The electromagnetic (EM) field Theelectromagnetic(EM)field servesasamodelforparticlefields

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Oct 18, 2013 (3 years and 8 months ago)

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Theelectromagnetic(EM)field
The
 
electromagnetic
?
(EM)
?
field
serves as a model for particle fields
= charge density,     J= current density
4

vectorrepresentationofEMfield
4
vector
?
representation
?
of
?
EM
?
field
Aisthevectorpotential

楳瑨t敬散瑲潳ta瑩t灯p敮瑩慬
;


 
the
?
electrostatic
?
potential
;
?
c = speed of light
How E and B are related to 
Derivation of E
WaveequationsforAand

Wave
 
equations
?
for
?
A
?
and
?

Lorentz gauge!  
=  0
The


µ
operator
The
    

µ

潰敲at潲
卵浭S瑩潮 implied!
The wave equations for A and 
can be put into 4‐vector form:
The sources: charges and currents
The sources represent charged  particles (electrons, say)  and moving 
charges .  They describe how charges  affect  the EM field!
representsfour4

dimpartialdifferential
represents
?
four
?
4
dim
?
partial
?
differential
?
equations –in space and time!
If there are no electrons or movin
g
 char
g
es:
gg
This is  a “free” field equation –nothing but photons! 
We will look at solutions to these equations. 
Solutions  to
1. We have seen how Maxwell’s equations can be cast into a single wave
equation for the electromagnetic  4‐vector, Aµ
.   This Aµ
now represents 
theEandBoftheEMfieldandsomethingelse:thephoton!
the
?
E
?
and
?
B
?
of
?
the
?
EM
?
field
?… 
and
?
something
?
else:
??
the
?
photon!
2.If Aµ
is to represent a photon –we want it to be able to represent 
hhhllh
any p
h
oton.  T
h
at  is,  we want t
h
e most genera
l
 so
l
ution to t
h
e equation:  
First we assume the following form,
We are left with solving the following equation:
Note that 
Likewise:
annihilation
operator
creation
operator
Spin
vector
Spin
vector
operator
operator
vector
This “Fourier expansion” of the photon operator  is called 
“secondquantization”Notethatthesolutiontothe
“second
?
quantization”
.  
Note
?
that
?
the
?
solution
?
to
?
the
?
wave equation consists of a sum over an infinite number 
of “photon” creation and annihilation terms.  Once the ak
±
ittdtth
A

bt
are 
i
n
t
erpre
t
e
d
 as opera
t
ors, 
th

A

b
ecomes an opera
t
or.
TheA
isnota“photon”.Itisthephotonfield
“operator”,whichstandsreadyto“create”or
“annihilate”aphotonofanyenergy,,and
momentum

k
momentum
,

k
.
Recall that in order to satisfy the four wave equations the
following had to be satisfied.
This gives a relativistic four‐momentum for a particle
with zero rest mass!
Nttht
(
)
2
“”f
N
o
t

th
a
t
 
= |k| c

(
m0c
)
2
  

rest

 
f
rame
creation&annihilationoperators
creation
 
&
?
annihilation
?
operators
The 
p
rocedure b
y
 which 
q
uantum fields are 
pyq
constructed from individual particles was 
introduced by Dirac, and is (for historical reasons) 
knownas
secondquantization
known
?
as
?
second
?
quantization
.
Secondquantization
referstoexpressinga
Second
 
quantization
refers
 
to
?
expressing
?
a
field in terms of creation and annihilation 
operators, which act on single particle states:    
|0> = vacuum, no particle
|
p
>oneparticlewithmomentumvector
p
|
p
>
  = 
one
?
particle
?
with
?
momentum
?
vector
?
p
NoticethatfortheEMfield,westartedwith
the
E
and
B
fields

and
showed
that
the
relativistic
the
E
and
B
fields
and
showed
that
the
relativistic
“field”wasasuperpositionofaninfinitenumberof
individual“planewave”particles,withmomentum

k.Thesecondquantizationfelloutnaturall
y
.
This process was, in a sense, the opposite of creating a field 
to represent a particle.   The field exists everywhere and
permits “action at a distance”, without violating special
relativityWearefamiliarwiththeE&Mfield!
relativity
.   
We
?
are
?
familiar
?
with
?
the
?
E&M
?
field!
In this course we will only use some definitions and operations. 
These are oneparticle states.   It is understood that p= k.  Our
definition of a one particle state is |k>.  We don’t know whereit 
is.  This is consistent with a plane wave state which has (exactly)
momentum 
p
:    



p
x


/
2
p
p
x
/
The following give real numbers representing  the probability of 
finding one particle systems –or just the vacuum (no particle).
one particle
vacuum
This is a real zero!
Here is a simple exercise: 
On the other hand
,
How might we calculate a physically meaningful 
numberfromallthis?
number
?
from
?
all
?
this?
Some things to think about:
1.The field is everywhere –shouldn’t we integrate over all space?
2.Then, shouldn’t we make the integration into some kind o
f
expectation value –as in quantum mechanics? 
3.It has to be real, so maybe we should use A*A or something similar?
4.How about     <k|   A*A dV|k>  ?
5
Whtdthik?
5
.
Wh
a
t
 
d
o you 
thi
n
k?
6.Maybe we should start with a simpler field to work all this out!
Thephotonfieldisanicewaytostartbutithasspin

anda
The
 
photon
?
field
?
is
?
a
?
nice
?
way
?
to
?
start

but
?
it
?
has
?
spin
?

and
?
a
?
few complications we can postpone for now.
One final comment on the electromagnetic 
field:
conservationofcharge
field:
???
conservation
?
of
?
charge
The total charge
flowing out of a 
closed surface / sec
fd
= rate o
f
 
d
ecrease
of charge inside
aLorentzinvariant!
a
 
Lorentz
?
invariant!