Theorems 2 - APCalculusNMSI

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Oct 8, 2013 (3 years and 8 months ago)

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Theorems 
Related Conditional Statements
 
Conditional Statement (Theorem)
 
 Ex 1: If a function is differentiable on an interval, then it is continuous on the interval 
OR Differentiability implies Continuity. 
 
Ex 2: If two sides of a triangle are congruent, then the angles opposite them are 
congruent OR Base angles of an isosceles triangle are congruent.  
 
   
Converse
 
Ex 1: If a function is continuous on an interval, then it is differentiable on the interval OR 
Continuity implies differentiability. 
 
Ex 2: If two angles of a triangle are congruent, then the sides opposite them are 
congruent  
 
 
Inverse
 
Ex 1: If a function is not differentiable on an interval, then it is not continuous on the 
interval  
 
Ex 2: If two sides of a triangle are not congruent, then the angles opposite them are not 
congruent  
 
 
Contrapositive
 
Ex 1: If a function is not continuous on an interval, then it is not differentiable on the 
interval. 
 
Ex 2: If two angles of a triangle are not congruent, then the sides opposite them are not 
congruent. 
 
 
 
Another example:
 
Theorem: If a sequence, 
{
}
n
a
, converges, then  lim 0
n
n
a
→∞
=
 
The n
th
‐term test for divergence:   
If lim 0
n
n
a
→∞
≠, then the sequence 
{
}
n
a
diverges (does not converge).  


Theorem and its Contrapositive are both true or both false
 
The converse and the Inverse are both true or both false


 
Bi‐conditional Statement
 
The theorem and its converse are both true. 
 
 
  
Ex 2:  Two sides of a triangle are congruent if, and only, if the angles opposite them are
congruent.  
 
Ex 3:  A triangle is equilateral if, and only if, it is equiangular. 

 
Definitions
 
A definition is a bi‐conditional statement that put the thing defined into the nearest category of 
similar things and gives its distinguishing characteristics. 
 
 
Ex 4: A number M is the maximum value of a function f if, and only if, for all x in the domain of
the function
( )
M
f x

.

Ex 5:  A function is increasing in an interval if, and only if, for all
1 2
x
x
<
in the interval,
( ) ( )
1 2
f
x f x≤
.
 
Ex 6:  A rhombus is a quadrilateral with 4 congruent sides.