Γεωμετρικος Τοπος Ριζων

John StroutzosMechanics

Feb 22, 2012 (5 years and 6 months ago)

1,083 views

ΜΑΘΗΜΑ:
ΔΛΔΓΚΤΔΣ
ΒΙΟΜΗΦΑΝΙΚΟΙ
ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΙ
7
ο
Δξάμηνο Σποςδών
Dr.
Χρήςτοσ Ι. Παπανάγνου
c.papanagnou@ieee.org
Ακαδθμαϊκό ζτοσ 20
10
-
201
1
1
η
Γιάλεξη:
Η μέθοδορ τος Γεωμετπικού Τόπος Ριζών
7
ο
Δξάμηνο Σποςδών
Dr. Christos I.
Papanagnou
Ειςαγωγι

Η
ζπκπεξηθνξά
ελόο
ζπζηήκαηνο
αλάδξαζεο

.
ρ
.
,
ζρεηηθή
επζηάζεηα,
κεηαβαηηθή
ζπκπεξηθνξά)
εθθξάδεηαη
από
ηηο
ζέζεηο
ηωλ
ξηδώλ
ηεο
Χ
.
Ε
.
ζην
Μ
.
Ε
.

Σν
δηάγξακκα
πνπ
θαηαγξάθεη
ηελ
θίλεζε
ηωλ
ξηδώλ
ζην
Μ
.
Ε
.
ελώ
πθίζηαηαη
παξάιιεια
κεηαβνιή
κηα
από
ηηο
παξακέηξνπο
ηνπ
ζπζηήκαηνο
νλνκάδεηαη
δηάγξακκα
Γεωκεηξηθνύ
Τόπνπ
Ρηδώλ

Γηα
λα
επηηεπρζεί
ε
επηζπκεηή
ζπκπεξηθνξά
ελόο
ζπζηήκαηνο
θιεηζηνύ
βξόρνπ
ζα
πξέπεη
λα
πξνζαξκνζηεί
θαηάιιεια
ε
απόθξηζή
ηνπ
ξπζκίδνληαο
ηηο
ηηκέο
ζε
πεξηζζόηεξεο
από
κηα
παξακέηξνπο
Dr. Christos I.
Papanagnou
Ειςαγωγι

Η
κέζνδνο
ηνπ
Γ
.
Σ
.
Ρ
.
παξέρεη
απεηθνληζηηθή
πιεξνθνξία
θαη
δύλαηαη
λα
ρξεζηκνπνηεζεί
γηα
ηελ
θαηαζθεπή
ζθαξηθεκάηωλ
πνπ
πξνζδηνξίδνπλ
ηα
πνηνηηθά
ραξαθηεξηζηηθά
επζηάζεηαο
θαη
ζπκπεξηθνξάο
ελόο
ζπζηήκαηνο

Ο
Γ
.
Σ
.
Ρ
.
ηεο
Χ
.
Ε
.
ελόο
ζπζηήκαηνο
πνιιαπιώλ
βξόρωλ
κπνξεί
λα
κειεηεζεί
κε
απιό
ηξόπν
όπωο
ν
αληίζηνηρνο
ηνπ
απινύ
βξόρνπ

Η
εγθπξόηεηα
ηωλ
ξπζκίζεωλ
ηωλ
παξακέηξωλ
ζηελ
πεξίπηωζε
πνπ
νη
ζέζεηο
ηωλ
ξηδώλ
ζην
Μ
.
Ε
.
δελ
είλαη
ηθαλνπνηεηηθέο,
δύλαηαη
λα
εμαθξηβωζεί
εμεηάδνληαο
απιά
ην
Γ
.
Σ
.
Ρ
.
Dr. Christos I.
Papanagnou
Η ζννοια του Γεωμετρικοφ Τόπου
Ριηών (απλό ςφςτθμα ανάδραςθσ)

΢ε
έλα
ζύζηεκα
απινύ
βξόρνπ
:
Dr. Christos I.
Papanagnou

Η
ραξαθηεξηζηηθή
εμίζωζε
είλαη
:
0
1
)
(
s
KG

Οη
ραξαθηεξηζηηθέο
ξίδεο
ηνπ
πξέπεη
λα
ηθαλνπνηνύλ
ηελ
παξαπάλω
εμίζωζε
θαη
βξίζθνληαη
ζην
Μ
.
Ε
.

Επεηδή
ε
s
είλαη
κηγαδηθή
κεηαβιεηή,
ε
παξαπάλω
εμίζωζε
αλαδηαηππώλεηαη
ωο
εμήο
:
,...
,
,
2
1
0
k
o
o
k
s
KG
s
KG
j
s
KG
s
KG
360
180
1
0
1
)
(
,
)
(
)
(
)
(
Η ζννοια του Γεωμετρικοφ Τόπου
Ριηών (ςφςτθμα 2
θσ
τάξθσ)

΢ε
έλα
απιό
ζύζηεκα
2
εο
ηάμεο
:
Dr. Christos I.
Papanagnou

Η
ραξαθηεξηζηηθή
εμίζωζε
είλαη
:
0
2)
s(s
K
1
KG(s)
1
(s)

Ο
Γ
.
Σ
.
Ρ
.
κε
κεηαβνιέο
ηνπ
Κ
ζρεκαηίδεηαη
όηαλ
ηζρύεη
:

Σν
Κ
κεηαβάιιεηαη
από
ην
κεδέλ
ωο
ην
άπεηξν
θαη
νη
ξίδεο
ηεο
ραξαθηεξηζηηθήο
εμίζωζεο
είλαη
(ζύζηεκα
2
εο
ηάμεο)
:

,
,
)
(
,
)
(
)
(
o
o
s
KG
s
s
K
s
KG
540
180
1
2
0
2
2
2
2
n
n
2
s
(s)
ω
s
ζω
s
K
s
1
2
2
1
ζ
ω
ζω
s
s
n
n
,
Η ζννοια του Γεωμετρικοφ Τόπου
Ριηών (ςφςτθμα 2
θσ
τάξθσ)

Γηα
Dr. Christos I.
Papanagnou

Γηα
ηνπο
δύν
πόινπο
αλνηρηνύ
βξόρνπ
ηνπ
΢ρ
.
1
,
ν
Γ
.
Σ
.
Ρ
.
αλαπαξηζηάηαη
κε
κηα
θάζεηε
επζεία
ζ
θ
ζ
1
-
συν
1

Π
.
ρ
.
ζηε
ξίδα
s
1
(
΢ρ
.
2
)
νη
γωλίεο
είλαη
:
ο
o
s
s
θ
θ
s
s
s
s
K
180
180
2
2
1
1
1
]
]
[(
)
(
)
(
(
΢ρ
.
2
)
(
΢ρ
.
1
)
Η ζννοια του Γεωμετρικοφ Τόπου
Ριηών (ςφςτθμα 2
θσ
τάξθσ)

Η
απαίηεζε
ζρεηηθά
κε
ηε
γωλία
ηθαλνπνηείηαη
από
όια
ηα
ζεκεία
ηεο
θαηαθόξπθεο
δηρνηόκνπ
ηεο
γωλίαο
πνπ
νξίδεηαη
ζηελ
θνξπθή
ηνπ
ηζνζθεινύο
ηξηγώλνπ
κε
βάζε
ην
επζύγξακκν
ηκήκα
πνπ
μεθηλάεη
από
ην
0
θαη
θαηαιήγεη
ζην
-
2
.

Σν
θέξδνο
Κ
ζε
απηά
ηα
ζεκεία
ππνινγίδεηαη
από
ηελ
εμίζωζε
:
Dr. Christos I.
Papanagnou
(
΢ρ
.
2
)
2
1
2
2
1
1
1
s
s
K
s
s
K
s
s
K
s
s
)
(
:
Μέηξν
δηαλύζκαηνο
Τφποσ
Mason

Γηα
έλα
ζύζηεκα
θιεηζηνύ
βξόρνπ
κε
πνιιαπινύο
βξόρνπο
ρξεζηκνπνηείηαη
ν
ηύπνο
ηνπ
Mason
:
Dr. Christos I.
Papanagnou
p
m
n
p
m
n
m
n
m
n
L
L
L
L
L
,
,
,
N
1
n
n
,
L
-
1
s)
(

n
,
m,p
:
Με
γεηηνληθνί
βξόρνη
L
n
:
ζπλάξηεζε
κεηαθνξάο
ηνπ
n
-
ζηνύ
βξόρνπ

Εάλ
ηζρύεη
q(s)=
Δ
(s)=
1
+F(s)
,
ηόηε
γεληθά
ε
ζπλάξηεζε
F(s)
κπνξεί
λα
πάξεη
ηε
κνξθή
:
)
(
)
)(
)(
(
)
(
)
)(
)(
z
K(s
F(s)
1
n
m
p
s
p
s
p
s
p
s
z
s
z
s
z
s


3
2
1
3
2
Η διαδικαςία καταςκευισ του
Γεωμετρικοφ Τόπου Ριηών
Dr. Christos I.
Papanagnou
BHMA
1
o

Καηαζηξώλνπκε
ηε
ραξαθηεξηζηηθή
εμίζωζε
1
+
F(s)=
0
θαη
κε
θαηάιιεινπο
αιγεβξηθνύο
ρεηξηζκνύο
κεηαζρεκαηίδνπκε
ηελ
εμίζωζε
έηζη
ώζηε
ε
παξάκεηξνο
Κ
λα
εκθαλίδεηαη
ωο
πνιιαπιαζηαζηηθόο
παξάγνληαο
:
1
+
Κ
P(s)=
0
.

Παξαγνληνπνηνύκε
ην
πνιπώλπκν
P(s)
ζπλαξηήζεη
ηωλ
πόιωλ
θαη
ηωλ
κεδεληθώλ
:

Σνπνζεηνύκε
ηνπο
πόινπο

p
(
x
)
θαη
ηα
κεδεληθά

z
(
ν
)
ζην
κηγαδηθό
επίπεδν

Αλαδηαηππώλνληαο
ηελ
παξαπάλω
εμίζωζε
έρνπκε
:

Γηα
Κ=
0
νη
ξίδεο
ηεο
ραξαθηεξηζηηθήο
εμίζωζεο
ηαπηίδνληαη
κε
ηνπο
πόινπο
ηνπ
P(s),
ελώ
γηα
Κ

νη
ξίδεο
ηεο
ραξαθηεξηζηηθήο
εμίζωζεο
ηαπηίδνληαη
κε
ηα
κεδεληθά
ηνπ
P(s)

Εάλ
έρνπκε
n
πόινπο
θαη
M
κεδεληθά
(
n>M
)
,
εκθαλίδνληαη
n
-
M
θιάδνη
ηνπ
Γ
.
Σ
.
Ρ
.
πνπ
ηείλνπλ
πξνο
ηα
n
-
M
κεδεληθά
ηα
νπνία
βξίζθνληαη
ζην
άπεηξν
Η διαδικαςία καταςκευισ του
Γεωμετρικοφ Τόπου Ριηών
Dr. Christos I.
Papanagnou
BHMA
2
o

Εληνπίδνπκε
ηα
ηκήκαηα
ηνπ
πξαγκαηηθνύ
άμνλα
πνπ
είλαη
γεωκεηξηθνί
ηόπνη

εκθαλίδεηαη
ωο
πνιιαπιαζηαζηηθόο
παξάγνληαο
:
1
+
Κ
P(s)=
0
.

Παξαγνληνπνηνύκε
ην
πνιπώλπκν
P(s)
ζπλαξηήζεη
ηωλ
πόιωλ
θαη
ηωλ
κεδεληθώλ
:

Σνπνζεηνύκε
ηνπο
πόινπο

p
(
x
)
θαη
ηα
κεδεληθά

z
(
ν
)
ζην
κηγαδηθό
επίπεδν

Αλαδηαηππώλνληαο
ηελ
παξαπάλω
εμίζωζε
έρνπκε
:

Γηα
Κ=
0
νη
ξίδεο
ηεο
ραξαθηεξηζηηθήο
εμίζωζεο
ηαπηίδνληαη
κε
ηνπο
πόινπο
ηνπ
P(s),
ελώ
γηα
Κ

νη
ξίδεο
ηεο
ραξαθηεξηζηηθήο
εμίζωζεο
ηαπηίδνληαη
κε
ηα
κεδεληθά
ηνπ
P(s)

Εάλ
έρνπκε
n
πόινπο
θαη
M
κεδεληθά
(
n>M
)
,
εκθαλίδνληαη
n
-
M
θιάδνη
ηνπ
Γ
.
Σ
.
Ρ
.
πνπ
ηείλνπλ
πξνο
ηα
n
-
M
κεδεληθά
ηα
νπνία
βξίζθνληαη
ζην
άπεηξν
Η διαδικαςία καταςκευισ του
Γεωμετρικοφ Τόπου Ριηών
Dr. Christos I.
Papanagnou
BHMA
2
o

Εληνπίδνπκε
ηα
ηκήκαηα
ηνπ
πξαγκαηηθνύ
άμνλα
πνπ
είλαη
γεωκεηξηθνί
ηόπνη

Ο
γεωκεηξηθόο
ηόπνο
πνπ
βξίζθεηαη
επάλω
ζηνλ
πξαγκαηηθό
άμνλα,
εληνπίδεηαη
αξηζηεξά
από
έλαλ
πεξηηηό
αξηζκό
πόιωλ
θαη
κεδεληθώλ
(έρεη,
δειαδή,
ζηα
δεμηά
ηνπ
πεξηηηό
αξηζκό
πόιωλ
θαη
κεδεληθώλ)
.
Απηό
επηβεβαηώλεηαη
εμεηάδνληαο
ην
θξηηήξηα
θάζεο
ηεο
F(s)
.
Παξάδεηγκα
1

(΢ύζηεκα
2
εο
ηάμεο
κε
κνλαδηαία
αλάδξαζε)
θαη
Χ
.
Ε
:

Η
Χ
.
Ε
.
αλαδηαηππώλεηαη
ωο
:

Σνπνζεηνύκε
ηνπο
πόινπο
θαη
ηα
κεδεληθά
:
Η διαδικαςία καταςκευισ του
Γεωμετρικοφ Τόπου Ριηών
Dr. Christos I.
Papanagnou

Σν
θξηηήξην
θάζεο
ηθαλνπνηείηαη
από
ην
ηκήκα
ηνπ
πξαγκαηηθνύ
άμνλα
πνπ
νξίδεηαη
από
ηα
ζεκεία
0
θαη
-
2
,
επεηδή
ε
γωλία
πνπ
δηαγξάθεηαη
από
ηνλ
πόιν
p
1
κέρξη
ηελ
αξρή
ηωλ
αμόλωλ
είλαη
180
ν
θαη
ε
γωλία
πνπ
δηαγξάθεηαη
από
ην
κεδεληθό
θαη
ηνλ
πόιν
p
2
,
ζην
ζεκείν
s
=
-
4
είλαη
0
ν
.
O
Γ
.
Σ
.
Ρ
.
αξρίδεη
από
ηνπο
πόινπο
θαη
θαηαιήγεη
ζηα
κεδεληθά
.

Η
θαηεύζπλζε
ηνπ
Γ
.
Σ
.
Ρ
.
θαζώο
ην
Κ
απμάλεηαη,
ζπκβνιίδεηαη
κε
βέινο
.
΢εκεηώζηε
όηη
επεηδή
έρνπκε
δύν
πξαγκαηηθνύο
πόινπο
θαη
έλα
πξαγκαηηθό
κεδεληθό,
ην
δεύηεξν
ηκήκα
ηνπ
Γ
.
Σ
.
Ρ
.
εθηείλεηαη
έωο
ην
κεδεληθό
πνπ
βξίζθεηαη
ζην
αξλεηηθό
άπεηξν
.
Ο
ππνινγηζκόο
ηνπ
θέξδνπο
ζε
κηα
ζπγθεθξηκέλε
ζέζε
γίλεηαη
κε
ην
θξηηήξην
ηνπ
κέηξνπ
.

Λόγω
ηνπ
όηη
νη
ηόπνη
μεθηλνύλ
από
ηνπο
πόινπο
θαη
θαηαιήγνπλ
ζηα
κεδεληθά,
ν
αξηζκόο
ηωλ
μερωξηζηώλ
ηόπωλ
είλαη
ίζνο
πξνο
ηνλ
αξηζκό
ηωλ
πόιωλ
εθόζνλ
n>=M
,
είλαη
ζπκκεηξηθνί
ωο
πξνο
ηνλ
πξαγκαηηθό
άμνλα
ιόγω
κηγαδηθήο
ζπδπγίαο
.
Η διαδικαςία καταςκευισ του
Γεωμετρικοφ Τόπου Ριηών
Dr. Christos I.
Papanagnou
BHMA
3
o

Οη
Γ
.
Σ
.
Ρ
.
εθηείλνληαη
κέρξη
ηα
κεδεληθά
πνπ
βξίζθνληαη
ζην
άπεηξν
θαηά
κήθνο
αζύκπηωηωλ
επζεηώλ
ζπκκεηξηθώλ
ωο
πξνο
ην
ζεκείν
ζ
Α
,
δηαγξάθνληαο
γωλίεο
θ
Α
.
Όηαλ
ν
αξηζκόο
ηωλ
πεπεξαζκέλωλ
κεδεληθώλ
ηεο
Ρ(s)
είλαη
κηθξόηεξνο
από
ηνλ
αξηζκό,
n
,
ηωλ
πόιωλ
θαηά
N=n
-
M
,
ηόηε
ν
αξηζκόο
ηωλ
ηκεκάηωλ
ηωλ
ηόπωλ
πνπ
πεξαηώλνληαη
ζην
άπεηξν
είλαη
ίζνο
πξνο
N
.
Απηά
ηα
ηκήκαηα
θηλνύληαη
πξνο
ηα
επ'
άπεηξν
κεδεληθά
θαηά
κήθνο
αζύκπηωηωλ
επζεηώλ,
θαζώο
ην
K
ηείλεη
ζην
άπεηξν
.
Οη
ελ
ιόγω
γξακκηθέο
αζύκπηωηεο
έρνπλ
θέληξν
ζπκκεηξίαο
έλα
ζεκείν
ηνπ
πξαγκαηηθνύ
άμνλα
πνπ
πξνζδηνξίδεηαη
από
ηελ
παξαθάηω
εμίζωζε
:

Η
γωλία
πνπ
ζρεκαηίδνπλ
νη
αζύκπηωηεο
κε
ηνλ
πξαγκαηηθό
άμνλα
είλαη
:

Οη
γωλίεο
θάζε
πόινπ
θαη
κεδεληθνύ
είλαη
όιεο
ίζεο
κεηαμύ
ηνπο,
άξα
ηζρύεη
:
Η διαδικαςία καταςκευισ του
Γεωμετρικοφ Τόπου Ριηών
Dr. Christos I.
Papanagnou
Παξάδεηγκα
2

(΢ύζηεκα
4
εο
ηάμεο
κε
κνλαδηαία
αλάδξαζε)
θαη
Χ
.
Ε
.:

Οη
γεωκεηξηθνί
ηόπνη
ζηελ
πξαγκαηηθό
άμνλα
πξέπεη
λα
βξίζθνληαη
αξηζηεξά
από
πεξηηηό
αξηζκό
πόιωλ
θαη
κεδεληθώλ
(λα
έρνπλ
πεξηηηό
αξηζκό
πόιωλ
θαη
κεδεληθώλ
δεμηά
ηνπο)
.
΢πκβνιίδνληαη
κε
παρηέο
γξακκέο
.

Σν
ζεκείν
ηνκήο
ηωλ
αζύκπηωηωλ
επζεηώλ
θαη
νη
γωλίεο
ηωλ
αζύκπηωηωλ
είλαη
:
Η διαδικαςία καταςκευισ του
Γεωμετρικοφ Τόπου Ριηών
Dr. Christos I.
Papanagnou
BHMA
4
o

Πξνζδηνξίδνπκε
ηα
ζεκεία
ηνκήο
ηνπ
ηόπνπ
κε
ην
θαληαζηηθό
άμνλα
(αλ
ππάξρνπλ)
ρξεζηκνπνηώληαο
ην
θξηηήξην
R
out
h
-
Hurwitz
.
Σν
αθξηβέο
ζεκείν
ηνκήο
ηνπ
γεωκεηξηθνύ
ηύπνπ
κε
ην
θαληαζηηθό
άμνλα,
πξνζδηνξίδεηαη
εύθνια
κε
ηε
ρξήζε
απηνύ
ηνπ
θξηηεξίνπ
.
BHMA
5
o

Πξνζδηνξίδνπκε
ην
ζεκείν
ζιάζεο
ζηνλ
πξαγκαηηθό
άμνλα
(αλ
ππάξρεη)
.
Ο
γεωκεηξηθόο
ηόπνο
ξηδώλ
ηνπ
Παξαδείγκαηνο
2
απνκαθξύλζεθε
από
ηνλ
πξαγκαηηθό
άμνλα
ζ'
έλα
ζεκείν
ζιάζεο
.
H
απνκάθξπλζε
ηνπ
ηόπνπ
από
ηνλ
πξαγκαηηθό
άμνλα
ζπκβαίλεη
όηαλ
ε
απόιπηε
κεηαβνιή
ηεο
γωλίαο
πνπ
νθείιεηαη
ζε
κηθξέο
κεηαηνπίζεηο
είλαη
κεδεληθή
.
Ο
γεωκεηξηθόο
ηόπνο
απνκαθξύλεηαη
από
ηνλ
πξαγκαηηθό
άμνλα
ζηα
ζεκεία
πνπ
ππάξρνπλ
πνιιαπιέο
ξίδεο
(ζπλήζωο,
ξίδεο
κε
πνιιαπιόηεηα
2
)
.
Η διαδικαςία καταςκευισ του
Γεωμετρικοφ Τόπου Ριηών
Dr. Christos I.
Papanagnou

Οη
εθαπηόκελεο
ηωλ
Γ
.
Τ
.
Ρ
.
ζηα
ζεκεία
ζιάζεο
ηζαπέρνπλ,
θαιύπηνληαο
ζπλνιηθά
360
ν
.
Σην
παξαθάηω
ζρήκα
(ζηα
αξηζηεξά)
νη
δύν
ηόπνη
απνκαθξύλνληαη
από
ηνλ
πξαγκαηηθό
ζρεκαηίδνληαο,
κεηαμύ
ηνπο,
γωλία
180
ν
κε
θνξπθή
ην
ζεκείν
ζιάζεο,
Αληίζηνηρα
ζην
δεμηό
ζρήκα
νη
ηέζζεξηο
γεωκεηξηθνί
ηόπνη
αλαρωξνύλ
από
ηνλ
πξαγκαηηθόηεηα
άμνλα
ζρεκαηίδνληαο
κεηαμύ
ηνπο
(αλά
δύν
δηαδνρηθνί)
γωλίεο
ίζεο
πξνο
90
ν

Ελαιιαθηηθά
παξαγωγίζνπκε
ηελ
P(s)
αθνινπζώληαο
ηε
κεζνδνινγία
γηα
ηε
κειέηε
ζπλάξηεζεο
Η διαδικαςία καταςκευισ του
Γεωμετρικοφ Τόπου Ριηών
Dr. Christos I.
Papanagnou
Παξάδεηγκα
3

(΢ύζηεκα
3
εο
ηάμεο
κε
αλάδξαζε)
Η
δηαθνξά
n
-
M=
2
.
΢πλεπώο,
ππάξρνπλ
δύν
αζύκπηωηεο
ηηο
δηεπζύλζεηο
±
90
ν
κε
θέληξν
ην
ζεκείν
ζ
Α
=

2
.
Μεηαμύ
ηωλ
ζεκείωλ
s=
-
2
Καη
s=
-
3
ππάξρεη
ζεκείν
ζιάζεο
.
Γηα
λα
ππνινγίζνπκε
ηε
ζέζε
ηνπ
αλαδηαηππώλνπκε
ηε
Χ
.
Ε
.
Η διαδικαςία καταςκευισ του
Γεωμετρικοφ Τόπου Ριηών
Dr. Christos I.
Papanagnou
BHMA
6
o

Πξνζδηνξίδνπκε
ηε
γωλία
αλαρώξεζεο
ηνπ
γεωκεηξηθνύ
ηόπνπ
από
ηνπο
πόινπο
θαη
ηε
γωλία
άθημήο
ηνπ
ζηα
κεδεληθά
ρξεζηκνπνηώληαο
ην
θξηηήξην
ηεο
θαζηθήο
γωλίαο
.
Η
γωλία
αλαρώξεζεο
ηνπ
Γ
.
Σ
.
Ρ
.
από
έλα
πόιν
είλαη
ίζε
κε
ηε
δηαθνξά
ηεο
ζπλνιηθήο
γωλίαο
όιωλ
ηωλ
άιιωλ
πόιωλ
θαη
κεδεληθώλ
από
ην
θξηηήξην
θάζεο
;
ηωλ
±
180
ν
(
2
q
+
1
)
.
Παξόκνηα
νξίδεηαη
θαη
ε
γωλία
άθημεο
ηνπ
ηόπνπ
ζε
θάπνην
κεδεληθό
.
H
γωλία
αλαρώξεζεο

άθημεο)
καο
ελδηαθέξεη
ηδηαίηεξα
όηαλ
ν
πόινο

ην
κεδεληθό)
είλαη
κηγαδηθόο
αξηζκόο
δηόηη
απηή
ε
πιεξνθνξία
καο
βνεζάεη
λα
νινθιεξώζνπκε
ηνλ
Γ
.
Σ
.
Ρ
.
Παξάδεηγκα
4

΢ύζηεκα
3
εο
ηάμεο
κε
΢ΜΑΒ
.:
Εθόζνλ
ζ
2
=
90
ν
,
ζ
1

2

3
=
ζ
1
+
90
ν

3
=+
180
ν
.
Επνκέλωο
ε
γωλία
αλαρώξεζεο
ζηνλ
πόιν

p
1
ζα
είλαη
ζ
1
=
90
ν
-
ζ
3
θαη
ζην
πόιν

p
2
ζα
είλαη
-
ζ
1