The Perron–Frobenius Theorem and Google's PageRank Algorithm

  
     
     
  
 
      
 
 
  
 
     
  
     
     
  
 

  
   
   

     
     
    
  
     
  

     
      
 

  
    
    
    
   

 


 
     
  
     
     
  
 
   
   
   
          
     
               
  
        
            
       
     
          
           
    
 
     
  
     
     
  
 
   
   
  
       
                  
    
 
     
  
     
     
  
 
   
   
  
   
        
              
 
           

 
     
  
     
     
  
 
   
   
   
           
    

( ) 
P



= 

( )
            
 
            
   
         
           
            

 
     
  
     
     
  
 
   
   
    
    
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( )    
P


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 

( ) = 

( )
  
P



= 

( )   
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
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P

(


P



)
         
 
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( )
     

  = 
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

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
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


 ;;;;;



 ;;;;;
 
     
  
     
     
  
 
   
   
  
          
          
          
        
        
      
          
  
 
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  
     
     
  
 
   
   
  
            
        
      
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        
        
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  
     
     
  
 
   
   
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

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     
     
  
 
   
   
  
       

 =      
   
         
   
         
            

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          
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
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6
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

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3
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7
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     
  
     
     
  
 
   
   
 
   

    
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
 )
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

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
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
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
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j j j j j j j
3
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
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

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(

;


)
 
     
  
     
     
  
 
   
   
  
           
   
           
         


          
       
 
     
  
     
     
  
 
   
   

       
           
          
    
 
     
  
     
     
  
 
   
   
 
          
         
           
           
          
         
          
            
  
 
     
  
     
     
  
 
   
   
 
     
 () =  () =  () = 
       () =  
 () =  () > 
 
     
  
     
     
  
 
   
   
    
 
     
  
     
     
  
 
   
   
 
 
     
  
     
     
  
 
   
   
    

 (; )        ( (); )    
 ( )   ( ) 
  

() = 
 ( )
( ())
 
     
  
     
     
  
 
     
    
  
     
  
  
            
 ( ) = 

j

j
 ( )  jj jj    
     (; ) 
 = [ j j    j ]

6=     =  
jjjj jj = jj jj = jj jj  jj jjjj jj  jj  jj jj
    2
        
          
 
     
  
     
     
  
 
     
    
  
     
  
      

   

!     jj < 
           
  
  =

 
 
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  
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    
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     
  
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

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
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
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

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
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

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     
    
  
     
  
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

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)!      jj < 
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    
  
     
  
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

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
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
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 
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 
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     
  
 
     
    
  
     
  
     

    ( ) = 
!1
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
jj
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
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
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
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

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
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
j
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
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     
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     
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 
     
    
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     
  
      
        jj
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jj
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     

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(
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( )+
)

=  =)
!1
jj

jj
(( )+)

= 
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
 8   


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
jj
(( )+)

< 
 jj

jj < (( ) +)


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
jj
 =
< ( ) + 8   


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!1
jj

jj
 =
 2
 
     
  
     
     
  
 
     
    
  
     
  
     
     

 

     

 j j     ( )  (j j)  ( )
    j
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j  j j

  
 jj

jj
1
 jjj j

jj
1
 jj

jj
1
  1  
 

P

 =
j

j        j j
   jj

jj
 =
1
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jj
 =
1
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
jj
 =
1

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jj
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 =
1
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!1
jjj j
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 =
1
 
!1
jj

jj
 =
1

     ( )  (j j)  ( ) 2
 
     
  
     
     
  
 
     
    
  
     
  
   
    
!1


=     
( ) <     ( ) >   
!1


  
       


  


>       
     ( ) =     
         
          
           
( ) = 
 
     
  
     
     
  
 
     
    
  
     
  
    

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
   2 
+
   
    

  j

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
j  
!1


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
( )

          
           
              
 
 
     
  
     
     
  
 
     
    
  
     
  
    
   = 

 =




 

     
    

  
   = (

j

)  

=








!1


= 
!1





 



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

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





= (

j

)
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






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

= 



 
!1


 2
 
     
  
     
     
  
 
     
    
  
     
  
  
           
      

  
           




    

   2 
+
     
  

  j

j = j

j 

!1




k



k
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!1


= 

   


 
     
  
     
     
  
 
     
    
  
     
  
   
           = 


          
      


          
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  
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 
     
    
  
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  
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 !1
 
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  
 
     
    
  
     
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   
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 
     
  
     
     
  
 
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    
  
     
  
   
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 !1 2
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       
    

    
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       
 
     
  
     
     
  
 
     
    
  
     
  
 
         

> 
       

 
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 >        6=  =) >  
         =)   
     >    =  =) =  
     6=    >  >  =) >  
 
     
  
     
     
  
 
     
    
  
     
  
 
 
     
  
     
     
  
 
     
    
  
     
  
   
 = ( ) > 
 ( ) =      
          ( ) >     
     
  = ( ) >  2
           
 ( ) = 
 
     
  
     
     
  
 
     
    
  
     
  
     
 ( ) =     
(; )       jj = 

j j = jjj j = j j = j j  j jj j =  j j =)j j   j j
    j j      
  =  j j   =  j j      =  
  6=     >  
 
     
  
     
     
  
 
     
    
  
     
  
      
  >   9 >    =  ( j j) =   j j >  
   j j =   > !

 +
 >  


 +
=    

 >    > 

 >  >  
 
!1


=    ( ) =  =( +) < 
   >   
  = ! j j = j j >   j j     
      = ( ) 2
 
     
  
     
     
  
 
     
    
  
     
  
   
            
        
 

( =  ) =  >     
        
           6= 
8 2  
  

    =  (

=

)     
       

 
     
  
     
     
  
 
     
    
  
     
  
    
  j j = j j >      


= 

(

=

)

= 
        

( =  ) =  =  2
   j j    (; )  (;j j)
        6= j j   = j j
 
     
  
     
     
  
 
     
    
  
     
  
   
  j j >        
      >   jj jj

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           
   
  6=          
 >    
 
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       ( ) =  
 6=           
     =     
   2
 
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  
     
     
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 
     
    
  
     
  
   
   ( ) =   9  (; )  jj = 
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