Modélisation d'un problème de transports publics en milieu ...

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14 Ιουλ 2012 (πριν από 4 χρόνια και 11 μήνες)

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Modélisation d’un problème de transports publics en
milieu urbain:couplage d’un flot entier et d’un
multiflot fractionnaire
Alain QUILLIOT Loïc YON
{alain.quilliot,loic.yon}@isima.fr
LIMOS,UMR 6158 - CNRS
Université Blaise Pascal
Clermont-Ferrand - France
FRANCORO 2004 - 18/21 août
Introduction
Problèmes connexes
Problème
Conclusion
Introduction
Modélisation de problèmes de transport
Configuration d’une offre de transport d’une compagnie de bus
dans un réseau urbain
￿
coût pour la compagnie
￿
satisfaction des passagers
Alain QUILLIOT,Loïc YON
FRANCORO 2004 - Tournées de bus 1/20
Introduction
Problèmes connexes
Problème
Conclusion
Plan de l’exposé
Introduction
Problèmes connexes
Problème de Tournées de Véhicules
Problème de conception de réseaux
Problème
Modèle linéaire
Résolution
Décomposition hiérarchique
Problème auxiliaire
Conclusion
Expérimentations numériques
Perspectives
Alain QUILLIOT,Loïc YON
FRANCORO 2004 - Tournées de bus 2/20
Introduction
Problèmes connexes
Problème
Conclusion
Transports publics
Tournées:
￿
forme,durée,contraintes
sociales ou syndicales
￿
flotte hétérogène:
capacité,autonomie
￿
zones:
politiques,commerciales
￿
fréquences
Qualité de service:
￿
demande
￿
temps de trajet
￿
fréquence
￿
prix
Alain QUILLIOT,Loïc YON
FRANCORO 2004 - Tournées de bus 3/20
Introduction
Problèmes connexes
Problème
Conclusion
Problème de Tournées de Véhicules
Problème de conception de réseaux
Problème du ramassage scolaire
School Bus Routing Problem
￿"Fournir un service public à des élèves que l’on doit transporter
du domicile à l’école"
￿
service équitable
￿
service efficace
￿
coûts minimaux
A Multiobjective Optimization Approach to Urban School Routing:Formulation and
Solution Method,BOWERMAN,HALL,CALAMAI,Transportation Research,1995
A Computerized Approach to the New-York City School Bus Routing Problem,
BRACA,BRAMEL,POSNER,SIMCHI-LEVI,IIE Transactions,1997
Decision-aid Methodology for the School Bus Routing and Scheduling Problem,
SPADA,BIERLAIRE,LIEBLING,3rd STRC,2003
Alain QUILLIOT,Loïc YON
FRANCORO 2004 - Tournées de bus 4/20
Introduction
Problèmes connexes
Problème
Conclusion
Problème de Tournées de Véhicules
Problème de conception de réseaux
Problème du transport à la demande
Dial-a-Ride Problem
￿"Déterminer des tournées et des horaires de véhicules pour
déposer ou emporter des personnes et/ou des marchandises
(Ex:transport de malades ou de personnes à mobilité réduite)
￿
meilleur service possible
￿
coûts minimaux
(extension du PDVRP/VRPTW)
The Dial-a-Ride Problem:Variants,Modeling Issues and Algorithms,
CORDEAU,LAPORTE,4-OR,2003
Alain QUILLIOT,Loïc YON
FRANCORO 2004 - Tournées de bus 5/20
Introduction
Problèmes connexes
Problème
Conclusion
Problème de Tournées de Véhicules
Problème de conception de réseaux
Problème avec capacité et affectation de flot
Network design:Capacity & Flow Assignment Problem
￿"Concevoir la topologie pour un réseau de télécommunication
par paquets et contraintes de qualité de service"
￿
contraintes de capacités
￿
coûts minimaux
compromis entre coûts d’investissement et congestion
Minimum Cost Capacity Installation for Multicommodity Network Flows,
BIENSTOCK,CHOPRA,GÜNLÜCK,TSAI,Mathematical Programming,1998
Capacity and Flow assignment of data networks by generalized Benders decomposition,
MAHEY,BENCHAKROUN,BOYER,Journal of Global Optimization,2001
Alain QUILLIOT,Loïc YON
FRANCORO 2004 - Tournées de bus 6/20
Introduction
Problèmes connexes
Problème
Conclusion
Modèle linéaire
Résolution
Décomposition hiérarchique
Problème auxiliaire
Comportement des passagers
mode PCC
mode réaliste
Alain QUILLIOT,Loïc YON
FRANCORO 2004 - Tournées de bus 7/20
Introduction
Problèmes connexes
Problème
Conclusion
Modèle linéaire
Résolution
Décomposition hiérarchique
Problème auxiliaire
Notations
G = (V,E) graphe orienté représentatif d’un réseau urbain
E = A∪
A où A est un ensemble d’arcs rapides
F flot entier
f multiflot fractionnaire
Sum(f ) =
￿
e∈E
f
e
(c
e
),(p
e
) coûts
(MAX
e
),(C
k
min
e
),(C
k
max
e
) capacités
o
k
,d
k
,D
k
pour chaque commodité
b
k
v
pour la conservation du flot
Alain QUILLIOT,Loïc YON
FRANCORO 2004 - Tournées de bus 8/20
Introduction
Problèmes connexes
Problème
Conclusion
Modèle linéaire
Résolution
Décomposition hiérarchique
Problème auxiliaire
CFEMF:couplage flot entier/multiflot fractionnaire
minimiser c.F +p.Sum(f )
sous les contraintes
F ≤ MAX
(1)
￿
e∈ω

(v)
F
e

￿
e∈ω
+
(v)
F
e
= 0 ∀v ∈ V
(2)
￿
e∈ω

(v)
f
k
e

￿
e∈ω
+
(v)
f
k
e
= 0 ∀v ∈ V,∀k ∈ K
(3)
C
min
≤ f ≤ C
max
(4)
Sum(f )
e
≤ F
e
∀e ∈ A
(5)
F ∈ N,f ∈ R
+
(6)
ou
￿
e∈ω

(v)
f
k
e

￿
e∈ω
+
(v)
f
k
e
= b
k
v
∀v ∈ V,∀k ∈ K
(7)
Alain QUILLIOT,Loïc YON
FRANCORO 2004 - Tournées de bus 9/20
Introduction
Problèmes connexes
Problème
Conclusion
Modèle linéaire
Résolution
Décomposition hiérarchique
Problème auxiliaire
Application
K commodités (o
k
,d
k
,D
k
,t
k
f
,L
k
f
)
￿
D
k
:demande
￿
t
k
f
:heure maximale d’arrivée à destination
￿
L
k
f
:temps maximal de trajet
1 depôt:chaque tournée débute et se termine au dépôt
flotte homogène de véhicules
graphe dynamique avec discrétisation temporelle
0 −→ N.δ
Alain QUILLIOT,Loïc YON
FRANCORO 2004 - Tournées de bus 10/20
Introduction
Problèmes connexes
Problème
Conclusion
Modèle linéaire
Résolution
Décomposition hiérarchique
Problème auxiliaire
Plusieurs approches
NP-difficile
￿
relaxations Lagrangiennes (contraintes de flot,contraintes de
couplage)
￿
décomposition hiérarchique (Benders)
￿
métaheuristiques (GRASP,Tabou)
⇒ Toutes les méthodes (sauf les métaheuristiques) conduisent au
même problème P-aux
Alain QUILLIOT,Loïc YON
FRANCORO 2004 - Tournées de bus 11/20
Introduction
Problèmes connexes
Problème
Conclusion
Modèle linéaire
Résolution
Décomposition hiérarchique
Problème auxiliaire
Problème auxiliaire:P-aux(λ,f)
minimiser λ.￿Sum(f )￿ +p.Sum(f )
sous les contraintes
C
min
≤ f ≤ C
max
(8)
￿
e∈ω

(v)
f
k
e

￿
e∈ω
+
(v)
f
k
e
= b
k
v
∀v ∈ V,∀k ∈ K
(9)
f ∈ R
+
(10)
Alain QUILLIOT,Loïc YON
FRANCORO 2004 - Tournées de bus 12/20
Introduction
Problèmes connexes
Problème
Conclusion
Modèle linéaire
Résolution
Décomposition hiérarchique
Problème auxiliaire
Décomposition de Benders
Objet maître:le flot agrégé Sum(f )
Objet esclave:le flot entier F
Problème esclave:
(f fixé)
minc.F
F ∈ R
￿Sum(f )
e
￿ ≤ F
e
Problème maître:
minZ
coupes:Z ≥ p.Sum(f ) +λ
i
￿Sum(f )￿,∀i
Alain QUILLIOT,Loïc YON
FRANCORO 2004 - Tournées de bus 13/20
Introduction
Problèmes connexes
Problème
Conclusion
Modèle linéaire
Résolution
Décomposition hiérarchique
Problème auxiliaire
Heuristique
Initialisation:F et f réalisables
Stop ←faux
tant que not (Stop) faire
Résoudre Problème Esclave (CFEMF
f
)
Extraire valeurs duales λ
i
(contraintes de couplage)
Evaluer Z = c.F +p.Sum(f )
Résoudre|améliorer P-aux(λ
∗i
)
si f est inchangé OU Z pas amélioré alors Stop ←vrai
fin tant que
Différents choix de λ

:
λ
∗i
= λ
i
λ
∗i
=
1
i
￿
j
λ
j
λ
∗i
= max(λ
i

i ∗
)
Alain QUILLIOT,Loïc YON
FRANCORO 2004 - Tournées de bus 14/20
Introduction
Problèmes connexes
Problème
Conclusion
Modèle linéaire
Résolution
Décomposition hiérarchique
Problème auxiliaire
Problème auxiliaire
min λ.￿Sum(f )￿ +p.Sum(f )
C
min
≤ f ≤ C
max
￿
e∈ω

(v)
f
k
e

￿
e∈ω
+
(v)
f
k
e
= b
k
v
NP-difficile (problème de localisation)
Cas particulier:
f est un flot simple
(ou toutes les composantes de f peuvent être traitées séparément)
résolution en trouvant un cycle de coût négatif améliorant dans le
graphe d’écart:negative cycle canceling (CYGEN)
Alain QUILLIOT,Loïc YON
FRANCORO 2004 - Tournées de bus 15/20
Introduction
Problèmes connexes
Problème
Conclusion
Modèle linéaire
Résolution
Décomposition hiérarchique
Problème auxiliaire
Multiflot agrégé
f →Sum(f )
f
???
←Sum(f )
Application aux transports:beaucoup de commodités
D
k
est petit devant la demande totale
Hypothèse:chaque composante de f est un flot routé par un
chemin
(G doit être fortement connexe)
Alain QUILLIOT,Loïc YON
FRANCORO 2004 - Tournées de bus 16/20
Introduction
Problèmes connexes
Problème
Conclusion
Modèle linéaire
Résolution
Décomposition hiérarchique
Problème auxiliaire
Coupes métriques
Etant donné Z ⊂ V,OD(Z) = {k ∈ K/o
k
∈ Z et d
k
/∈ Z}
∀Z ⊂ V,
￿
e∈ω
+
(Z)
g
e

￿
k∈OD(Z)
D
k
￿
conditions nécessaires pour Sum(f ) →f
￿
coupes réinjectées dans le schéma de résolution
On feasibility conditions of multicommodity flows in networks,ONAGA,KALUSHO,
IEEE Transactions on Circuit Theory,1971
Alain QUILLIOT,Loïc YON
FRANCORO 2004 - Tournées de bus 17/20
Introduction
Problèmes connexes
Problème
Conclusion
Expérimentations numériques
Perspectives
Expérimentations numériques
Instances de 4 à 20 sommets,10 à 92 arcs,2 à 72 commodités.
￿
Schéma de Benders:95% à l’optimum (itérations limitées)
￿
Schéma approximatif:
￿
λ-moyen:85% à l’optimum (convergence lente)
￿
λ-max:75% à l’optimum (arrêt trop rapide)
Heuristique par reconstruction de chemins:dégradation
supplémentaire
Alain QUILLIOT,Loïc YON
FRANCORO 2004 - Tournées de bus 18/20
Introduction
Problèmes connexes
Problème
Conclusion
Expérimentations numériques
Perspectives
Conclusion & Perspectives
￿
tester des instances"réalistes"
￿
amélioration de CYGEN
￿
intégration des comportements passagers plus complexes,
demande élastique
Alain QUILLIOT,Loïc YON
FRANCORO 2004 - Tournées de bus 19/20
Introduction
Problèmes connexes
Problème
Conclusion
Expérimentations numériques
Perspectives
Clermont-Ferrand
Nœuds 92
Arcs 304
Commodités 992
Alain QUILLIOT,Loïc YON
FRANCORO 2004 - Tournées de bus 20/20
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92