ETUDE DE LA STABILITE DES VIBRATIONS DE L'USINAGE STABILITY ...

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18 Ιουλ 2012 (πριν από 5 χρόνια και 3 μήνες)

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1
ETUDE DE LA STABILITE DES VIBRATIONS DE L'USINAGE

STABILITY STADY FOR CUTTING VIBRATIONS
Rafic Younes
1
, Joe Chalfoun
1
, Yasser Alayli
2
, Peter Wagstaff
3
1
Faculté de génie, Université libanaise, Beyrouth (Liban)
2
LIRIS, Université de Versailles Saint-Quentin, 45 Avenue des Etats Unis, 78035 Versailles Cedex (France)
3
Département Génie des Systèmes Mécaniques, Université technologique de Compiègne, Compiègne Cedex (France)

Abstract:
A new analytical model of chatter vibration in metal cutting is presented. The basic cutting mechanics adopted in the model
is derived from a predictive machining theory based on a shear zone model of chip formation. A feature of this model is
that variations of the undeformed chip thickness and rake angle due to the machine tool vibration are taken into account in
determining the cutting forces and the forces are then coupled with the equations of motion to solve for the vibrational
amplitudes with iterative techniques. Non-linearities in dynamic cutting processes caused by the effects of cutting process
damping are also included in the model.

1.0-Introduction :

Les vibrations, phénomène dit aussi broutement, du système machine-montage-outil-pièce dégradant la qualité de la
surface usinée, accélèrent l’usure de l’outil et de la machine et provoquent le déréglage de la machine et des montages. Un
broutement important diminue la productivité et parfois rend même impossible tout travail sur une machine-outil. Il en
existe deux types, les vibrations forcées et les vibrations auto excitées (générées par le processus de la formation du
copeau).

1.1-Les vibrations forcées
Ce genre apparaît sous l’effet des perturbations périodiques provoquées par :
● La variation des forces qui s’exercent sur le système, variation due à la coupe intermittente (tournage d’un arbre à
rainure longitudinale par exemple) ou à une surépaisseur variable;
● Les forces centrifuges d’inertie due au manque d’équilibre des masses en rotation (ébauche, mandrin, poulies,
rotors des moteurs électriques …);
● Les chocs dus aux vibrations ou à la précision insuffisante des surfaces actives des pièces des organes de
transmission (usure des pièces d’un mécanisme, manque de précision des engrenages), aux engagements et aux
changements de régime brusques…

1.2-Les vibrations auto excitées
C’est un phénomène plus complexe et bien plus fréquent dans la coupe des métaux que le précédent. Ses causes
essentielles sont :
● La variation de la force de frottement du copeau glissant sur l’outil et de l’outil taillant l’ébauche;
● L’écrouissage irrégulier de la couche enlevée suivant son épaisseur ;
● Les variations dimensionnelles de l’arête rapportée qui modifient en cours d’usinage l’angle de coupe et la surface
de la section droite de la tranche cisaillée.
L’intensité des vibrations auto excitées est définie par le métal en œuvre et ses propriétés mécaniques, les facteurs
mécaniques d’usinage, la géométrie de la partie active de l’outil et la raideur du système machine-montage-outil-pièce.


2.0-Etude bibliographique

Les méthodes traditionnelles utilisées pour la modélisation du broutement sont basées principalement sur la mécanique des
matériaux, la mécanique des structures et la dynamique d’usinage. Grâce au développement des techniques numériques sur
ordinateur, des nouvelles méthodes ont pu être développées pour les non-linéarités et les variations temporelles des
caractéristiques. Dans la littérature scientifique, quatre techniques sont actuellement retenues pour résoudre ce problème :

2.1-Méthode du plan de cisaillement :
D.W.Wu et C.R.Liu [3, 4] ont proposé un modèle à deux degrés de liberté pour le problème de broutement. La figure 2.1
représente une configuration géométrique de coupe orthogonale. L’outil enlève la matière dont la surface extérieure est
ondulée. Un système des coordonnées X-Y est construit de telle façon que son point d’origine bouge horizontalement avec
l’outil. Dans une condition de coupe stable, la pointe de l’outil B coïncide avec l’origine O, alors qu'en condition
dynamique, B fluctue autour de O. De manière identique, l’extrémité de la surface du plan de cisaillement A reste
stationnaire lorsque le régime est stable, mais vibre sous des conditions dynamiques. Les équations d’équilibre sont :

2
( )
( )( )
βµββρ
ρρϖβρρ
ρ
costansincos
)(
2
0
+−
=+++−
sk
Ckmm
T
po
&
&
&&

Où m est la masse équivalente du système d’outil, C
1
et C
2
sont les coefficients d’amortissements, k
1
et k
2
sont les
constantes de raideur de la structure de la machine-outil dans les directions X et Y.



Figure 2.1 : Méthode du plan de cisaillement Figure 2.2 : Non-linéarité entre force de coupe et déplacement de l’outil

2.2-Force de coupe en série de Fourier :
Les études expérimentales menées par [5] montrent une évolution non sinusoïdale de la force de coupe lorsque l’épaisseur
de coupe varie d’une manière sinusoïdale. La figure 2.2 issue de [6] montre un mouvement sinusoïdal de l’outil, alors que
les forces de coupe et de pénétration présentent des distorsions avec une avance de phase pour le déplacement de l’outil. La
force de coupe résultante peut être décomposée en série de Fourier de la forme suivante :
( )


=
⋅+⋅+=
1
0
sincos
2
)(
n
nnc
tnbtna
a
tF ϖϖ

Le problème du broutement peut être représenté par les trois équations suivantes :
)()()(
)()(
11
Ttztzsts
FzkzCzm
tsKtF
c
c
−⋅+−=
=⋅+⋅+⋅
⋅=
µ
&&&

Avec K est la constante du modèle de Merchant, z est un déplacement généralisé, T est la fréquence de rotation. Ecrit
ensuite dans l’espace de Laplace, ce système permet de définir le schéma fonctionnel du broutement comme le montre la
figure 2.3. Pour prédire le broutement, une étude de la stabilité est ensuite menée sur la fonction de transfert G(s) en
appliquant les méthodes de l’Automatique telles que le critère de Routh ou le critère de Nyquiest.

2.3-Méthode de séries temporelles :
Il existe de nombreuses publications basées sur cette technique. K.F. Eman et Al [7] décrit la dynamique de coupe par un
modèle discret ARMA dont la formulation mathématique est la suivante :
2
11112211
}{0}{
akkttt
ntntntnttt
aaEaE
aazzzz
σδ
θθφφφ
⋅=⋅=
⋅−⋅⋅⋅⋅−⋅−=⋅−⋅⋅⋅⋅−⋅−⋅−

+−−−−−−

où z
t
est la réponse temporelle du système.
δ
k
delta Kronecker, a
t
le bruit blanc, E l’espérance mathématique,
φ
i
le
paramètre régressif et
θ
i
le paramètre de moyenne glissante, n le nombre de degrés de liberté du système. Si une solution
périodique existe, comme dans le cas du broutement, la fréquence va apparaître sur une des racines de l’équation
caractéristique :

=

=⋅−
n
j
jn
j
n
1
0λφλ
. Un mode correspond normalement à un couple de racines complexes conjuguées.
2.4-Méthode expérimentale :
Les études réalisées sur le broutement mettent en évidence une relation complexe entre l’instabilité de l’usinage et les
conditions d’usinage, i.e. la structure de la machine et les paramètres de coupe. Marui et Al ont proposé pour le broutement
un modèle à deux degrés de liberté (voir méthode du plan de cisaillement) dont la force de coupe est identifiée
expérimentalement avec 8 paramètres inconnus.
Pour construire leurs équations différentielles, Marui et Al [8, 9, 10] proposent le système de coordonnées présenté sur la
figure 2.4. Le point 0" est le centre de la pièce avant la coupe, 0 le centre de la pièce lors de l’usinage et 0’ est le centre
transitoire de la pièce. L’équation du mouvement du système broche/pièce a été décrite comme suit :

3



































Θ
+−⋅+






−−=
















⋅−−⋅=⋅+⋅+⋅
















⋅−−⋅=⋅+⋅+⋅
bb
tx
b
txsSavec
S
yVc
x
ayaKykyCym
S
yVc
x
ayaKxkxCxm
TaTvT
NaNvN
θ
µ
θ
ϖ
ϖ
&
&
&&&&
&
&
&&&&
tan
tan
022
011


avec K
N0
, K
T0
sont les résistances spécifiques de coupe en configuration statique, a
Nv
, a
Tv
, a
Na
, a
Ta
sont des constantes, b est
la fréquence de broutement,
θ
et
Θ
sont des angles de retards relativement à F
z
et F
x
.

Figure 2.3 : Schéma fonctionnel du broutement

Figure 2.4 : Modèle de Marui pour le broutement


3.0-Modélisation du broutement sur les machines-outils

Bien qu’on ait retenu, à partir de la bibliographie scientifique récente, quatre méthodes principales pour la modélisation du
broutement, notre travail ne peut se situer que dans le domaine de la méthode du plan de cisaillement. En effet, les
inconvénients des autres méthodes nous imposent ce choix :
La méthode de série temporelle synthétise tous les effets dans un modèle en utilisant le principe de la boite noire. Il est
difficile d’établir le rapport entre les paramètres du modèle ARMA, les paramètres de la structure et ceux de l’usinage [7].
Ce modèle convient pour mesurer et surveiller le phénomène du broutement, mais pas pour expliquer et contrôler
l’instabilité de la machine en coupe [2].
La modélisation par le développement en série de Fourier [5, 6] souligne la non-linéarité de la force de coupe et utilise une
boucle de retour pour intégrer un couplage entre les vibrations et la force de coupe. Mais, les paramètres de coupe
n’apparaissent pas dans ce modèle et cette méthode ne permet pas non plus de définir l’instabilité du système [2].
Marui et Al ont construit leur modèle en se basant sur l’effet des paramètres d’usinage et des paramètres structurels de la
machine. Les significations physiques des coefficients du modèle sont claires. Le modèle convient pour prédire la
fréquence de broutement en fonction des paramètres de coupe et de la structure. Cependant, il faut une série de montage
instrumenté complexe pour mesurer les paramètres. En plus, les équations différentielles conduisent à des amplitudes
infinies du broutement. Ce résultat théorique va à l’encontre des résultats expérimentaux.

3.1 - Modélisation de la coupe orthogonale :
Les modèles mécaniques classiques sont incomplets dans le sens où les effets d’écrouissage, les effets dus aux vitesses de
déformations et les effets thermomécaniques au sein du matériau usiné sont négligés. Dans le but d’amélioration, certains
auteurs ont proposé des modèles thermomécaniques [11, 12] incluant les vitesses de déformations dans les zones de
cisaillement primaire (Zp) et secondaire (Zs). Les figures 3.1 et 3.2 représentent le modèle d’Oxley et les efforts associés.
Soient s et s’ respectivement l’épaisseur de coupe et du copeau,
φ
l’angle du plan de cisaillement maximal AB,
µ
l’angle
de frottement,
γ
l’angle de coupe,
θ
l’angle entre F
S
et R,
σ
AB
la contrainte de rupture du matériau, R et N les efforts normal
et tangentiel sur l’interface outil/copeau, F
N
et F
S
les efforts de coupe normal et tangentiel au plan de cisaillement AB et
enfin, F
c
et F
t
les efforts de coupe normal et tangentiel au plan de la pièce. On peut alors démonter [11] les relations
suivantes :

4
( )
( ) ( )
θφ
ϖσ
θ
µµ
γµγµ
φ
γφ
cossincos
cossin
sincos
sin
cos
'

⋅⋅
==
⋅=⋅=
−⋅=−⋅=
−⋅
=
s
F
R
RNRT
RFRF
s
s
AB
S
tc




Figure 3.1 Modèle thermomécanique d’Oxley Figure 3.2 : Schéma des efforts du modèle d’Oxley

Le modèle prend en compte une représentation de la rhéologie du matériau usiné de la forme [14]:
( )
n
a
TA ε
ε
εσ ⋅






⋅=
1000
,
0
&
&

avec
( )
21,00195,0
3391394,
2
1000
ln5,239430000184,0
00118,0
0
==
⋅+⋅=












⋅−−⋅−

na
eeTA
T
T
ε
ε
&
&

T : température, K [ T = 293 ~ 970]
ε
&
: vitesse de déformation, s
-1
[
ε
&
= 10
-3
~ 10
4
s
--1
]
ε
: taux de déformation mm/mm [
ε
= 0,05 ~ 2 mm/mm]
σ
: contrainte d’écoulement, MPa

3.1.1 - Cisaillement primaire :
En considérant la déformation le long de AB comme la moitié de la déformation totale due au passage à travers la zone de
cisaillement primaire, on obtient la relation donnant la déformation le long de AB sous la forme :
( )
γφφ
γ
ε
−⋅⋅
=
cossin32
cos
AB

la largeur de la bande de cisaillement n’étant pas connue, la vitesse de déformation est donnée par :
( )
γφ
γφ
ε
−⋅
⋅⋅⋅
=
cos3
cossin
s
VcC
AB
&

dans laquelle Vc représente la vitesse de coupe, C est une constante caractérisant le matériau. Elle est insensible aux
conditions de coupe, et elle est calculée par une loi empirique issue des résultats expérimentaux :
nC⋅−






−⋅+= φ
π
θ
4
21tan

où n est l’indice du matériau présent dans la loi du comportement rhéologique.
Des considérations géométriques simples conduisent aussi à :
φ = θ − λ + γ


5
La température le long de AB est donnée par :
( )
P
ABAB
AB
C
TT

⋅⋅−⋅⋅
+=
ρ
εσβη
12
0

dans laquelle T
0
est la température initiale du matériau, C
P
est sa chaleur massique.
η
∈ [0, 1] traduit le fait que la déformation se poursuive au-delà de AB. Oxley pose
η
=0,7.
β
∈ [0,1] représente la fraction de chaleur passée dans la pièce. Les travaux de Boothroyd [13] donnent pour
β
:
( )
( )
φφβ
φφβ
tan10tanlog15,03,0
10tan04,0tanlog35,05,0
⋅<⋅⋅−=
<⋅<⋅⋅−=
TT
TT
RsiR
RsiR

avec R
T
est un nombre adimensionnel donné par :
κ
ρ sC
R
P
T
⋅∆⋅
=

avec
ρ
la masse volumique,
κ
la conductivité thermique du matériau et

son volume. Des formules simples pour C
P
et
κ

sont utilisées : C
P
= 420 + 0,504 T (°C) et
κ
= 45.48 – 0,0203 T (°C)

3.1.2 - Cisaillement secondaire :
En considérant que l’écrouissage du matériau est saturé (
ε
= 1) dans cette zone, on écrit :
ε
&

En considérant un profil de vitesses linéaire dans l’épaisseur de la bande de cisaillement secondaire
δ
l, on écrit la vitesse de
cisaillement
AC
ε
&
sous la forme :
( )
γφδ
φ
ε
−⋅⋅

=
cos3
sin
l
Vc
AC
&

La température à l’interface est alors prise égale à la moyenne le long de l’interface :
( )
m
P
ACAC
AC
T
C
TT ∆⋅Ψ+

⋅⋅−⋅
+=
ρ
εσβ12
0

Oxley pose
Ψ
= 0,7. Les travaux de Boothroyd donnent l’expression de T
M
par [13]:
Y
sR
Y
sR
l
T
T
TT
C
M
'
5,0
'
195,006,0log

⋅+

⋅−= δ

avec T
C
est une température moyenne calculée selon :
'3 sC
Y
T
P
AC
C
⋅⋅⋅

=
ρ
σ

La longueur de contact est obtenue en écrivant l’égalité des moments par rapport à la pointe de l’outil :






⋅⋅−






−⋅+⋅

⋅= nCsY
3
2
4
21
sincos
cos
φ
π
φµ
θ

La dernière inconnue
δ
l est déterminée à partir des équations d’équilibre en minimisant la contrainte d’écoulement dans la
zone de cisaillement secondaire et la puissance totale dissipée. C’est la principale difficulté que l’on rencontre lors de
l’utilisation du modèle thermomécanique d’Oxley.

3.2 - Modélisation du broutement :
Nous devons étudier la stabilité de la coupe durant une opération d’alésage. La figure 3.3 représente une broche d’alésage
munie d’un porte-outil et d’un outil usinant une pièce tenue en position sur la machine par un montage d’usinage. Les
vitesses d’avances de la table étant très faibles comparées aux vitesses de coupe, nous pouvons considérer que le
phénomène peut se ramener à l’étude des mouvements relatifs pièce/outil dans un plan P1 perpendiculaire à l’axe de la
broche. Le schéma fonctionnel d’un tel système sera le suivant : la broche et son porte-outil peuvent être assimilés à masse
ponctuelle pesante, situé dans le plan P1 et lié élastiquement à l’axe théorique de la broche d’alésage.

La figure 3.4 le plan P1 perpendiculaire à l’axe de la broche et passant par la pointe de l’outil. Le point O représente le
centre de l’alésage usiné. Le repère (a)
yxO
rr
est fixé dans le plan de figure, donc par rapport à la machine. Le point G est le
centre de gravité de l’oscillateur à deux degrés de liberté équivalent à l’ensemble broche/porte-outil. Le repère
tsG
r
r
est lié
à G et à la broche. Le repère (b’)
,,
tsO
r
r
est parallèle au repère (b) mais il est lié à O, trace dans le plan théorique de
rotation de la broche. Le point P, lié rigidement au repère
tsG
r
r
(b), représente la pointe de l’outil, sur laquelle s’exerce la
force tangentielle de coupe F
T
et l’effort radial de répulsion de coupe F
R
.

6
Au point G, centre de gravité de l’oscillateur, s’appliquent les forces de pesanteur,
ymg
r
⋅−
(a), la force d’amortissement
vC
r
⋅−
(b’), et la force du ressort de l’oscillateur équivalent à deux degrés de liberté. Cette force s’appliquera suivant la
direction OG. Le rayon théorique d’usinage sera r = GP.

Figure 3.3 : Broche d’alésage utilisée pour étudier le broutement Figure 3.4 : Outils, forces de coupe dans le plan P1

Le repère (c)
vuG
rr
est un repère intermédiaire servant à repérer les positions relatives de O et G. Les vitesses angulaires
sont :
● Rotation du repère (b) ou (b’) par rapport au repère (a) = w0 = vitesse de rotation de la broche.
● Rotation du repère (c) par rapport au repère (b) =
z
r
&
⋅β
.

3.2.1 - Mise en équations :
Nous allons étudier les mouvements de la pointe de l’outil en écrivant les équations de Lagrange du système [1]. Ces
équations seront au nombre de 2 et les coordonnées généralisées seront :
β
et
ρ
. L’équation de Lagrange s’écrit :
i
p
cc
Q
q
W
q
E
q
E
q
E
dt
d
=


+


+













&&

avec E
c
= Energie cinétique, E
p
= Energie potentielle, W = fonction de dissipation, Q
i
= force généralisée.
Energie cinétique du système :

22
0
2
1
2
1
VmIE
c
⋅⋅+= ϖ

Avec I = inertie du système broche/porte-outil, V = vitesse du point G par rapport au référentiel
yxO
rr
(a).
Or :
( )
2
0
222
ϖβρρ +⋅+=
&
&
V
, D’où l’énergie cinétique du système :
( )
[ ]
2
0
222
0
2
1
2
1
ϖβρρϖ +⋅+⋅⋅+=
&
&
mIE
c

Energie potentielle du système :
En négligeant l’effet du à la gravité, l’énergie potentielle s’écrit :
2
2
1
ρ⋅⋅=
pop
kE

avec k
po
est appelé rigidité de la machine au droit de l’outil.

Fonction de dissipation W :
La dissipation d’énergie du système est due à l’amortissement. La force d’amortissement F
w

sera le produit du coefficient d’amortissement C par la vitesse du point G par rapport au repère (b’), et non par rapport au
repère (a), puisque à
ρ
constant et si
β
est constant, la force d’amortissement est nulle.
222
βρρ
&
&
⋅+⋅= CF
w

et la fonction de dissipation sera :
( )
222
2
1
βρρ
&
&
⋅+⋅⋅= CW

Forces ne dérivant d’un potentiel :

● Puissance dissipée par l’effort tangentiel T : L’effort T est donné par la formule T = R sin
µ
issue du
modèle d’Oxley présenté dans le paragraphe précédent. Cette formule peut se mettre autrement sous la forme T = k
T
s
avec k
T
est donné par :
θφ
ϖµσ
cossin
sin

⋅⋅
=
AB
T
k

Soit T
0
la force tangentielle de coupe théorique quand les points G et O sont confondus. En fait, G va s’écarter de O sous
l’effet de la force de coupe, et T, force tangentielle réelle, sera, en régime dynamique, plus petite que T
0
. On a alors :

7
( )
βρ
cos
⋅−⋅=
skT
T

ou encore :
( )
tskT
T
r
r
⋅⋅−⋅−= βρ cos

La puissance dissipée par l’effort tangentielle devient :
pT
VTE
rr
&
⋅=
d’où :
( )
(
)
[
]
00
cossincos
ϖβϖβρβρβρ ⋅−+⋅+⋅⋅−=
rskE
TT
&
&
&

● Puissance dissipée par l’effort radial R : Un raisonnement analogue au précédent conduit à :
( )
sskR
T
r
r
⋅⋅−⋅⋅−= βρµ costan
et
PR
VRE
rr
&
⋅=

d’où :
( )
(
)
[
]
βϖβρβρβρµ sincoscostan
0
+⋅+⋅⋅−⋅⋅=
&
&
&
skE
TR

● Puissance dissipée par le couple d’entraînement Ct :
0
ϖ⋅=
CtE
E
&

Calcul des termes des équations de Lagrange :
● On aura pour l’expression de la force généralisée :
i
ERT
Q
q
E
q
E
q
E
=


+


+


&
&
&
&
&
&

d’où, pour les 2 coordonnées généralisées, on aura :
( ) ( )
( ) ( )
βµββρ
βµββρ
β
ρ
costansincos
costansincos
⋅−⋅⋅−⋅=
⋅+⋅⋅−⋅=
skQ
skQ
T
T

● Membre de gauche des équations de Lagrange :
( )
βρϖβρρ
β
ρ
ρ
&&&
&
&
&
&&
&
&
2
0
2 mm
E
dt
d
m
E
dt
d
c
c
++⋅=










⋅=











( )
βρ
βββ
ρ
ρ
ρ
ρ
ϖβρ
ρ
&
&
&
&
&
⋅⋅=


=


=


⋅=


⋅=


+=


2
2
0
00 C
WEE
C
W
k
E
m
E
PC
po
CC

d’où les équations de Lagrange du système (S) :
( )
( )( )
βµββρ
ρρϖβρρ
ρ
costansincos
)(
2
0
+−
=+++−
sk
Ckmm
T
po
&
&
&&

( )
( )( )
βµββρ
βρϖβρβρ
β
sintancoscos
2
)(
0
−−
=+++
sk
Cmm
T
&&&&


D’après la figure 3.5, l’épaisseur de coupe s peut être considérée comme étant composée de deux termes. Le premier terme
constant durant la coupe étant l’épaisseur de coupe moyenne sm, l’autre est l’épaisseur de coupe variable sv, donnée par
l’expression suivante : s=sm+sv=sm+dback+ys
où : dback représente l’amplitude des vibrations provenant du chemin précédent suivant s. Elles sont générées d’une façon
arbitraire. ys=
)cos(*
βρ
représente l’amplitude des vibrations provenant de la machine, suivant s, durant le chemin
actuel.

Figure 3.5 : Les différents genres de vibrations


8
4.0- Etude de la stabilité du système :

En régime permanent le système (S) montre l’existence d’une position d’équilibre stable correspondant aux conditions
suivantes :
00 ==== ββρρ
&&&
&&&
et

Le système (S) devient alors :
( )
( )( )
0000
0
2
00
costansincos
)(
βµββρ
ρρ
ρ
+−
=+−
sk
kwm
T
po

( )( )
0sintancoscos)(
0000
=−− βµββρβ
sk
T

Or,
00
cos
βρ
est la solution recherchée, et pratiquement dans la plus part des cas,
00
cos
βρ

<s
Donc d’après la deuxième équation :
µ
ββµβ
tan
1
tan0sintancos
000
=⇒=−

En portant cette valeur dans la première équation on trouve :
00
2
0
0
cossin)( ββ
ρ
tpo
t
kmwk
sk
+−

=


4.1- Etude des petits mouvements
Le système d'équations que nous avons à résoudre (S) est hautement non linéaire. Un traitement algébrique va donc
nécessiter une linéarisation du système.
Pour linéariser les équations, on peut les différencier. Après élimination des termes contenant un produit de deux termes
très petits et en remarquant que
β
&
est très petit devant w
0
, on obtient le système suivant :

0tan
2
)(
0
00
2
0
=∆+∆−∆+
∆+∆−∆−∆
ρµβρρ
ρβρρρ
ρ
tt
po
kkC
kwmmwm
&
&
&&

0)(
2
)(
2
00
000
=∆−+
∆+∆+∆
βρ
βρρβρ
β
mwk
Cmwm
po
&
&
&&

Passons dans le plan de Laplace et posons L(
ρ∆
)=R et L(
β∆
)=B on aura alors :
0)]([]2[
0]2[]tan[
2
0000
2
0
000
2
0
2
=−+⋅+⋅+⋅
=+⋅−−++⋅+⋅
BmwkCpmpRmwp
BkwmpRmwkkCpmp
po
ttpo
ρρρ
ρρµ

Pour que le système admette des solutions non triviales, il faut que son déterminant soit nul. Après avoir diviser par le
coefficient du terme en p
4
, on trouve l’équation caractéristique suivante :

0
234
=++++ EDpBpApp

avec :








−+−=+








−+=
+++==
m
w
m
k
m
k
mwkE
m
kw
m
w
m
k
m
k
CD
m
C
w
m
k
m
k
B
m
C
A
t
po
po
tt
po
t
po
2
0
22
2
0
0
2
0
22
2
2
2
0
tan
)(
22tan
2
2
tan
2
2
µµ
µ

D'après le critère de Routh, les conditions de stabilité d'un tel système s’écrivent :

A>0 B>0 D>0 E>0
Les termes de la première colonne du tableau de Routh doivent être strictement positifs.

Or, on voit que A est toujours > 0 car C, le coefficient d'amortissement, est toujours > 0.
B est toujours > 0 car il est une somme de termes positifs. Dans l'expression de D et E, on voit que
)(
2
0
mwk
po

est
toujours > 0, si on admet que la vitesse de rotation est inférieure à la vitesse critique de la broche. Donc D et E sont > 0.
Il nous reste donc à former le tableau de Routh :



9
1 B E
A D 0
A
DAB


E
DAB
EADAB

−−
2
)
(
0
E

Les conditions de stabilités sont :
AB-D >0
D(AB-D)-A
2
E >0

4.2- Etude de la stabilité dans le plan (k
t
, k
po
)
Nous nous contenterons d'étudier la stabilité de la coupe dans des conditions correspondant à la réalité physique. En
particulier, k
po
et k
t
étant toujours positifs, il suffira d'étudier la stabilité dans le premier quadrant du plan (k
t
, k
po
) [1]. On
voit que les conditions A>0 et B>0 sont toujours remplies dans ce premier quadrant.

La condition D>0 peut s’écrire :
)1(
2
tan
2
0
0
Lkmwk
C
mw
pot
<+






+−
µ

Cette condition est représentée par la droite (L1) du graphe de la figure 4.1 Toute la zone située au-dessus de la droite
correspond à un fonctionnement stable.

La condition E>0 s’écrit :
0
tan
)(
2
0
22
2
0
>








−+−
m
w
m
k
m
k
mwk
t
po
po
µ

ou bien que :
)2(0)(
2
0
Lmwk
po
>−

Cette zone de stabilité est représentée par la droite horizontale (L2). Toute la zone située au-dessus de la droite correspond
à un fonctionnement stable.

Pour AB-D >0 :
)3(3
2
tan
2
2
0
0
Lk
m
C
mwk
C
mw
pot
<−−







µ

Cette zone de stabilité est représentée par la droite horizontale (L3). Toute la zone située au-dessus de la droite correspond
à un fonctionnement stable. Pour D(AB-D)-A
2
E >0 :

)4(
2
2tan
)4(4
tan4
2
0
0
2
2
0
222
222
0
2
Lkmwk
C
mwC
mk
wmCC
Cwm
pott
<+






+









+
− µµ

Cette relation est représentée par une parabole qui passe par le point
),(
2
0
mwO
. On peut voir que si
µ
222
0
2
tan4 Cwm >
la concavité de la parabole est tournée vers le haut et la zone stable est située au-dessus de la
parabole. Si, au contraire,
µ
222
0
2
tan4 Cwm >
la concavité de la parabole est tournée vers le bas et pratiquement tout le
quadrant correspondra à un usinage stable. Le sommet de la parabole a pour coordonnées :

)tan2(
)4(
0
2
0
22
µCmwm
wmCC
k
to

+
=

et
)tan2(4
]tan8)tan2([
0
2
0
2
0
µ
µµ
Cmwm
wmCmwCC
k
po

++
−=



10
Cependant dans la pratique, on est toujours dans le cas de la parabole à concavité tournée vers le haut et la zone stable est
celle qui est hachurée sur la figure 4.1


Figure 4.1 Etude de la stabilité dans le plan (k
t
, k
po
)

4.3- Influence des différents paramètres sur la stabilité
Les différents paramètres qui représentent une influence remarquable sur la stabilité sont [16]:

4.3.1- Influence de l’amortissement
Si
o
32.52=µ
, l'ordonnée du sommet de la parabole croît en valeur absolue tout en restant négative. De plus, son
abscisse croît aussi. Trouvons la pente de la parabole au point
),(
2
0
mwO
. Pour cela, dérivons k
p
, par rapport à k
t
dans la
relation (L4) et faisons k
t
=0. On trouve :
C
mw
O
dk
dk
t
po
0
2
tan
)( −−=
µ

On voit donc que si C croît, la pente de la parabole au point
),(
2
0
mwO
diminue en valeur absolue. On voit alors qu'elle va
s'ouvrir et que le domaine de stabilité devient
2
0
,0 mwkk
pot
>>
; la coupe est donc pratiquement toujours stable.

4.3.2- Influence du frottement
Dans la pratique, D (BA - D) – A
2
E > 0 et 2mw
o
> C tan
µ
.. Donc, une augmentation de tan
µ
.

augmentera l'abscisse du
sommet de la parabole ainsi que son ordonnée. Par contre, la pente de la parabole au point
),(
2
0
wO
va augmenter. De ce
fait (fig. 4.1), la parabole du tan
µ
supérieur coupera la parabole du tan
µ
inférieur. Ainsi la zone de stabilité sera
augmentée pour les faibles valeurs de k
t
et k
po
. Et elle sera diminuée pour leurs valeurs élevées.

4.3.3- Influence de la rigidité dynamique de coupe k
t

II est bien évident qu'une diminution de la rigidité de coupe augmente, dons les cas pratiques, la stabilité, puisque cela
revient à déplacer le point représentatif de l'usinage vers la gauche du graphique de la figure 4.1. Pour diminuer k
t
on
pourra diminuer la résistance spécifique de coupe. Un métal tendre donnera moins tendance au broutage qu'un métal de
résistance élevée. On peut aussi augmenter l'épaisseur du copeau. Ce fait, d'apparence paradoxale, est pourtant démontré
dans la pratique. A longueur de coupe projetée constante on a plus tendance à avoir du broutage en finition qu'en ébauche.

4.3.4- Influence de la vitesse de rotation w
o

On peut voir que la courbure de la parabole à son sommet est donnée par :
)4(4
)tan4(
2
0
222
22
0
2
wmCC
Cwmm
+
− µ

On peut alors voir qu’en règle générale, le domaine de stabilité décroît si w
0
croit, car la courbure croît avec w
0
et aussi du
fait que la pente au point
),(
2
0
mwO
, croît en valeur absolue. La parabole se referme donc.


11
5.0 - Solution numérique du système :

Nous avons, pour le moment, adapté un modèle de coupe orthogonale à un modèle énergétique connu de broutement. Pour
le résoudre, nous avons utilisé le programme de Matlab de Mathworks Inc. qui utilise la méthode de Runge-Kutta [15].
Nous posons :
43
21
3
1
yy
yy
y
y
==
==
=
=
ββ
ρρ
β
ρ
&
&
&
&&
&
&&


On a alors un système de quatre équations différentielles non linéaires du premier ordre qui s’écrit :
( )
( )( )
( )
( )
34
444
2
303
2
1
3
12
444212
2
0321
sintancoscos2
costansincos
yy
yyy
y
s
m
k
y
m
C
y
y
y
y
yy
yyyys
m
k
y
m
C
y
m
k
yyy
T
T
po
=









−+−+−=
=
+−+−−+=
&
&
&
&
µϖ
µϖ

5.1-Application numérique :
Dans l’absence d’un banc d’essai relatif à notre travail, nous avons été contraint à choisir les conditions de coupe et les
paramètres structurels de la machine a partir de la littérature scientifique traitant ce problème. Deux exemples ont été ainsi
choisis [1, 13]:

● 1
er
exemple :
Paramètres de la
structure
m = 9,63 kg; C = 1,365
.
10
3
kg/s;
k
po
= 1,936
.
10
7
N/m
Paramètres de la
coupe
ω
0
= 52 rad/s;
γ
0
= 10°; s = 3 mm;
w= 0,5 mm; r=44 mm
Mpa
ab
780=σ

c=5.8 ; n=0.21


● 2
eme
exemple :
Paramètres de la
structure
m = 100 kg; C = 6,320
.
10
3
kg/s;
k
po
= 4,0
.
10
7
N/m
Paramètres de la
coupe
ω
0
= 65 rad/s;
γ
0
= 10°; s = 3 mm; w= 0,5 m
m
r=44 mm
Mpa
ab
780

; c=5.8 ; n=0.21

5.2 – Simulation et conclusion :
Les réponses à l’échelon de la matière sont présentées sur les figures suivantes. Plusieurs paramètres sont généralement
commentés : la fréquence de broutement, la durée de la période transitoire, l’angle de coupe
γ
et l’angle de frottement
µ
.
Bien sûr, une validation scientifique des résultats exigerait un travail théorique et expérimental (mesurer forces et
déplacements relatifs outil/pièce avec un appareillage ne modifiant pas les vibrations étudiées) que nous ne pouvons pas
l’intégrer complètement dans le cadre fixé par cet article. Nous devions ici répertorier les travaux existants, les classifier,
maîtriser le phénomène de broutement et essayer de le mettre en équations analytiques.
Notre modélisation doit être jugée en fonction de son pouvoir à prédire le broutement de l’outil, sa fréquence ainsi que sa
dynamique. Suivant cette vision, nos courbes, solution du système différentiel, ont été tracées avec deux cas de surfaces
initiales : la première est supposée non rugueuse (dback=0), alors qu’un état de surface rugueux aléatoire a été généré
artificiellement pour la deuxième (dback=random).
L’étude a permis de mettre en évidence la nécessité d’utiliser une loi de coupe dynamique par le fait que la durée des
périodes transitoires est devenue proche de la réalité. La figure 4.3 montre un exemple de modélisation traité dans [1] dont
la durée en question ne dépassait pas 0,03 secondes.
Les premières simulations montrent un niveau d’amplitude des vibrations assez adéquat avec les observations
expérimentales. Ceci constitue un point de plus relativement à certains modèles (figure 4.4) qui souffre d’un manque à ce
niveau, et même, avec des amplitudes qui tendent, parfois vers l’infini.
On peut, aussi, noter le chevauchement de plusieurs modes de vibrations sur certaines simulations (figure 4.2).

12


Figure 4.1 : Broutement sur une surface non rugueuse (exemple 1) et sur une surface rugueuse générée d’une façon
arbitraire (exemple 2)


Figure 4.2 : Broutement sur une surface non rugueuse (exemple 1) et sur une surface rugueuse générée d’une façon
arbitraire (exemple 2)


Figure 4.3 : Modèle PRUVOT :
Figure 4.4 : Modèle de Marui : Amplitude très exagérée pour
la durée transitoire est trop courte
un broutement classique

Quelques simulations ont aussi été effectuées pour valider le comportement du modèle pour l’angle de coupe
γ
et l’angle
de frottement
µ
. Les figures suivantes ont été réalisées avec différentes valeurs de l’angle de coupe, pour le même
matériau.
0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

x 10

-3

Mouvement : [Y] = f(t)

Temps

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

x 10

-5

Mouvement : RHO = f(t)

Temps

Rho


13


Figure 5.1: angle de coupe=0
0
Figure 5.3: angle de coupe=20
0


On remarque que l’amplitude du broutement garde la même allure, En revanche la valeur moyenne du broutement croit
continuellement en fonction de l’angle de coupe.



Figure 5.4 :
o
32.52=µ
Figure 5.6 :

o
64.38=µ


Finalement, Les figures ci-dessous représentent différentes valeurs de l’angle de frottement
µ
, pour le même matériau, et
en gardant l’angle de coupe constant (=10
o
). On remarque ici, que selon l’angle de frottement, on peut atteindre des
surfaces usinées avec des vibrations de plus en plus petites.




Figure 5.7 :
o
10=γ
et
o
32.52=µ

Figure 5.8 :
o
10=γ
et
o
67.37=µ



14
BIBLIOGRAPHIE :
[1] F. Pruvot : Conception et calcul des machines-outils, Les broches. Etudes dynamiques. Volume 3. Presses
Polytechniques et Universitaires Romandes, Lausanne, 1993.
[2] S. Chen : Caractérisation de la dynamique de coupe en usinage. Thèse de Doctorat, UTC, Compiègne, France, 1996.
[3] D.W. Wu, C.R. Liu: An analytical model of cutting dynamics. Part 1 : Model Building. ASME, Journal of Engineering
for Industry, vol. 107, pp107-111, 1985.
[4] D.W. Wu, C.R. Liu : An analytical model of cutting dynamics. Part 2 : Model Building. ASME, Journal of
Engineering for Industry, vol. 107, pp112-118, 1985.
[5] S. Kato, E, Marui : On the cause of regenerative chatter due to workpiece deflection. ASME, Journal of Engineering
for Industry, pp179-186, 1974.
[6] R.J. Szakovits, A.F. D’Souza : Metal cutting dynamics with reference to primary chatter. ASME, Journal of
Engineering for Industry, pp112-118, Feb. 1985.
[7] K.F. Eman, K.J. Kim : Modal analysis of machine tool structures based on experimental data. ASME, Journal of
Engineering for Industry, vol. 105, pp 282-287, 1983.
[8] E. Marui, S. Kato, M. Hashimoto, T. Yameda : The mechanism of chatter vibration in a spindle-workpiece system.
Part 1 : Properties of self-excited catter vibration in spindle-workpiece system. ASME, Journal of Engineering for
Industry, vol. 110, pp236-241, 1988.
[9] E. Marui, S. Kato, M. Hashimoto, T. Yameda : The mechanism of chatter vibration in a spindle-workpiece system.
Part 2 : Caracteristics of dynamic cutting force and vibration energy. ASME, Journal of Engineering for Industry, vol.
110, pp242-247, 1988.
[10] E. Marui, S. Kato, M. Hashimoto, T. Yameda : The mechanism of chatter vibration in a spindle-workpiece system.
Part 3 : Analytical considerations. ASME, Journal of Engineering for Industry, vol. 110, pp248-254, 1988.
[11] P.L.B. Oxley, W. Hastings and P. Mathew: A machining theory for predicting chip geometry, cutting forces etc.,
from work material properties and cutting conditions. Proc. R. Soc. London A371, pp 569-587. 1980.
[12] Y. S. Trang, H.T. Young and B.Y. Lee: An analytical model of chatter vibration in metal cutting. Int. Jour. Mach.
Tools Manuf., vol. 34, pp 183-197, 1994.
[13] K. Dekelbab : Modélisation et simulation du comportement dynamique de l'ensemble pièce/outil/machine en usinage
par outil coupant. Thèse de doctorat, ENSAM, Paris, France, 1995.
[14] D. Francois, A. Pineau, A. Zaoui : Comportement mécanique des matériaux. Editions Hermès, Paris, 1995.
[15] J. Rappaz, M. Picasso : Introduction à l'analyse numérique. Presses Polytechniques et Universitaires Romandes,
Lausanne, 1998.
[16] G. F. Moraru : Etude du comportement du système "pièce-outil-machine" en régime de coupe vibratoire. Thèse de
doctorat, ENSAM, Paris, 2002.