M
1
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c
M
1
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0
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t
Z
0
U(t¡s)
b
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b
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b
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b
B)
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b
B)
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b
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b
B) = D(A
0
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b
B) ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿
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1
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b
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+
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~
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~
L
2
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0
)
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k
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0
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0

0
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¿
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~
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¿
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>
>
>
>
>
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>
>
>
>
>
>
>
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dt
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0
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¡1=2
Q
¤
q +A
¡1=2
Q
¤
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~
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1=2
~v = 0;
dbq
dt
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t
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0
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0
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t
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1=2
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¡at
½
0
¡
t
Z
0
e
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t
Z
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2
4
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¡as
½
0
¡
s
Z
0
e
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3
5
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¤
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¤
)
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¤
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¤
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¤
t
Z
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¡a(t¡s)
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8
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s
Z
0
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9
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3
5
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t
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Q
¤
8
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:
e
¡a(t¡s)
I ¡
t
Z
s
M(t ¡¿)e
¡a(¿¡s)
d¿
9
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;
B~v(s) ds
=~v(t) +
t
Z
0
A
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Q
¤
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¡a(t¡s)
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t
Z
s
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H(A)
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L
2
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0
)
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t < +1;L(H(A))￿
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~
L
2
(­;½
0
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1
2;½
0
(­))￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿
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1=2
Q
¤
j
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1
2;½
0
(­)=D(B
¤
)
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¤
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1
2;½
0
(­);
~
L
2
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0
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0
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¡1=2
Q
¤
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1=2
Q
¤
R(t;s)B~vk = kB
¤
R(t;s)(BA
¡1
)A~vk
· kB
¤
k
L(W
1
2;½
0
;
~
L
2
)
kR(t;s)k
L(W
1
2;½
0
)
kBA
¡1
k
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~
L
2
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1
2;½
0
)
k~vk
H(A)
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H(A)
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³(t) = e
at
»(t) ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
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e
K(t) =
P
m
l=1
k
l
(x) exp(¡b
l
t)￿ ￿￿￿ k
l
(x) > 0 (l =
1;m) ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ­￿ ￿￿ ￿￿￿￿
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P
m
l=1
exp(¡b
l
t)M
l
￿
￿￿￿￿￿ M
l
½(t;x):= ¦½
0
(z)k
l
(x)¦½(t;x)￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ M
l
(l =
1;m)
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ L
2;½
0
(­)￿
￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
½
l
(t):=
t
Z
0
exp(¡b
l
(t ¡s))M
l
½(s) ds;½
l
(0) = 0 (
l = 1;m);
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
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H:=
~
L
2
(­;½
0
) ©L
2;½
0
(­) ©
b
H￿ ￿￿￿￿￿
b
H:= ©
m
l=1
L
2;½
0
(­);
d
dt
0
@
~u
½

1
A
+
0
@
2!
0
iS +A ¡B
¤
b
B
¤
B 0 0
0 ¡
c
M
b
I
b
1
A
0
@
~u
½

1
A
=
0
@
~
f
0
0
1
A
;
0
@
~u(0)
½(0)
b½(0)
1
A
=
0
@
~u
0
½
0
0
1
A
:￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ b½:= (½
1
;:::;½
m
)
¿
￿
b
B
¤
:= (B
¤
;:::;B
¤
)￿
c
M:= (M
1
;:::;M
m
)
¿
￿
b
I
b
:= diag(b
1
I;:::;b
m
I)￿
￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ (~u(t);½(t);b½(t))
¿
= e
at
(~v(t);
q(t);bq(t))
¿
￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿

dt
+(A+S)» = F(t);»(0) = »
0
;￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿ »(t):= (~v(t);q(t);bq(t))
¿
￿ »
0
:= (~u
0

0
;0)
¿
￿ F(t):= (e
¡at
~
f(t);0;0)
¿
￿
A:=
0
@
A ¡B
¤
b
B
¤
B aI 0
0 0 a
b
I
1
A
;S:=
0
@
2!
0
iS +aI 0 0
0 0 0
0 ¡
c
M
b
I
b
1
A
:
￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ A ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿
￿￿￿ a > 4
¡1
kQk
2
￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ A ￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
A ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿
A = diag(A
1=2
;I;
b
I)
0
@
I ¡Q
¤
b
Q
¤
Q aI 0
0 0 a
b
I
1
A
diag(A
1=2
;I;
b
I);
b
Q
¤
:= (Q
¤
;:::;Q
¤
)
￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿
A = (I + D
1
)diag(A;aI + QQ
¤
;a
b
I)(I + D
2
);
￿￿￿￿￿ I ￿￿ ￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ H￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ I +D
1
￿￿￿ I +D
2
￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿
￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ D
1
￿￿￿ D
2
￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ (D
1
)
2;1
:= QA
¡1=2
￿
(D
2
)
1;2
:= ¡A
¡1=2
Q
¤
￿ (D
2
)
1;3
:= A
¡1=2
b
Q
¤
￿ (D
2
)
2;3
:= ¡(aI +QQ
¤
)
¡1
Q
b
Q
¤
￿ ￿￿￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
A ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ D(
A) = fq 2 L
2;½
0
(­);bq 2
b
H:~v ¡
A
¡1=2
Q
¤
q +A
¡1=2
b
Q
¤
bq 2 D(A)g￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿
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A￿
￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ »(t) = exp(¡(¸ + a)t)»￿ ￿￿ ￿
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ (
A+S ¡aI)» = ¸» ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿
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