Almost sure central limit theorems on the Wiener space 1 Introduction

hogheavyweightElectronics - Devices

Oct 8, 2013 (3 years and 10 months ago)

79 views

￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿
¤
￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
y
￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿
zx
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿
￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿
￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿
￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ fX
n
g
n>1
￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ E[X
n
] = 0 ￿￿￿ E[X
2
n
] = 1￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿
S
n
=
1
p
n
n
X
k=1
X
k
:
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿
1
log n
n
X
k=1
1
k
±
S
k
￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ N (0;1) ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ n!1￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ N ￿￿ ￿
N (0;1) ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ x 2 R￿
1
log n
n
X
k=1
1
k
1
fS
k
6xg
¡!P(N 6 x);￿￿ n!1;
¤
￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
y
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
z
￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
x
￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿':R!R￿
1
log n
n
X
k=1
1
k
'(S
k
) ¡!E['(N)];￿￿ n!1:￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿
￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿
￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿ fX
n
g￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ½￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ fX
n
g ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ fS
n
g ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ N (0;1) ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿
￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ H ￿￿ ￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ q > 1￿ ￿￿￿ H
­q
￿￿ ￿￿￿ q￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ H ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ H
¯q
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ q￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿
X = fX(h);h 2 Hg ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ H￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ (­;F;P)￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ X ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ H ￿￿ E[X(h)X(g)] = hh;gi
H
￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿ q > 1￿ ￿￿￿ H
q
￿￿ ￿￿￿ q￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ X￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿ L
2
(­;F;P) ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ fH
q
(X(h));h 2 H;khk
H
= 1g￿
￿
￿￿￿￿￿ H
q
￿￿ ￿￿￿ q￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿
H
q
(x) = (¡1)
q
e
x
2
2
d
q
dx
q
¡
e
¡
x
2
2
¢
:￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ H
1
(x) = x￿ H
2
(x) = x
2
¡ 1￿ H
3
(x) = x
3
¡ 3x￿
￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ H
0
= R ￿￿￿ I
0
(x) = x￿ x 2 R￿ ￿￿￿ ￿￿￿ q > 1￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
I
q
(h
­q
) = H
q
(X(h)) ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿ H
¯q
￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ k¢k
H
¯q
=
p
q!k¢k
H
­q
￿￿￿ ￿￿￿ q￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿ H
q
￿ ￿￿￿￿
E[I
p
(f)I
q
(g)] = ±
p;q
£p!hf;gi
H
­p
￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿ ±
p;q
￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ f 2 H
¯p
￿ g 2 H
¯q
￿￿￿ p;q > 1￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ f 2 H
­q
￿ ￿￿ ￿￿￿￿
I
q
(f) = I
q
(
e
f);￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿
e
f 2 H
¯q
￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ f￿
￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ L
2
(­;F;P) ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿
￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ H
q
￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ G 2 L
2
(­;F;P)
￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿
G = E[G] +
1
X
q=1
I
q
(f
q
);￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿ ￿￿￿ f
q
2 H
¯q
￿ q > 1￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ G￿
￿￿￿ fe
k
;k > 1g ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ H￿ ￿￿￿￿￿ f 2 H
¯p
￿￿￿ g 2 H
¯q
￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿ r = 0;:::;p^q￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ f ￿￿￿ g ￿￿ ￿￿￿￿￿ r ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ H
­(p+q¡2r)
￿￿￿￿￿￿ ￿￿
f ­
r
g =
1
X
i
1
;:::;i
r
=1
hf;e
i
1
­:::­e
i
r
i
H
­r
­hg;e
i
1
­:::­e
i
r
i
H
­r
:￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿ f ­
r
g ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ f
e
­
r
g 2
H
¯(p+q¡2r)
￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ f ­
0
g = f ­g ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ f ￿￿￿ g ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿
p = q￿ f ­
q
g = hf;gi
H
­q
￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ f ￿￿￿ g￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿
H = L
2
(A;A;¹)￿ ￿￿￿￿￿ (A;A) ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ¹ ￿￿ ￿ ¾￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ H
¯q
= L
2
s
(A
q
;A
­q

­q
) ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ A
q
￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿
(f ­
r
g)(t
1
;:::;t
p+q¡2r
) =
Z
A
r
f(t
1
;:::;t
p¡r
;s
1
;:::;s
r
)
£g(t
p¡r+1
;:::;t
p+q¡2r
;s
1
;:::;s
r
)d¹(s
1
):::d¹(s
r
);
￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ r ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ f ￿￿￿ g ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿
￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿
￿￿￿￿￿ ￿￿￿
￿￿￿ f;g 2 H
¯2
￿ ￿￿￿￿ kf ­
1
gk
2
H
­2
= hf ­
1
f;g ­
1
gi
H
­2
:
￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ X￿ ￿￿￿ S ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿
G ='(X(h
1
);:::;X(h
n
));￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿ n > 1￿':R
n
!R ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ h
i
2 H￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ G ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ X ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ L
2
(­;H)
￿￿￿￿￿￿ ￿￿
DG =
n
X
i=1
@'
@x
i
(X(h
1
);:::;X(h
n
)) h
i
:￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ m￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ D
m
G￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ L
2
(­;H
¯m
)￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿ m> 2￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ G ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿
D
2
G =
n
X
i;j=1
@
2
'
@x
i
@x
j
(X(h
1
);:::;X(h
n
))h
i
­h
j
:
￿￿￿ m > 1 ￿￿￿ p > 1￿ D
m;p
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ S ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ k ¢ k
m;p
￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
kGk
p
m;p
= E[jGj
p
] +
m
X
i=1
E
¡
kD
i
Gk
p
H
­i
¢
:￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ DX(h) = h ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ h 2 H￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ D ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿':R
n
!R ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ G = (G
1
;:::;G
n
) ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ D
1;2
￿ ￿￿￿￿'(G) 2 D
1;2
￿￿￿
D'(G) =
n
X
i=1
@'
@x
i
(G)DG
i
:
￿￿￿ ￿￿￿ H = L
2
(A;A;¹) ￿￿￿￿ ¹ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ u 2 H ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿ u = fu
t
;t 2 Ag ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ G ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ I
q
(f)
￿￿￿￿￿ f 2 H
¯q
￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ DG = fD
t
G;t 2 Ag ￿￿ L
2
(A£­) ￿￿￿￿￿ ￿￿
D
t
G = D
t
£
I
q
(f)
¤
= qI
q¡1
(f(¢;t)):￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ I
q
(f) ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ qI
q¡1
¡
f(¢;t)
¢
￿
t 2 A￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿
kD
£
I
q
(f)
¤
k
2
H
= q
2
Z
A
I
q¡1
(f(¢;t))
2
¹(dt):
￿
￿￿￿ ￿￿￿ G 2 L
2
(­;F;P) ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿
L
¡1
G = ¡
1
X
q=1
1
q
I
q
(f
q
):￿￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ G 2 L
2
(­;F;P) ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ C
1
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿ h:R!C￿
E[Gh(G)] = E[h
0
(G)hDG;¡DL
¡1
Gi
H
]:￿￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ h(x) = x￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿
Var[G] = E[G
2
] = E[hDG;¡DL
¡1
Gi
H
];￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ G 2 D
2;4
￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿
￿￿￿￿ ￿￿￿￿
Var[hDG;¡DL
¡1
Gi] 6
5
2
E[kDGk
4
H
]
1
2
E[kD
2

1
D
2
Gk
2
H
­2
]
1
2
:￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿
￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ D
2;4
￿￿￿ ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿ ￿￿￿
￿￿￿ G 2 D
2;4
￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ t 2 R￿ ￿￿ ￿￿￿￿
¯
¯
E[e
itG
]¡e
¡t
2
=2
¯
¯
6jtj
¯
¯
1¡E[G
2
]
¯
¯
+
jtj
2
p
10 E[kD
2

1
D
2
Gk
2
H
­2
]
1
4
E[kDGk
4
H
]
1
4
:
￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ t 2 R￿ ￿￿￿'(t) = e
t
2
=2
E[e
itG
]￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿
'
0
(t) = te
t
2
=2
E[e
itG
] +ie
t
2
=2
E[Ge
itG
] = te
t
2
=2
E[e
itG
(1 ¡hDG;¡DL
¡1
Gi
H
)]:
￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿
¯
¯
'(t) ¡'(0)
¯
¯
6 sup
u2[0;t]
j'
0
(u)j 6 jtje
t
2
=2
E
£
j1 ¡hDG;¡DL
¡1
Gi
H
j
¤
;
￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿
¯
¯
E[e
itG
] ¡e
¡t
2
=2
¯
¯
6 jtj E
£
j1 ¡hDG;¡DL
¡1
Gi
H
j
¤
:
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿
¯
¯
E[e
itG
] ¡e
¡t
2
=2
¯
¯
6 jtj
¯
¯
1 ¡E[G
2
]
¯
¯
+jtj E
£
jE[G
2
] ¡hDG;¡DL
¡1
Gi
H
j
¤
;
6 jtj
¯
¯
1 ¡E[G
2
]
¯
¯
+jtj
q
Var
¡
hDG;¡DL
¡1
Gi
H
¢
:
￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
2
￿
￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿
￿￿￿ fG
n
g ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ G
1
￿ ￿￿￿ ￿￿￿
¢
n
(t) =
1
log n
n
X
k=1
1
k
¡
e
itG
k
¡E(e
itG
1
)
¢
:￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ r > 0￿
sup
jtj6r
X
n
Ej¢
n
(t)j
2
nlog n
< 1;￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿':R!R￿ ￿￿ ￿￿￿￿
1
log n
n
X
k=1
1
k
'(G
k
) ¡!E['(G
1
)];￿￿ n!1:
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ D
2;4
￿
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ fG
n
g ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ D
2;4
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ n > 1￿ E[G
n
] = 0 ￿￿￿ E[G
2
n
] = 1￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿
(A
0
) sup
n>1
E
£
kDG
n
k
4
H
] < 1;
￿￿￿
E[kD
2
G
n
­
1
D
2
G
n
k
2
H
­2
]!0;￿￿ n!1:
￿￿￿￿￿ G
n
law
¡!N » N (0;1) ￿￿ n!1￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿
(A
1
)
X
n>2
1
nlog
2
n
n
X
k=1
1
k
E[kD
2
G
k
­
1
D
2
G
k
k
2
H
­2
]
1
4
< 1;
(A
2
)
X
n>2
1
nlog
3
n
n
X
k;l=1
¯
¯
E(G
k
G
l
)
¯
¯
kl
< 1:
￿￿￿￿￿ fG
n
g ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿':R!R￿
1
log n
n
X
k=1
1
k
'(G
k
) ¡!E['(N)];￿￿ n!1:
￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ® > 0 ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ E[kD
2
G
k
­
1
D
2
G
k
k
2
H
­2
] = O(k
¡®
) ￿￿ k!1￿
￿￿￿￿ (A
1
) ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ C;® > 0 ￿￿￿￿ ￿￿￿￿
¯
¯
E[G
k
G
l
]
¯
¯
6 C
¡
k
l
¢
®
￿￿￿ ￿￿￿ k 6 l￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ a￿ b ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ n￿
￿￿ ￿￿￿￿
X
n>2
1
nlog
3
n
n
X
l=1
1
l
l
X
k=1
¯
¯
E[G
k
G
l
]
¯
¯
k
6 C
X
n>2
1
nlog
3
n
n
X
l=1
1
l
1+®
l
X
k=1
k
®¡1
;
6 a
X
n>2
1
nlog
3
n
n
X
l=1
1
l
6 b
X
n>2
1
nlog
2
n
< 1;
￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ (A
2
) ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ G
n
law
¡!N » N (0;1) ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ g(t) = E(e
itN
) = e
¡t
2
=2
￿
￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿
Ej¢
n
(t)j
2
￿￿￿￿￿￿
=
1
log
2
n
n
X
k;l=1
1
kl
E
£¡
e
itG
k
¡g(t)
¢¡
e
¡itG
l
¡g(t)
¢¤
;
=
1
log
2
n
n
X
k;l=1
1
kl
£
E
¡
e
it(G
k
¡G
l
)
¢
¡g(t)
¡
E
¡
e
itG
k
¢
+E
¡
e
¡itG
l
¢¢
+g
2
(t)
¤
;
=
1
log
2
n
n
X
k;l=1
1
kl
£¡
E
¡
e
it(G
k
¡G
l
)
¢
¡g
2
(t)
¢
¡g(t)
¡
E
¡
e
itG
k
¢
¡g(t)
¢
¡g(t)
¡
E
¡
e
¡itG
l
¢
¡g(t)
¢¤
:
￿￿￿ t 2 R ￿￿￿ r > 0 ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ jtj 6 r￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ (A
0
) ￿￿￿￿
¯
¯
E
¡
e
itG
k
¢
¡g(t)
¯
¯
6

2
p
10 E[kD
2
G
k
­
1
D
2
G
k
k
2
H
­2
]
1
4
￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿ » = sup
n>1
E
£
kDG
n
k
4
H
]
1
4
￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
¯
¯
E
¡
e
¡itG
l
¢
¡g(t)
¯
¯
6

2
p
10 E[kD
2
G
l
­
1
D
2
G
l
k
2
H
­2
]
1
4
:￿￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿
¯
¯
E
¡
e
it(G
k
¡G
l
)
¢
¡g
2
(t)
¯
¯
=
¯
¯
¯
E
¡
e
it
p
2
G
k
¡G
l
p
2
¢
¡g(
p
2 t)
¯
¯
¯
;
6
p
2r
¯
¯
¯
1 ¡
1
2
E[(G
k
¡G
l
)
2
]
¯
¯
¯
+r»
p
5 E[kD
2
(G
k
¡G
l
) ­
1
D
2
(G
k
¡G
l
)k
2
H
­2
]
1
4
;
6
p
2rjE[G
k
G
l
]j +r»
p
5 E[kD
2
(G
k
¡G
l
) ­
1
D
2
(G
k
¡G
l
)k
2
H
­2
]
1
4
:
￿
￿￿￿￿￿￿￿￿
kD
2
(G
k
¡G
l
) ­
1
D
2
(G
k
¡G
l
)k
2
H
­2
6 2kD
2
G
k
­
1
D
2
G
k
k
2
H
­2
+2kD
2
G
l
­
1
D
2
G
l
k
2
H
­2
+4kD
2
G
k
­
1
D
2
G
l
k
2
H
­2
:
￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿
E
£
kD
2
G
k
­
1
D
2
G
l
k
2
H
­2
¤
= E
£
hD
2
G
k
­
1
D
2
G
k
;D
2
G
l
­
1
D
2
G
l
i
H
­2
¤
;
6
³
E
£
kD
2
G
k
­
1
D
2
G
k
k
2
H
­2
¤
´
1
2
³
E
£
kD
2
G
l
­
1
D
2
G
l
k
2
H
­2
¤
´
1
2
;
6
1
2
E
£
kD
2
G
k
­
1
D
2
G
k
k
2
H
­2
¤
+
1
2
E
£
kD
2
G
l
­
1
D
2
G
l
k
2
H
­2
¤
:
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ (a +b)
1
4
6 a
1
4
+b
1
4
￿￿￿￿
¯
¯
E
¡
e
it(G
k
¡G
l
)
¢
¡g
2
(t)
¯
¯
￿￿￿￿￿￿
6
p
2rjE[G
k
G
l
]j +r»
p
10
³
E
£
kD
2
G
k
­
1
D
2
G
k
k
2
H
­2
¤
1
4
+E
£
kD
2
G
l
­
1
D
2
G
l
k
2
H
­2
¤
1
4
´
:
￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ (A
1
) ￿￿￿ (A
2
) ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿
2
￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿
￿￿￿ X = fX
n
g
n2Z
￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿
￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿
P
r2Z
j½(r)j < 1￿ ￿￿￿￿￿ ½(r) = E[X
0
X
r
]￿ ￿￿￿ f:R!R ￿￿ ￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ C
2
￿ ￿￿￿ ￿￿￿ N » N (0;1)￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ f ￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ E[f
00
(N)
4
] < 1￿ ￿￿￿ ￿￿￿ n > 1￿ ￿￿￿
G
n
=
1
¾
n
p
n
n
X
k=1
¡
f(X
k
) ¡E[f(X
k
)]
¢
￿￿￿￿￿ ¾
n
￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ E[G
2
n
] = 1￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿
n!1￿ G
n
law
¡!N ￿￿￿ fG
n
g ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿':R!R￿
1
log n
n
X
k=1
1
k
'(G
k
) ¡!E['(N)];￿￿ n!1:
￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿
￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿f ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿
1
X
q=1
1
q!
¡
E[f(N)H
q
(N)]
¢
2
X
r2Z
j½(r)j
q
< 1 ￿￿￿
1
X
q=1
1
q!
¡
E[f(N)H
q
(N)]
¢
2
X
r2Z
½(r)
q
> 0:
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ q ￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ f ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿
￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ E[f
0
(N)
4
] < 1￿￿￿ E[f(N)
4
] < 1￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ f ￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ f ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿
f = E[f(N)] +
1
X
q=1
c
2q
H
2q
;
￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ c
2q
￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ (2q)!c
2q
= E[f(N)H
2q
(N)]￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
¾
2
n
=
1
n
n
X
k;l=1
Cov[f(X
k
);f(X
l
)] =
1
X
q=1
c
2
2q
(2q)!
1
n
n
X
k;l=1
½(k ¡l)
2q
;
=
1
X
q=1
c
2
2q
(2q)!
X
r2Z
½(r)
2q
µ
1 ¡
jrj
n

1
fjrj6ng
:
￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿
¾
2
n
¡!¾
2
1
=
1
X
q=1
c
2
2q
(2q)!
X
r2Z
½(r)
2q
;￿￿ n!1:￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿ f ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ q > 1 ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ c
2q
6= 0￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿
P
r2Z
½(r)
2q
> ½(0)
2q
= 1￿ ￿￿￿￿￿￿ ¾
1
> 0￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ f¾
n
g
n>1
￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ X = fX
k
g
k2Z
￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ X = fX(h):h 2 Hg￿ ￿￿￿ H ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿ E ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ Z ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ H ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ E ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
hu;vi
H
=
X
k;l2Z
u
k
v
l
½(k ¡l):￿￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ X("
k
) = X
k
￿￿￿￿￿"
k
= f±
kl
g
l2Z
￿ ±
kl
￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿
DG
n
=
1
¾
n
p
n
n
X
k=1
f
0
(X
k
)"
k
:
￿￿￿￿￿
kDG
n
k
2
H
=
1
¾
2
n
n
n
X
k;l=1
f
0
(X
k
)f
0
(X
l
)h"
k
;"
l
i
H
=
1
¾
2
n
n
n
X
k;l=1
f
0
(X
k
)f
0
(X
l
)½(k ¡l);
￿￿ ￿￿￿￿
kDG
n
k
4
H
=
1
¾
4
n
n
2
n
X
i;j;k;l=1
f
0
(X
i
)f
0
(X
j
)f
0
(X
k
)f
0
(X
l
)½(i ¡j)½(k ¡l):
￿
￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿
¯
¯
E[f
0
(X
i
)f
0
(X
j
)f
0
(X
k
)f
0
(X
l
)]
¯
¯
6 (E[f
0
(N)
4
])
1
4
;
￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿
E[kDG
n
k
4
H
] 6
1
¾
4
n
³
E[f
0
(N)
4
]
´
1
4
Ã
X
r2Z
j½(r)j
!
2
:￿￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿
D
2
G
n
=
1
¾
n
p
n
n
X
k=1
f
00
(X
k
)"
k
­"
k
;
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿
D
2
G
n
­
1
D
2
G
n
=
1
¾
2
n
n
n
X
k;l=1
f
00
(X
k
)f
00
(X
l
)½(k ¡l)"
k
­"
l
:
￿￿￿￿￿
E
£
kD
2
G
n
­
1
D
2
G
n
k
2
H
­2
¤
;
=
1
¾
4
n
n
2
n
X
i;jk;l=1
E
£
f
00
(X
i
)f
00
(X
j
)f
00
(X
k
)f
00
(X
l
)
¤
½(k ¡l)½(i ¡j)½(k ¡i)½(l ¡j);
6
(E
£
f
00
(N)
4
¤
)
1
4
¾
4
n
n
X
u;v;w2Z
j½(u)jj½(v)jj½(w)jj½(¡u +v +w)j;
6
(E
£
f
00
(N)
4
¤
)
1
4
k½k
1
¾
4
n
n
Ã
X
r2Z
j½(r)j
!
3
< 1:
￿￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ inf
n>1
¾
n
> 0￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ G
n
law
¡!N￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ (A
1
) ￿￿￿ (A
2
) ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
inf
n>1
¾
n
> 0￿ (A
1
) ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ E
£
kD
2
G
n
­
1
D
2
G
n
k
2
H
­2
¤
= O(n
¡1
) ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿
￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ (A
2
)￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿
¯
¯
Cov[f(X
i
);f(X
j
)]
¯
¯
6 E[X
i
X
j
]
p
Var[f(X
i
)]
q
Var[f(X
j
)] = ½(i ¡j)Var[f(N)]:
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
¯
¯
E[G
k
G
l
]
¯
¯
=
1
¾
k
¾
l
p
kl
¯
¯
¯
¯
¯
k
X
i=1
l
X
j=1
Cov[f(X
i
);f(X
j
)]
¯
¯
¯
¯
¯
6
Var[f(N)]
¾
k
¾
l
p
kl
k
X
i=1
l
X
j=1
j½(i ¡j)j;
=
Var[f(N)]
¾
k
¾
l
p
kl
k
X
i=1
i¡1
X
r=i¡l
j½(r)j 6
Var[f(N)]
¾
k
¾
l
r
k
l
X
r2Z
j½(r)j:
￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ (A
2
) ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿
￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿
￿￿
2
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ q > 2￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ q > 2￿ ￿￿￿ ￿￿￿ fG
n
g ￿￿ ￿
￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ G
n
= I
q
(f
n
)￿ ￿￿￿￿ f
n
2 H
¯q
￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ E[G
2
n
] = q!kf
n
k
2
H
­q
= 1
￿￿￿ ￿￿￿ n￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿
kf
n
­
r
f
n
k
H
­2(q¡r)
!0 ￿￿ n!1￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ r = 1;:::;q ¡1￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿ G
n
law
¡!N » N (0;1) ￿￿ n!1￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿
￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
(A
0
1
)
X
n>2
1
nlog
2
n
n
X
k=1
1
k
kf
k
­
r
f
k
k
H
­2(q¡r)
< 1 ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ r = 1;:::;q ¡1;
(A
0
2
)
X
n>2
1
nlog
3
n
n
X
k;l=1
¯
¯
hf
k
;f
l
i
H
­q
¯
¯
kl
< 1:
￿￿￿￿ fG
n
g ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿':R!R￿
1
log n
n
X
k=1
1
k
'(G
k
) ¡!E['(N)];￿￿ n!1:
￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ G
n
law
¡!N » N (0;1) ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿
￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ D
2;4
￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
1 = E[G
2
k
] = E[hDG
k
;¡DL
¡1
G
k
i
H
] =
1
q
E[kDG
k
k
2
H
];
￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ¡L
¡1
G
k
=
1
q
G
k
￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ L
¡1
￿
￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ kDG
k
k
2
H
￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ 2q
￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ L
p
￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ (A
0
) ￿￿
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿
E
£
kD
2
G
k
­
1
D
2
G
k
k
2
H
­2
¤
6 q
4
(q¡1)
4
q¡1
X
r=1
(r¡1)!
2
µ
q ¡2
r ¡1

4
(2q¡2¡2r)!kf
k
­
r
f
k
k
2
H
­2(q¡r)
:
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ (A
0
1
) ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ (A
1
) ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿
￿￿￿￿￿￿ E[G
k
G
l
] = E
£
I
q
(f
k
)I
q
(f
l
)
¤
= q!hf
k
;f
l
i
H
­q
￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ (A
0
2
) ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿ (A
2
) ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿
2
￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ q > 2￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ G
n
= I
q
(f
n
) ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿
q = 1￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿
￿￿￿ fG
n
g ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿ (A
2
) ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ fG
n
g ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿':R!R￿
1
log n
n
X
k=1
1
k
'(G
k
) ¡!E['(N)];￿￿ n!1:
￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ t 2 R ￿￿￿ r > 0 ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ jtj 6 r￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ¢
n
(t) ￿￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿
Ej¢
n
(t)j
2
=
1
log
2
n
n
X
k;l=1
1
kl
E
h
¡
e
itG
k
¡e
¡t
2
=2
¢¡
e
¡itG
l
¡e
¡t
2
=2
¢
i
;
=
1
log
2
n
n
X
k;l=1
1
kl
h
E
¡
e
it(G
k
¡G
l
)
¢
¡e
¡t
2
i
;
=
1
log
2
n
n
X
k;l=1
e
¡t
2
kl
¡
e
E(G
k
G
l
)t
2
¡1
¢
;
6
r
2
e
r
2
log
2
n
n
X
k;l=1
¯
¯
E(G
k
G
l
)
¯
¯
kl
;
￿￿￿￿￿ je
x
¡1j 6 e
jxj
jxj ￿￿￿ jE(G
k
G
l
)j 6 1￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ (A
2
) ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿
2
￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿
￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ G
n
= B
H
n
=n
H
￿ ￿￿￿￿￿ B
H
￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ H 2 (0;1)￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ B
H
= (B
H
t
)
t>0
￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿
E[B
H
t
B
H
s
] =
1
2
³
t
2H
+s
2H
¡jt ¡sj
2H
´
;s;t > 0:
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ B
H
￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
Y
k
= B
H
k+1
¡B
H
k
;k > 0;
￿￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
½(r) = E[Y
k
Y
k+r
] =
1
2
¡
jr +1j
2H
+jr ¡1j
2H
¡2jrj
2H
¢
;r 2 Z:￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿
½(r) » H(2H ¡1)jrj
2H¡2
￿￿ jrj!1:￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ½(0) = 1 ￿￿￿
￿￿
￿￿￿ 0 < H < 1=2￿ ½(r) < 0 ￿￿￿ r 6= 0￿
X
r2Z
j½(r)j < 1 ￿￿￿
X
r2Z
½(r) = 0:
￿￿
￿￿￿ H = 1=2￿ ½(r) = 0 ￿￿ r 6= 0￿
￿￿
￿￿￿ 1=2 < H < 1￿
X
r2Z
j½(r)j = 1:
￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ H > 1=2￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ H
￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿ H 2 (0;1)￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿':R!R￿
1
log n
n
X
k=1
1
k
'(B
H
k
=k
H
) ¡!E['(N)];￿￿ n!1:
￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ H < 1=2 ￿￿￿
H > 1=2 ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ C > 0 ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ½(r) =
1
2
¡
jr +1j
2H
+jr ¡1j
2H
¡2jrj
2H
¢
￿ r 2 Z￿
￿￿￿￿ H < 1=2￿ ￿￿￿ ￿￿￿ b > a > 0￿ ￿￿ ￿￿￿￿
b
2H
¡a
2H
= 2H
Z
b¡a
0
dx
(x +a)
1¡2H
6 2H
Z
b¡a
0
dx
x
1¡2H
= (b ¡a)
2H
:
￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ l > k > 1￿ ￿￿ ￿￿￿￿ l
2H
¡(l ¡k)
2H
6 k
2H
￿￿ ￿￿￿￿
jE[B
H
k
B
H
l
]j =
1
2
¡
k
2H
+l
2H
¡(l ¡k)
2H
¢
6 k
2H
:
￿￿
￿￿￿￿
X
n>2
1
nlog
3
n
n
X
l=1
1
l
l
X
k=1
jE[G
k
G
l
]j
k
=
X
n>2
1
nlog
3
n
n
X
l=1
1
l
1+H
l
X
k=1
jE[B
H
k
B
H
l
]j
k
1+H
;
6
X
n>2
1
nlog
3
n
n
X
l=1
1
l
1+H
l
X
k=1
1
k
1¡H
;
6 C
X
n>2
1
nlog
3
n
n
X
l=1
1
l
6 C
X
n>2
1
nlog
2
n
< 1:
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ (A
2
) ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿ H > 1=2￿ ￿￿￿ l > k > 1￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿
jE[B
H
k
B
H
l
]j =
¯
¯
¯
¯
¯
k¡1
X
i=0
l¡1
X
j=0
E[(B
H
i+1
¡B
H
i
)(B
H
j+1
¡B
H
j
)]
¯
¯
¯
¯
¯
6
k¡1
X
i=0
l¡1
X
j=0
j½(i ¡j)j;
6 k
l¡1
X
r=¡l+1
j½(r)j 6 Ckl
2H¡1
:
￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ½(0) = 1￿ ½(1) = ½(¡1) = (2
2H
¡1)=2 ￿￿￿￿
￿￿ r > 2￿
j½(¡r)j = j½(r)j =
¯
¯
E[(B
H
r+1
¡B
H
r
)B
H
1
] = H(2H ¡1)
Z
1
0
du
Z
r+1
r
dv(v ¡u)
2H¡2
6 H(2H ¡1)
Z
1
0
(r ¡u)
2H¡2
du 6 H(2H ¡1)(r ¡1)
2H¡2
:
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
X
n>2
1
nlog
3
n
n
X
l=1
1
l
l
X
k=1
jE[G
k
G
l
]j
k
=
X
n>2
1
nlog
3
n
n
X
l=1
1
l
1+H
l
X
k=1
jE[B
H
k
B
H
l
]j
k
1+H
;
6 C
X
n>2
1
nlog
3
n
n
X
l=1
1
l
2¡H
l
X
k=1
1
k
H
;
6 C
X
n>2
1
nlog
3
n
n
X
l=1
1
l
6 C
X
n>2
1
nlog
2
n
< 1:
￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ (A
2
) ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿
2
￿￿
￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿
￿￿￿ X = fX
k
g
k2Z
￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ r 2 Z￿ ￿￿￿
½(r) = E[X
0
X
r
]￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ q > 2￿ ￿￿￿ ￿￿￿ H
q
￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿
￿￿￿￿￿￿ q￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ q￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿
X￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿
V
n
=
n
X
k=1
H
q
(X
k
);n > 1;￿￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ V
n
￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿
P
r2Z
j½(r)j
q
< 1￿ ￿￿￿￿
P
r2Z
½(r)
q
> 0 ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿
® > 0 ￿￿￿￿ ￿￿￿￿
P
jrj>n
j½(r)j
q
= O(n
¡®
)￿ ￿￿ n!1￿ ￿￿￿ ￿￿￿ n > 1￿ ￿￿￿￿￿
G
n
=
V
n
¾
n
p
n
;
￿￿￿￿￿ V
n
￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ¾
n
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿ E[G
2
n
] = 1￿ ￿￿￿￿ G
n
law
¡!N » N (0;1) ￿￿ n!1￿ ￿￿￿ fG
n
g ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿':R!R￿
1
log n
n
X
k=1
1
k
'(G
k
) ¡!E['(N)];￿￿ n!1:
￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ C ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿
￿￿ q ￿￿￿ ½￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ H ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿
¾
2
n
!q!
P
r2Z
½(r)
q
> 0￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ f¾
n
g
n>1
￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ G
n
= I
q
(f
n
)￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ f
n
￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿
f
n
=
1
¾
n
p
n
n
X
k=1
"
­q
k
;
￿￿￿￿"
k
= f±
kl
g
l2Z
￿ ±
kl
￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ n > 1 ￿￿￿ r =
1;:::;q ¡1￿ ￿￿ ￿￿￿￿
f
n
­
r
f
n
=
1
¾
2
n
n
n
X
k;l=1
½(k ¡l)
r
"
­(q¡r)
k
­"
­(q¡r)
l
:
￿￿
￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿
kf
n
­
r
f
n
k
2
H
­(2q¡2r)
=
1
¾
4
n
n
2
n
X
i;j;k;l=1
½(k ¡l)
r
½(i ¡j)
r
½(k ¡i)
q¡r
½(l ¡j)
q¡r
:
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ kf
n
­
r
f
n
k
2
H
­(2q¡2r)
6 A
n
￿￿￿￿￿
A
n
=
1
¾
4
n
n
X
u;v;w2D
n
j½(u)j
r
j½(v)j
r
j½(w)j
q¡r
j½(¡u +v +w)j
q¡r
￿￿￿￿ D
n
= f¡n;:::;ng￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ m > 1 ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ n > m￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ A
n
￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿ A
n
= B
n;m
+C
n;m
￿￿￿￿￿
B
n;m
=
1
¾
4
n
n
X
u;v;w2D
m
j½(u)j
r
j½(v)j
r
j½(w)j
q¡r
j½(¡u +v +w)j
q¡r
;
C
n;m
=
1
¾
4
n
n
X
u;v;w2D
n
juj_jvj_jwj>m
j½(u)j
r
j½(v)j
r
j½(w)j
q¡r
j½(¡u +v +w)j
q¡r
:
￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿
B
n;m
6
1
¾
4
n
n
k½k
2q
1
(2m+1)
3
6
Cm
3
n
:
￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ D
n
\fjuj _ jvj _ jwj > mg ½ D
n;m;u
[ D
n;m;v
[ D
n;m;w
￿￿￿￿￿ ￿￿￿
￿￿￿ D
n;m;u
= fjuj > m;jvj 6 n;jwj 6 ng ￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ D
n;m;v
￿￿￿ D
n;m;w
￿
￿￿￿￿￿￿
C
n;m;u
=
1
¾
4
n
n
X
u;v;w2D
n;m;u
j½(u)j
r
j½(v)j
r
j½(w)j
q¡r
j½(¡u +v +w)j
q¡r
￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ C
n;m;v
￿￿￿ C
n;m;w
￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿
C
n;m;u
6
1
¾
4
n
n
0
@
X
u;v;w2D
n;m;u
j½(u)j
q
j½(v)j
q
1
A
r
q
0
@
X
u;v;w2D
n;m;u
j½(w)j
q
j½(¡u +v +w)j
q
1
A

r
q
:￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿
X
u;v;w2D
n;m;u
j½(u)j
q
j½(v)j
q
6 (2n +1)
X
juj>m
j½(u)j
q
X
v2Z
j½(v)j
q
6 Cn
X
juj>m
j½(u)j
q
:
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
X
u;v;w2D
n;m;u
j½(w)j
q
j½(¡u +v +w)j
q
6 (2n +1)
X
v2Z
j½(v)j
q
X
w2Z
j½(w)j
q
6 Cn:
￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ m ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿
C
n;m;u
6 C
0
@
X
juj>m
j½(u)j
q
1
A
r
q
6 Cm
¡
®r
q
:
￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ C
n;m;v
￿￿￿ C
n;m;w
￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿
kf
n
­
r
f
n
k
2
H
­(2q¡2r)
6 C £ inf
m6n
½
m
3
n
+m
¡
®r
q
¾
6 Cn
¡
®r
3q+®r
￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ m = n
q
3q+®r
￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ (A
0
1
) ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ (A
0
2
)￿ ￿￿ ￿￿￿￿
hf
k
;f
l
i
H
­q
=
1
¾
k
¾
l
p
kl
¯
¯
¯
¯
¯
k
X
i=1
l
X
j=1
½(i ¡j)
q
¯
¯
¯
¯
¯
6
1
¾
k
¾
l
p
kl
k
X
i=1
l
X
j=1
j½(i ¡j)j
q
;
6
1
¾
k
¾
l
r
k
l
X
r2Z
j½(r)j
q
;
￿￿ (A
0
2
) ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿
2
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿
￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ½(r) » jrj
¡¯
L(r)￿ ￿￿ jrj!1￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ¯ > 1=q ￿￿￿
￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ L￿ ￿￿￿￿
P
r2Z
j½(r)j
q
< 1￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ® > 0 ￿￿￿￿ ￿￿￿￿
P
jrj>n
j½(r)j
q
= O(n
¡®
)￿ ￿￿ n!1￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿
P
r2Z
j½(r)j
q
< 1￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿
P
jrj>n
j½(r)j
q
»
2
¯q¡1
n
1¡¯q
L
q
(n) ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿
® =
1
2
(¯q ¡1) > 0 ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
2
￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ B
H
￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ B
H
￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ q > 1￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿
￿￿￿ q￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ B
H
￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿
V
n
=
n¡1
X
k=0
H
q
(B
H
k+1
¡B
H
k
);n > 1;￿￿￿￿￿￿
￿￿
￿￿￿￿￿ H
q
￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ q ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ q = 1￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ q > 2￿ ￿￿￿￿ H 6= 1=2￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ B
H
￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ V
n
￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ q > 2￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ n!1
²
￿￿ 0 < H < 1 ¡
1
2q
￿ ￿￿￿￿
G
n
:=
V
n
¾
n
p
n
law
¡!N (0;1):￿￿￿￿￿￿
²
￿￿ H = 1 ¡
1
2q
￿ ￿￿￿￿
G
n
:=
V
n
¾
n
p
nlog n
law
¡!N (0;1):￿￿￿￿￿￿
²
￿￿ H > 1 ¡
1
2q
￿ ￿￿￿￿
G
n
:= n
q(1¡H)¡1
V
n
law
¡!G
1
￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿ G
1
￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ¾
n
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿
￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ E[G
2
n
] = 1￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ n￿ Z
n
￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ G
n
￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿
￿￿￿￿￿￿ H > 1 ¡
1
2q
￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ Z
n
￿￿
Z
n
= n
q(1¡H)¡1
n¡1
X
k=0
H
q
¡
n
H
(B
H
(k+1)=n
¡B
H
k=n
)
¢
;n > 1:￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿ ￿￿ n!1￿ fZ
n
g ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ L
2
(­) ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ Z
1
￿
￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ q￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ B
H
￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ L
2
(­)￿ ￿￿￿ n;m> 1￿ ￿￿ ￿￿￿￿
E[Z
n
Z
m
] = q!(nm)
q¡1
n¡1
X
k=0
m¡1
X
l=0
¡
E
£¡
B
H
(k+1)=n
¡B
H
k=n
¢¡
B
H
(l+1)=m
¡B
H
l=m
¢¤¢
q
:
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ H > 1=2￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ s;t > 0￿
E[B
H
s
B
H
t
] = H(2H ¡1)
Z
t
0
du
Z
s
0
dvju ¡vj
2H¡2
:
￿￿
￿￿￿￿￿
E[Z
n
Z
m
] = q!H
q
(2H¡1)
q
£
1
nm
n¡1
X
k=0
m¡1
X
l=0
Ã
nm
Z
(k+1)=n
k=n
du
Z
(l+1)=m
l=m
dvjv ¡uj
2H¡2
!
q
:
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ n;m!1￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿
E[Z
n
Z
m
]!q!H
q
(2H ¡1)
q
Z
[0;1]
2
ju ¡vj
(2H¡2)q
dudv;
￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ H > 1 ¡
1
2q
￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ fZ
n
g ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿
L
2
(­)￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ L
2
(­) ￿￿ ￿￿￿￿ Z
1
￿
￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ fZ
n
g ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ Z
n
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ q￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ B
H
￿￿￿ ￿￿￿ n￿ ￿￿￿￿￿ fZ
n
g ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ L
2
(­) ￿￿ Z
1
￿￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿￿ q￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ B
H
￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ L
2
(­) ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ Z
1
￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿
q￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ B
H
￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ E[jZ
n
¡Z
1
j
2
] 6 Cn
2q¡1¡2qH
￿
￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ C ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ n￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ L
p
￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ p > 2￿ ￿￿ ￿￿￿￿ E[jZ
n
¡ Z
1
j
p
] 6 Cn
p(q¡1=2¡qH)
￿ ￿￿￿￿￿
H > 1¡
1
2q
￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ p > 2 ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ (q¡1=2¡qH)p < ¡1￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
X
n>1
E[jZ
n
¡Z
1
j
p
] < 1;
￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿"> 0￿ ￿￿
X
n>1
P[jZ
n
¡Z
1
j >"] < 1:
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ fZ
n
g ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿ Z
1
￿
2
￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ H < 1 ¡
1
2q
￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ q > 2 ￿￿￿ ￿￿￿￿ H < 1 ¡
1
2q
￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
G
n
=
V
n
¾
n
p
n
￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ fG
n
g ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ 2H ¡2 > 1=q￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿
2
￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ H = 1 ¡
1
2q
￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿
P
r2Z
j½(r)j
q
= 1:
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿
￿￿
￿￿￿￿￿ ￿￿￿
￿￿￿ H = 1 ¡
1
2q
￿ ￿￿￿ H ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ E ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ R￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ [0;1)￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ H ￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ E ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
­
1
[0;t]
;1
[0;s]
®
H
= E[B
H
t
B
H
s
]:
￿￿￿ ￿￿￿ n > 2￿ ￿￿￿ f
n
￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ H
¯q
￿￿￿￿￿￿ ￿￿
f
n
=
1
¾
n
p
nlog n
n¡1
X
k=0
1
­q
[k;k+1]
;￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿ ¾
n
￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ q!kf
n
k
2
H
­q
= 1￿ ￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ C > 0￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ q ￿￿￿ H ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ n > 1 ￿￿￿
r = 1;:::;q ¡1
kf
n
­
r
f
n
k
H
­(2q¡2r)
6 C(log n)
¡1=2
:
￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ q > 2 ￿￿￿ H = 1 ¡
1
2q
￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
G
n
=
V
n
¾
n
p
nlog n
￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ fG
n
g ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ C ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ q ￿￿￿ H￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ H ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿
G
n
= I
q
(f
n
) ￿￿￿￿ f
n
￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ k > 1 ￿￿￿
r = 1;:::;q ¡1￿ ￿￿￿￿ kf
k
­
r
f
k
k
H
­(2q¡2r)
6 C(log k)
¡1=2
￿ ￿￿￿￿￿
X
n>2
1
nlog
2
n
n
X
k=1
1
k
kf
k
­
r
f
k
k
H
­(2q¡2r)
6 C
X
n>2
1
nlog
2
n
n
X
k=1
1
k
p
log k
;
6 C
X
n>2
1
nlog
3=2
n
< 1:
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ (A
0
1
) ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ (A
0
2
)￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿
hf
k
;f
l
i
H
­q
=
1
¾
k
¾
l
p
k log k
p
l log l
k¡1
X
i=0
l¡1
X
j=0
½(j ¡i)
q
:
￿￿
￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ¾
2
n

2
1
> 0￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ l > k > 1
¯
¯
hf
k
;f
l
i
H
­q
¯
¯
6
C
p
k log k
p
l log l
k¡1
X
i=0
l¡1
X
j=0
¯
¯
½(j ¡i)
¯
¯
q
;
=
C
p
k log k
p
l log l
k¡1
X
i=0
l¡1¡i
X
r=¡i
¯
¯
½(r)
¯
¯
q
;
6 C
p
k
p
log k
p
l log l
l
X
r=¡l
¯
¯
½(r)
¯
¯
q
6 C
s
k log l
l log k
:
￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿
P
l
r=¡l
¯
¯
½(r)
¯
¯
q
6 C log l ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿
jrj!1￿
½(r) »
µ
1 ¡
1
q
¶µ
1 ¡
1
2q

jrj
¡1=q
:
￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ (A
0
2
) ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿
X
n>2
1
nlog
3
n
n
X
k;l=2
¯
¯
hf
k
;f
l
i
H
­q
¯
¯
kl
6 2
X
n>2
1
nlog
3
n
n
X
l=2
l
X
k=2
¯
¯
hf
k
;f
l
i
H
­q
¯
¯
kl
;
6 C
X
n>2
1
nlog
3
n
n
X
l=2
p
log l
l
3=2
l
X
k=2
1
p
k log k
;
6 C
X
n>2
1
nlog
3
n
n
X
l=2
1
l
6 C
X
n>2
1
nlog
2
n
< 1:
2
￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿ ￿￿￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ q > 2 ￿￿￿ H = 1 ¡
1
2q
￿ ￿￿￿￿￿
¾
2
n
!2q!
µ
1 ¡
1
q

q
µ
1 ¡
1
2q

q
> 0;￿￿ n!1￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ E[(B
H
k+1
¡B
H
k
)(B
H
l+1
¡B
H
l
)] = ½(k¡l) ￿￿￿￿￿ ½ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿
E[V
2
n
] =
n¡1
X
k;l=0
E
¡
H
q
(B
H
k+1
¡B
H
k
)H
q
(B
H
l+1
¡B
H
l
)
¢
= q!
n¡1
X
k;l=0
½(k ¡l)
q
;
= q!
n¡1
X
l=0
n¡1¡l
X
r=¡l
½(r)
q
= q!
X
jrj<n
¡
n ¡1 ¡jrj
¢
½(r)
q
;
= q!
0
@
n
X
jrj<n
½(r)
q
¡
X
jrj<n
¡
jrj +1
¢
½(r)
q
1
A
:
￿￿
￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ jrj!1￿
½(r)
q
»
µ
1 ¡
1
q

q
µ
1 ¡
1
2q

q
1
jrj
:
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ n!1￿
X
jrj<n
½(r)
q
»
µ
1 ¡
1
2q

q
µ
1 ¡
1
q

q
X
0<jrj<n
1
jrj
» 2
µ
1 ¡
1
2q

q
µ
1 ¡
1
q

q
log n
￿￿￿
X
jrj<n
¡
jrj +1
¢
½(r)
q
»
µ
1 ¡
1
2q

q
µ
1 ¡
1
q

q
X
jrj<n
1 » 2n
µ
1 ¡
1
2q

q
µ
1 ¡
1
q

q
:
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ n!1￿
¾
2
n
=
E[V
2
n
]
nlog n
!2q!
µ
1 ¡
1
q

q
µ
1 ¡
1
2q

q
:
2
￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
G
n
= n
q(1¡H)¡1
V
n
￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿ H > 1 ¡
1
2q
￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ fG
n
g ￿￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ n￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ G
n
￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ (G
1
;:::;G
n
)￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ fG
n
g ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿ G
1
￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿
￿￿￿￿￿￿￿￿ fG
¤
n
g ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ n￿ G
¤
n
law
= G
n
￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ fG
¤
n
g ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ n!1￿ ￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ G
¤
1
￿￿￿￿ G
¤
1
law
= G
1
￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿':R!R￿ ￿￿ ￿￿￿￿'(G
¤
n
) ¡!'(G
¤
1
) ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
1
log n
n
X
k=1
1
k
'(G
¤
k
) ¡!'(G
¤
1
):
￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ E['(G
¤
1
)] ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ E['(G
1
)]￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ fG
n
g ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿
G
n
= n
q(1¡H)¡1
n¡1
X
k=0
H
q
(B
H
k+1
¡B
H
k
) ￿￿￿￿￿￿
￿￿
G
¤
n
= Z
n
= n
q(1¡H)¡1
n¡1
X
k=0
H
q
¡
n
H
(B
H
(k+1)=n
¡B
H
k=n
)
¢
;￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ G
¤
n
law
= G
n
￿￿￿ G
¤
n
￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿
2
￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ H
q
￿￿ ￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ Z
n
￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ G
n
￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
1
log n
n
X
k=1
1
k
'(Z
k
) ¡!'(Z
1
):
￿￿￿ ￿￿￿￿￿'(Z
1
) ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿
E['(Z
1
)]￿ ￿￿￿￿￿￿￿ Z
1
￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ G
n
￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿
n￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿
￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿
￿￿
￿￿￿
￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿
￿￿￿￿
￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿
￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿
￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿
￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿
￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿
￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿
￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿￿￿
￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿
￿￿￿￿
￿￿￿￿
￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿
￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿￿￿
￿￿