# Euclidean Geometry

Ηλεκτρονική - Συσκευές

10 Οκτ 2013 (πριν από 4 χρόνια και 7 μήνες)

139 εμφανίσεις

Euclidean Geometry

(Theorems in abbreviation for reference, Middle 1 to Middle 3)

Theorem 1.

I f A O B i s a s t r a i g h t l i n e,

t h e n

x
+
y =
180

( a d j.

s o n s t. l i n e )

[

]

Th e o r e m 2, 3

( c o n v e r s e o f T h e o r e m 1 )

Co r o l l a r y

I f
x
+
y =
180

,

then

A O B i s a s t r a i g h t l i n e

( a d j.

s s u p p.)

[

]

[

]

w
+
x
+
y
+
z

= 360

(

s a t a p t.)

[

]

Th e o r e m 4.

I f t w o s t r a i g h t l i n e s A O B, C O
D me e t a t O

t h e n

x
=
y

( v e r t. o p p.

s)

[

]

Th e o r e m 5, 6, 7

I f A B

CD

then

( 1 )
a
=
b

(corr.

s, AB//CD)

[

,
AB//CD
]

( 2 )
c
=
b

( a l t.

s, AB//CD)

[

,
AB//CD
]

( 3 )
c
+
d

= 180

( i n t.

s, AB//CD)

[

,
AB//CD
]

Theorem 8, 9, 10

( c o n v e r s e o f
T h e o r e m 5, 6, 7 )

( 1 ) I f
a
=
b

t hen

AB//CD
( cor r.

s equal )

[

]

( 2 )

I f
c
=
b

t h e n

A B//C D
( a l t.

s e q u a l )

[

]

( 3 ) I f
c

+
d

= 180

t h e n

AB
//CD
(int.

s supp.)

[

]

Th e o r e m 1 1.

I f A B//C D a n d A B//E F

t h e n

C D//E F

(// t o t h e s a me s t. l i n e )

[

]

Th e o
r e m 1 2, 1 3

I n

A B C

( 1 )
a

+
b
+
c
= 180

(

sum of

)

[

]

( 2 )
d
=
a
+
b

( e x t.

o f

)

[

]

Th e o r e m 1 4,1 5,1 6,1 7,
18.

( T e s t f o r
C o n g r u e n t

s)

I n

A B C,

P Q R

( 1 ) I f A B = P Q,
b

=
q
, BC = QR

t h e n

A B C

P Q R

( S.A.S )

( 2 )
I f
b

=
c
, BC = QR,
c

=
r

t h e n

A B C

P Q R

( A.S.A.)

( 3 ) I f
a
=
p
,
b

=
q
, BC =QR

t h e n

A B C

P Q R

( A.A.S.)

( 4 ) I f A B = P Q, B C = Q R, C A = R P

t h e n

A B C

P Q R

( S.S.S.)

( 5 ) I f

B =

Q = 9 0

, A C = P R, B C = Q R

t h e n

A B C

P Q R

( R.H.S.)

Th e o r e m 1 9, 2 0,2 1

( T e s t s f o r
S i mi l a r T r i a n g l e s )

I n

A B C,

P Q R

( 1 ) I f
a

=
p

and

b

=
q

and

c

=
r

t h e n

A B C

P Q R

( A.A.A)

( 2 ) I f
a

=
p

and

t h e n

A B C

P Q R

( r a t i o o f 2 s i d e s, i n c.

)

[

]

( 3 ) I f

t h e n

A B C

P Q R

( 3 s i d e s p r o p o r t i o n a l )

[

]

Th e o r e m 2 2, 2 3.

( 1 ) T h e s u m o f t h e i n t e r i o r a n g l e s o f a c o n v e x p o l y g o n w i t h n s i d e s i s ( n
-
2 ) x 1 8 0

(

s u m o f p o l y g o n )

[

]

( 2 ) I f t h e s i d e s o f a c o n v e x p o l y g o n a r e p r o d u c e d i n o r d e r, t h e s u m o f t h e e x t e r i o r a n g l e s

s o f o r me d i s 3 6 0

( s u m o f e x t.

s o f p o l y g o n )

[

]

Th e o r e m 2 4

A B C i s i s o s c e l e s s u c h t h a t A B = A C

t h e n

B =

C

( b a s e

s, i s o s.

)

[

]

Th e o r e m 2 5

( c o n v e r s e o f T h e o r e m 2 4
)

I f

B =

C

t h e n

A C = A B

( s i d e s o p p. Eq u a l

s)

[

]

Theorem 26

I f A B = B C = C A

t h e n

A =

B =

C = 6 0

( P r o p e r t y o f e q u i l a t e r a l

)

[

]

Th e o r e m 2 7, 2 8,2 9, 3 0.

I f A B D C i s a p a r a l l e l o g r a m

t h e n

( 1 ) A B = C D; A C = B D

( o p p. s i d e s, //g r a m)

[

]

(
2 )
a

=
d
,
c

=
b

( o p p.

s, //g r a m)

[

]

( 3 ) A O = O D; C O = O B

( d i a g s., //g r a m)

[

]

( 4 ) a r e a o f

A B C = a r e a o f

D C B;

a r e a o f

A D C = a r e a o f

D A B

( d i a g. b i s e c t s a r e a o f //g r a m)

[

]

Th e o r e m 3 1,3 2,3 3 3 4.

( T e s t s f o r
P a r a l l e l o g r a ms )

I n q u a d r i l a t e r a l A B C D,

( 1 ) i f A B = D C
a n d

A D = B C

t h e n

A B C D i s a p a r a l l e l o g r a m

( o p p. s i d e s e q u a l )

[

]

( 2 ) i f
a

=
c

and

b

=
d

t h e n

A B C D i s a p a r a l l e l o g r a m

( o p p.

s e q u a l )

[

]

( 3 ) i f A O = O C
a n d

B O = O D

t h e n

A B C D i s a p a r a l l e l o g r a m

( d i a g s. b i s e c t e a c h o t h e r )

[

]

( 4 ) i f A B = D C
a n d

A B // D C

t h e n

A B C D i s a p a r a l l e l o g r a m

( 2 s i d e s e q u a l a n d //)

[

]

Theorem 35.

I f A B D C i s a s q u a r e,

t h e n

( 1 ) A D = B C

( 2 ) A D

BC

( 3 ) A D b i s e c t s

B A C a n d

B D C;

B C b i s e c t s

A B D a n d

A C D

( 4 ) p o s s e s s a l l p r o p e r t i e s o f a p a r a l l e l o g r a m

( p r o p e r t y o f s q u a r e )

[

]

Th e o r e m 3 6.

I f A B C D i s a r e c t a n g l e,

t h e n

( 1 ) A C = B D

( 2 ) p o s s e s s a
l l p r o p e r t i e s o f a p a r a l l e l o g r a m

( p r o p e r t y o f r e c t a n g l e )

[

]

Th e o r e m 3 7.

I f A B C D i s a r h o mb u s,

t h e n

( 1 ) A C

BD

( 2 ) A C b i s e c t s

B A D,

B C D;

B D b i s e c t s

A B C,

( 3 ) p o s s e s s a l l p r o p e r t i e s o f a p a r a l l e l o g r a m

( p r o p e r t y o f r h o mb u s )

[

]

Th e o r e m 3 8.

( Mi d
-
p o i n t t h e o r e m)

I n

A B C,

D, E a r e mi d
-
p o i n t s o f A B, A C r e s p e c t i v e l y

t h e n

( 1 ) D E // B C

( 2 ) D E = B C/2

( Mi d
-
p t. t h e o r e m)

[

]

Th e o r e m 3 9.

( E q u a l i n t e r c e p t t h e o r e m)

I f A B // C D // E F // G H a n d

A C = C E = E G

t h e n

B D = D F = F H

( Eq u a l i n t e r c e p t t h e o r e m)

[

]

o r
( I n t e r c e p t t h e o r e m)

[

]

Theorem 40.

( I n t e r c e p t t h e o r e m)

I n

A B C,

D i s a mi d
-
p o i n t o f A B; D E // B C

t h e n

A E = E C

( I n t e r c e p t t h e o r e m)

[

]

Th e o r e m 4
1.

( T h e o r e m o f e q u a l r a t i o )

I f D E // B C

t h e n

( Eq u a l r a t i o s t h e o r e m)

[

]

Theorem 42.

( c o n v e r s e o f T h e o r e m 4 2 )

I f

t h e n

D E // B C

( c o n v e r s e o f e q u a l r a t i o s t h e o r e m)

[

]

Th e o r e m 4 3.

( P y t h a g o r a s' t h e o r e m)

I n

A B C

B = 9 0

t h e n

( P y t h a g o r a s' t h e o r e m)

[

]

Th e o r e m 4 4.

( c o n v e r s e o f t h e o r e m 4 3 )

I n

A B C

t h e n

B = 9 0

( c o n v e r s e o f P y t h a g o r a s' t h e o r e m)

[

]

Th e o r e m 4 5.

( P e r p e n d i c u l a r b i s e c t o r t h e o r e m)

I f H K i s t h e p e r p e n d i c u l a r b i s e c t o r o f A B

P i n a p o i n t o n H K

t h e n

P A = P B

(

b i s e c t o r t h e o r e m)

[

]

T
heorem 46.

( c o n v e r s e o f T h e o r e m 4 6 )

I f H K i s t h e p e r p e n d i c u l a r b i s e c t o r o f A B

P A = P B

t h e n

P i s a p o i n t o n HK

( c o n v e r s e o f

b i s e c t o r t h e o r e m)

[

]

Th e o r e m 4 7.

(
A n g l e b i s e c t o r t h e o r e m)

I f A D i s t h e a n g l e b i s e c t o r o f

B A C

P i s a p o i n t o n A D

P E i s t h e p e r p e n d i c u l a r d i s t a n c e o f P f r o m A B

P F i s t h e p e r p e n d i c u l a r d i s t a n c e o f P f r o m A C

t h e n

P E
= P F

(

b i s e c t o r t h e o r e m)

[

]

Th e o r e m 4 8.

( c o n v e r s e o f T h e o r e m 4 7 )

I f A D i s t h e a n g l e b i s e c t o r o f

B A C

P E i s t h e p e r p e n d i c u l a r d i s t a n c e o f P f r o m A B

P F i s t h e p e r p e n d i c u l a r d i s t a n c e o f P f r o m A C

PE

= PF

then

P i s a p o i n t o n AD

( c o n v e r s e o f

b i s e c t o r t h e o r e m)

[

]

Th e o r e m 4 9.

( C e n t r o i d t h e o r e m)

I n

A B C

A D, C E, B F a r e t h e me d i a n s

t h e n

( 1 ) A D, C E a n d B F m e e t a
t a p o i n t, G.

( G i s t h e c e n t r o i d o f t h e t r i a n g l e )

( 2 ) A G:G D = B G:G F = C G:G E = 2:1;

( Ce n t r o i d t h e o r e m)

[

]

Th e o r e m 5 0.

( C i r c u m
-
c e n t r e t h e o r e m)

I n

A B C,

D
E, G F, K H a r e t h e p e r p e n d i c u l a r b i s e c t o r s

o f t h e s i d e s A B, A C a n d B C r e s p e c t i v e l y

t h e n

D E, G F a n d K H me e t a t a p o i n t, O.

( O i s t h e c i r c u mc e n t r e o f t h e t r i a n g l e )

( Ci r c u m
-
c e n t e r t h e o r e m)

[

]

Theorem 51a.

( I n
-
c e n t e r t h e o r e m)

I n

A B C,

A D, B F, C E a r e t h e a n g l e b i s e c t o r s o f t h e

a n g l e s o f t h e t r i a n g l e

t h e n

A D, B F, C E me e t a t a p o i n t, O.

( O i s t h e i n
-
ce
ntre of the triangle)

(In
-
centre theorem)

[

]

Theorem 51b.

( E x
-
c e n t r e t h e o r e m)

I n

A B C,

A D i s t h e a n g l e b i s e c t o r o f a i n t e r i o r a n g l e,

B E a n d C F a r e t h e a n g l e b i s e
c t o r s o f t h e

e x t e r i o r a n g l e s o f t h e o t h e r a n g l e s

t h e n

A D, B E, C F me e t a t a p o i n t, O.

( O i s t h e e x
-
c e n t r e o f t h e t r i a n g l e )

( Ex
-
c e n t r e t h e o r e m)

[

]

Th e o r e m 5 1 c.

( O r t h o c e n t r e t h e o r e m)

I n

A B C,

A D, B F, C E a r e t h e a l t i t u d e s

t h e n

A D, B F, C E me e t a t a p o i n t, O.

( O i s t h e o r t h o c e n t e r o f a t r i a n g l e )

( Or t h o c e n t r e t h e o r e m)

[

]

(Theorems in abbreviation for reference, Mid
dle 4 to Middle 5)

Theorem 52,53.

I f

t h e n
.

( e q u a l c h o r d s, e q u a l a r c s )
[

,

]

Co n v e r s e l y

I f

t h e n
.

( e q u a l a r c s, e q u a l c h o r d s )
[

,

]

Th e o r e m 5 4,5 5 ( c o r o l l a r y o f
t h e o r e m 5 2, 5 3 )

Two e q u a l c i r c l e s
.

I f

t h e n
.

( e q u a l c h o r d s, e q u a l a r c s )
[

,

]

Co n v e
r s e l y

I f

t h e n
.

( e q u a l a r c s, e q u a l c h o r d s )
[

,

]

Th e o r e m 5 6, 5 7,5 8,5 9.

I f

( o r
) t h e n
.

( e q u a l a r c s, e q u a l

s)
[

,

]

(
or
equal chords, equal

s

,

)

Conversely

I f

t h e n

( o r
).

( e q u a l

s, e q u a l a r c s )
[

,

]

(
o r

e q u a l

s,

equal chords

,

)

Corollary 60,61,62, 63.

Two e q u a l c i r c l e s
.

I f

( o r
) t h e n
.

( e q u a l a r c s, e q u a l

s)
[

,

]

(
or equal cho
rds, equal

s

,

)

Conversely

I f

t h e n

( o r
).

( e q u a l

s, e q u a l a r c s )
[

,

]

(
o r

e q u a l

s, e q u a l c h o r d s

,

)

Th e o r e m 6 4.

( a r c s p r o p. t o

s a t c e n t r e )

[

]

Corollary 65.

Two e q u a l c i r c l e s
.

( a r c s p r o p. t o

s a t c e n t r e )

[

]

Th e o r e m 6 6.

( a r c s p r o p. t o

s a t c i r c u mf e r e n c e )

[

]

Co r o l l a r y 6 7.

Two e q u a l c i r c l e s
.

( a r c s p r o p. t o

s a t c i r c u mf e r e n c e )

[

]

Th e o r e m 6 8.

I f

t h e n

.

( l i n e f r o m c e n t r e

c h o r d b i s e c t s c h o r d )

[

]

Th e o r e m 6 9.

( c o n v e r s e o f T h e o r e m 6 8
)

I f

t h e n

.

( l i n e j o i n i n g c e n t r e t o mi d
-
p t. Of c h o r d p e r p. t o

c h o r d )

[

]

Th e o r e m 7 0.

I f

t h e n

.

( e q u a l c h o r d s, e q u i d i s t a n t f r o m c e n t r e )

[

]

Theorem 71.

(converse of Theorem 70)

I f

t h e n
.

( c h o r d s e q u i d i s t a n t f r o m c e n t r e a r e e q u a l )

[

]

Th e o r e m 7 2.

(

a t c e n t r e t wi c e

a t c i r c u mf e r e n c e )

[

]

Th e o r e m 7 3.

I f

i s a d i a me t e r
,

t h e n

(

i n s e mi
-
c i r c l e )

[

]

Th e o r e m 7 4.

I f

i s a c h o r d,

t h e n
.

(
s i n t h e s a me s e g me n t
)

[

]

Th e o r e m 7 5.

P Q R S i s a c y c l i c q u a d r i l a t e r
a l,

t h e n

(

o r
)

(
o p p.
s, c y c l i c q u a d.
)

[

]

Theorem 76.

P Q R S i s a c y c l i c q u a d r i l a t e r a l,

t h e n

(
e x t.
s, c y c l i c q u a d.
)

[

]

Th e o r e m 7 7.

( c o n v e r s e o f T h e o r e m 7 4 )

I f

t h e n

A, B, Q, P a r e c o n c y c l i c
.

( c o n v e r s e o f
s i n t h e s a me s e g me n t )

[

]

Th e o r e m 7 8.

( c o n v e r s e o f T h e o r e m 7 5 )

I f

(

o r
)

t h e n

P, Q, R, S a r e c o n c y c l i c.

( o p p.
s s u p p )

[

]

Th e o r e m 7 9.

( c o n v e r s e o f T h e o r e m 7 6 )

If

then

P, Q, R, S are concyclic.

(ext.
s = int. opp.

)

[

=

]

Theorem 80.

I f P Q i s a t a n g e n t t o t h e c i r c l e ,

t h e n
.

( t a n g e n t

r a d i u s )

[

]

T h e o r e m 8 1.

( c o n v e r s e o f T h e o r e m 8 0 )

I f

,

t h e n

P Q i s a t a n g e n t t o t h e c i r c l e
.

( c o n v e r s e o f t a n g e n t

r a d i u s )

[

]

Theorem 82.

I f T P, T Q a r
e t w o t a n g e n t s t o t h e c i r c l e,

t h e n

( 1 ) T P = T Q

( 2 )

( 3 )

( t a n g e n t p r o p e r t i e s )

[

]

Th e o r e m 8 3.

I f P A Q i s a t a n g e n t t o t h e c i r c l e a t A,

t h e n

(
o r
)

(

i n a l t. s e g me n t )

[

]

T h e o r e m 8 4.

( c o n v e r s e o f T h e o r e m 8 3 )

I f

(
o r
),

the
n

PAQ is a tangent to the circle at A.

(converse of

in alt. segment)

[

]