The Perron–Frobenius Theorem and Google's PageRank Algorithm

cowphysicistInternet and Web Development

Dec 4, 2013 (3 years and 9 months ago)

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  
     
     
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 
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 
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  
     
     
  
 

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   
   

     
     
    
  
     
  

     
      
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  
    
    
    
   

 
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 
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  
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     
  
 
   
   
   
          
     
               
  
        
            
       
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          
           
    
 
     
  
     
     
  
 
   
   
  
       
                  
    
 
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  
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     
  
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   
   
  
   
        
              
 
           
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 
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  
     
     
  
 
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   
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           
    

( ) 
P



= 

( )
            
 
            
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         
           
            
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     
     
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   
   
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    

( )    
P



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( ) = 

( )
  
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= 

( )   


( ) =
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(


P


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)
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 
P




= 

( )
     

  = 


 = f;;:::g





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 ;;;;;



 ;;;;;
 
     
  
     
     
  
 
   
   
  
          
          
          
        
        
      
          
  
 
     
  
     
     
  
 
   
   
  
            
        
      
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        
        

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 
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  
     
     
  
 
   
   
    
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 =  ;  = 
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 
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  
     
     
  
 
   
   
  
       

 =      
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         
   
         
            


          
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  
     
     
  
 
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   
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   

    
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  
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   
           
         

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 
     
  
     
     
  
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   
   

       
           
          
    
 
     
  
     
     
  
 
   
   
 
          
         
           
           
          
         
          
            
  
 
     
  
     
     
  
 
   
   
 
     
 () =  () =  () = 
       () =  
 () =  () > 
 
     
  
     
     
  
 
   
   
    
 
     
  
     
     
  
 
   
   
 
 
     
  
     
     
  
 
   
   
    

 (; )        ( (); )    
 ( )   ( ) 
  

() = 
 ( )
( ())
 
     
  
     
     
  
 
     
    
  
     
  
  
            
 ( ) = 

j

j
 ( )  jj jj    
     (; ) 
 = [ j j    j ]

6=     =  
jjjj jj = jj jj = jj jj  jj jjjj jj  jj  jj jj
    2
        
          
 
     
  
     
     
  
 
     
    
  
     
  
      

   

!     jj < 
           
  
  =

 
 

  
 
=    jj jj =   
     

     
!1


=      ( ) <  
 
     
  
     
     
  
 
     
    
  
     
  
      


         


 =  
      ( ) = 

 


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
= 




    

!  jj <     
     (

) = 


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 
     
  
     
     
  
 
     
    
  
     
  
      


) 


!   

!    
  (

)!      jj < 
 
     
  
     
     
  
 
     
    
  
     
  
      


(      jj <  

!1





 
=       
 




     
   jj
 

 


!  jj

!     
     
!1


=   ( ) <  2
 
     
  
     
     
  
 
     
    
  
     
  
     

    ( ) = 
!1
jj

jj
 =

        

  
    


    


   

         



    


 j

j

= j


j =)( )

= (

)  jj

jj =)( ) 
jj

jj
 =

 
     
  
     
     
  
 
     
    
  
     
  
      
        jj

jj
 =
  

    ( =(( ) +)) <  8  > 
     

!1
(

( )+
)

=  =)
!1
jj

jj
(( )+)

= 
 9 

 8   


jj

jj
(( )+)

< 
 jj

jj < (( ) +)


 ( )  jj

jj
 =
< ( ) + 8   


    ( ) = 
!1
jj

jj
 =
 2
 
     
  
     
     
  
 
     
    
  
     
  
     
     

 

     

 j j     ( )  (j j)  ( )
    j

j  j j

  
 jj

jj
1
 jjj j

jj
1
 jj

jj
1
  1  
 

P

 =
j

j        j j
   jj

jj
 =
1
 jjj j

jj
 =
1
 jj

jj
 =
1


!1
jj

jj
 =
1
 
!1
jjj j

jj
 =
1
 
!1
jj

jj
 =
1

     ( )  (j j)  ( ) 2
 
     
  
     
     
  
 
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    
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!1


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          
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     
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    
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     
  
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    
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  
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 
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    
  
     
  
  
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  
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 
     
    
  
     
  
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

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      


          
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 
     
  
     
     
  
 
     
    
  
     
  
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     
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   
   ( ) =   9  (; )  jj = 
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


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  
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