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CSMA 2011

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e
Colloque National en Calcul des Structures

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-
13 mai 2011, Presqu’île de Giens (Var)

Modélisation semi-analytique de l’impact à vitesse modérée de plaques
composites avec des conditions aux limites générale s
S. Mavel, C. Marechal, H. Naceur, F. Lauro

LAMIH, Equipe Crash Confort & Sécurité, Université de Valenciennes,
sebastien.mavel@univ-valenciennes.fr


Abstract —Une solution exacte basée sur les séries de Fourie r pour la modélisation de l'impact de
plaques composites multicouches avec des conditions aux limites (CL) générales est présentée. Les
équations gouvernantes qui permettent de décrire la réponse transitoire élastique de plaques stratifiées
orthotropes avec prise en compte d’une loi non linéaire de contact hertzien sont développées en utilis ant
un schéma de discrétisation temporelle implicite. L e système d'équations non linéaires résultant est
résolu à chaque pas de temps en utilisant l'algorit hme de Newton-Raphson. Pour les CL générales, la
solution en séries de Fourier est complétée par une série mixte de polynômes-cosinus, qui permet
d’aboutir à la solution tout en permettant à la sér ie de satisfaire les équations d’équilibre ainsi qu e les
CL de façon exacte. Les solutions obtenues par cett e méthode sont en bon accord avec les résultats de
référence de plaques composites multicouches impact ées par de projectiles.
Keywords — Plaque composites multicouches, impact, force de contact, séries de Fourier.
1 Introduction
Les plaques composites multicouches sont connues pour être sensibles aux dommages résultants de
chocs accidentels par des corps étrangers. Nombreux exemples d’impacts posent encore un problème de
grande préoccupation pour les concepteurs, on peut citer l’impact d’oiseaux contre la structure d'avion,
la chute d’outils en atelier, la chute de grêlons, projection de débris provenant de véhicules en
circulation... La réponse d'impact n'est pas seulement fonction des propriétés du matériau, mais elle
dépend aussi du comportement dynamique de la plaque composite impactée. Il devient alors important
de comprendre la réponse structurale afin d’étudier la manière dont la structure sera affectée par les
différents paramètres. A cet égard, des modèles ana lytiques sont utiles pour permettre des études
paramétriques rapides pour les prévisions des domma ges liés à l’impact.
Dans la littérature, on trouve de nombreux travaux de recherche sur la modélisation numérique de
l’impact de plaques composites par des projectiles, cependant les solutions analytiques restent limitées
[1]. Sun et al. [2] ont utilisé la théorie de Mindlin pour la prise en compte du cisaillement transversal
qui a été développée par Whitney et al. [3] pour l’analyse de plaques orthotropes soumises à des
impacts. Qian et Swanson [4] ont adopté la méthode de Rayleigh-Ritz afin d’o btenir une solution
approchée de l’impact de plaques rectangulaires enc astrées. En se basant sur les techniques de la
transformée de Laplace, Christoforou et Swanson [5] ont réussi à obtenir une solution analytique av ec
l’hypothèse de linéarisation de la loi de contact e ntre la force et l’indentation. Li [6] a développé une
extension de la solution en séries de Fourier pour le cas de vibrations libres de poutres avec des CL
générales. Cette méthode est une combinaison linéai re de la série de Fourier et d’une fonction
polynomiale auxiliaire qui permet de tenir compte des discontinuités du déplacement aux bords. Plus
récemment, Li [6] [7] introduisit une seconde amélioration pour le ca s général de vibration de plaques.
Dans ce travail, nous proposons une extension de la méthode proposée par Li [7], afin de développer
un modèle robuste et rapide pour l’analyse d’impact de plaques composites multicouches avec des CL
générales. Les premières solutions obtenues par not re modèle sont en bon accord avec les résultats de
référence de plaques composites multicouches soumis es à des impacts de projectiles. L'efficacité du
modèle est en outre démontrée en comparant l’évolut ion de la force d’impact avec celle obtenue en
utilisant le logiciel éléments finis LS-DYNA.

2
2 Modélisation d’impact de plaque composite par une b alle d'acier
L'exemple académique choisi pour mettre en évidence la technique proposée est celui proposé par
Qian et Swanson [4]. Il s’agit de l'impact d'une plaque stratifiée composée d’un empilement de dix
couches de carbone-epoxy T300/934, par une balle d'acier. Les propriétés du matériau et de la
géométrie de la plaque, ainsi que les conditions d'impact, sont résumées dans la Table 1.
Tab. 1 – Données du problème
Plaque
[0,90,0,90,0]
sym
T300/934 carbone-epoxy
Taille : 200x200x2.69 mm
Paramètres matériau: E
11
=120 GPa, E
22
=7.9 GPa, G
12
=G
23
=G
13
=5.5 GPa
u
12
=u
23
=0.30, r=1580 kg/m
3

Impacteur
Balle en acier : E=210 GPa, u=0.30, r=7960 kg/m
3

Diamètre : 25.4 mm
Masse : 8.537 g ￿ Epaisseur : 0.552864 mm
Vitesse d’impact: 3 m/s
Rigidité du contact de Hertz : k
h
=26544.15 N/mm
3/2

La solution analytique obtenue par notre modèle est en bon accord avec les résultats de référence
ainsi qu’avec la solution que nous avons obtenu par le logiciel LS-DYNA.



FIG. 1 – Evolution de la force d’impact FIG. 2 – Evolution de la vitesse du projectile

Références
[1] Abrate, S., Impact on Composite Structures, Cambridge University Press, 1998.
[2] Sun, C.T. and Chattopadhyay, S. "Dynamic Response of Anisotropic Laminated Plates under Initial Stress to
Impact of a Mass", Journal of Applied Mechanics, Vol. 42, No. 5, pp. 693–698, 1975.
[3] Whitney, M. and Pagano, N. J., "Shear Deformation in Heterogeneous Anisotropic Plates", Journal of Applied
Mechanics, Vol. 37, pp. 1031-1036, 1970
[4] Yibo Qian & Stephen R. Swanson, "A Comparison of Solution Techniques for Impact Response of Composite
Plates", Composite Structures 14 (1990) 177-192
[5] Christoforou, A. P. and Swanson, S. R., "Analysis of Impact Response in Composite Plates", International
Journal of Solids and Structures, Vol. 27, No. 2, pp. 161-170, 1991.
[6] W.L. Li, "Free Vibrations of Beams with General Boundary Conditions", Journal of Sound and Vibration
(2000) 237(4), 709-725
[7] W. L. Li, "Vibration analysis of rectangular plates with general elastic boundary supports", Journal of Sound
and Vibration, Volume 273, Issue 3, 7 June 2004, Pages 619-635