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26 Οκτ 2013 (πριν από 3 χρόνια και 10 μήνες)

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￿
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 ￿   ￿          ￿

        ￿      ￿  
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￿￿￿ ￿￿￿￿      ￿￿￿      ￿
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       ￿     
        
  ￿       ￿￿￿  ￿
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      ￿  ￿￿￿￿ ￿￿￿￿
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              ￿
           
             
     ￿  ￿      
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           ￿  
      ￿          
   ￿￿￿￿       ￿ 
             
         ￿
￿  ￿￿￿￿￿    ￿        
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  ￿           ￿
       ￿     ￿   
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   ￿
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        ￿￿￿         
     ￿￿  ￿   
              
   ￿      ￿
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 ￿￿￿￿ ￿￿￿          
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    ￿￿￿￿        ￿  ￿￿￿￿￿
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           
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 ￿ ￿          
           
   ￿       
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                  
 ￿        
       ￿   ￿
          ￿   ￿ 
￿            
              
   ￿      
 ￿￿            
 ￿             ￿
        ￿        
           
       ￿  ￿
￿         ￿￿￿     
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         ￿   
        ￿
   ￿    
  ￿    
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  ￿       
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  ￿￿    ￿    
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         ￿   ￿   
        ￿   ￿  ￿    
             
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          ￿
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           ￿
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      ￿         ￿
                  
￿     ￿         ￿
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                   
            ￿    ￿ ￿
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￿ ￿  ￿      ￿
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￿ ￿   


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             
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  

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          ￿￿￿￿
   ￿          
           ￿  
  ￿          
 ￿  ￿ ￿      ￿        ￿
         ￿ 
￿        ￿ ￿
￿  ￿ ￿￿￿        ￿ 
           
 ￿   ￿￿￿￿       
             ￿
            ￿
  ￿           
 ￿   ￿￿￿￿          
           ￿
  ￿         
    ￿   ￿￿     
            ￿ 
￿     ￿     
            ￿
   ￿         
         ￿   ￿
          ￿
  ￿       
   ￿        ￿
           ￿
           
   ￿    ￿     ￿
  ￿ ￿￿￿￿￿    ￿       
          ￿   
    ￿       
      ￿   ￿   ￿  
        ￿   
 ￿            
￿ ￿    ￿   
  ￿             
       ￿￿￿￿￿  ￿    
    ￿￿
2.THE MAIN RESULTS
  ￿     ￿￿￿     
    ￿  ￿￿￿ ￿￿￿￿    ￿
          ￿ ￿ ￿ 
 ￿ 

￿ ￿ ￿ ￿      ￿  ￿￿￿￿ ￿ 
   ￿￿￿   ￿   ￿￿￿  
     

￿

￿ ￿
￿

 ￿￿
￿


 ￿ ￿ ￿ 
￿ ￿￿￿
  ￿          
   
￿
￿             
  ￿￿￿ ￿￿￿

 ￿￿
 

￿ 
￿

 ￿ ￿ ￿  ￿ ￿￿
2.1 The computation of the first two moments
of


and the throughput
           
             
 ￿
  ￿￿  ￿ ￿ ￿ ￿ ￿ 

￿       
       ￿  ￿ ￿  ￿ 


 ￿ 
￿    
      


￿ ￿
 ￿ ￿￿
￿ ￿
 ￿ 
￿

￿ ￿
￿
￿ ￿￿ ￿ ￿ ￿
￿￿￿
 ￿￿ 
￿

￿
￿
￿ ￿
￿
￿
￿ ￿ ￿
￿
￿  ￿￿￿ ￿ ￿
￿

 ￿￿
￿

 ￿  ￿￿ ￿￿￿
 ￿    ￿￿￿  ￿￿￿￿     
￿￿￿    ￿
 ￿ 
￿

￿ ￿ ￿
￿

 ￿￿
￿

 ￿ 
 ￿ ￿ ￿ 
￿ ￿
￿
￿
￿

 ￿￿
￿

￿
￿
￿ ￿￿ ￿ ￿ ￿
 ￿   
 ￿￿ 
￿

￿
￿
￿ ￿  ￿ ￿
￿

 ￿￿
￿


 ￿ ￿ ￿ 
￿
￿

 ￿￿
￿


 ￿ ￿ ￿ 
￿
￿ ￿
￿
 ￿
￿

 ￿￿


 ￿￿
￿


 ￿ ￿ ￿ 
￿
 ￿ 

 ￿ ￿ ￿  ￿ 
￿
￿ ￿
￿
￿

 ￿￿


 ￿￿
￿

 ￿ 
 ￿ ￿ ￿ 

 ￿ ￿ ￿  ￿ 
￿
￿ ￿
￿
￿

 ￿￿
￿

￿
 ￿￿￿ ￿ ￿


 ￿￿
 ￿￿  ￿ ￿  ￿ ￿  ￿
￿


 ￿￿
 ￿￿  ￿ ￿￿ ￿  ￿ ￿  ￿ ￿ ￿
￿           
 ￿￿ 
￿

￿
￿
￿ ￿ ￿
￿
 ￿￿￿
￿

 ￿￿
￿
￿ 
￿ ￿ ￿
￿
￿

 ￿￿
 ￿  ￿ ￿

￿

 ￿￿
￿
￿ 
￿
￿
￿
￿ ￿ ￿
￿
￿  ￿￿￿ ￿ ￿
￿

 ￿￿
￿

 ￿  ￿￿ ￿ ￿
 ￿￿         ￿￿￿   
       ￿          
                 ￿￿￿￿
 ￿￿          ￿
  ￿ 
￿

￿              ￿
             ￿
￿      ￿￿￿     
    ￿         

 ￿ 
 ￿￿
￿



￿
 ￿  ￿ ￿
         
 
        ￿ ￿   
 ￿  ￿ ￿     ￿ ￿     ￿  
     ￿ ￿
  ￿￿       
 ￿ ￿￿ ￿
￿
￿
 ￿￿￿ ￿
￿

 ￿￿
￿

 ￿  ￿￿ ￿￿￿
 ￿
         
  ￿  ￿  ￿￿       ￿     ￿  ￿  ￿￿
           ￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿
￿￿￿
 ￿  ￿  ￿￿ ￿ ￿
￿
￿


￿
￿
 ￿  ￿  ￿ ￿￿￿
 
￿
￿ ￿ ￿          ￿
￿   ￿ 
￿
 
￿
￿ ￿  ￿ ￿ ￿     
￿￿￿   ￿￿￿￿    
 ￿  ￿  ￿￿ ￿ ￿
￿
￿


￿
￿
￿ ￿ 
￿
￿ ￿ ￿  ￿ ￿ ￿
￿
￿ ￿ 
￿

￿
￿
￿
￿

￿
￿
￿
￿ ￿
￿
￿ ￿￿
￿

 ￿￿
￿


￿ ￿ ￿ 

￿
￿ ￿
￿￿
￿

￿
￿ 
￿
￿
￿
￿ ￿￿
￿

 ￿￿
￿
 ￿￿
 ￿  ￿ ￿￿ ￿
￿￿
￿
 ￿￿￿
￿ ￿￿ ￿
￿
￿
 ￿￿￿ ￿
￿

 ￿￿
￿

 ￿  ￿￿ ￿
 ￿￿        ￿  ￿ ￿  ￿  ￿ ￿
 ￿ 

￿
￿
            ￿  ￿ ￿ ￿
  ￿￿￿  ￿￿￿    
 ￿￿ 
￿

￿
￿
￿ ￿
￿
￿
￿ ￿ ￿
￿
￿  ￿￿￿ ￿ ￿
￿

 ￿￿
￿

 ￿  ￿￿ ￿
￿
￿
￿
￿
￿￿ ￿ ￿ ￿
￿
￿
 ￿ ￿￿ ￿
￿
￿
 ￿￿￿ ￿
￿

 ￿￿
￿

 ￿  ￿￿ ￿
￿ ￿￿ ￿ ￿ ￿
￿ ￿ ￿￿ ￿ ￿ ￿
￿
            ￿
         ￿     
            
              
 ￿        ￿    
             
  ￿ ￿  ￿  ￿          
         ￿   ￿  ￿
               ￿    

 ￿ 
 ￿￿
 ￿  ￿
 ￿  ￿
￿ 
 ￿￿
￿


￿
 ￿ ￿ ￿ ￿
￿
￿

￿
￿


￿ ￿￿￿
         ￿￿￿    
    ￿         
     ￿ ￿ ￿  ￿
  ￿
￿
 ￿  ￿ ￿  ￿  ￿ ￿
￿
￿  
￿￿￿  ￿ ￿ ￿ ￿ ￿   
￿
￿ ￿   
 ￿
￿
  






￿
￿
￿
 ￿￿￿ ￿
￿

 ￿￿
￿

￿
 ￿  ￿ ￿
   ￿￿  ￿      
￿
 ￿  ￿ ￿
 ￿  ￿ ￿
￿
￿  ￿  ￿  ￿   ￿￿    
       
 ￿
￿
  






￿ ￿ ￿
￿￿￿ ￿ ￿ ￿
￿
￿
￿
￿
 ￿￿￿ ￿
￿

 ￿￿
￿

￿
 ￿  ￿ ￿ ￿￿￿
            ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿
           
               
 ￿        ￿ 
￿         ￿
 ￿￿    ￿￿￿        
              

 ￿
￿ ￿￿ ￿ ￿
￿
￿
￿ ￿
 ￿￿ 
￿

￿
￿
￿ ￿
2.2 Examples of loss process
            
   ￿
2.2.1 IID randomlosses (General Renewal Process)
￿               ￿
 ￿     

￿  ￿ ￿￿￿￿ ￿ ￿ ￿ ￿ ￿ ￿ ￿ ￿￿￿  ￿￿￿ ￿
  ￿     ￿￿￿￿ ￿￿￿  ￿￿￿   
  ￿
  ￿￿   


￿ ￿
 ￿ ￿￿
  ￿￿￿   ￿￿  ￿ 

￿
 
￿￿￿
￿￿  ￿ 
￿

￿ ￿ ￿
 ￿ 
￿

￿ ￿
￿
￿ ￿ ￿
￿
 ￿￿ 
￿

￿
￿
￿ ￿
￿
￿
￿ ￿ ￿
￿
￿ 
￿￿￿
￿
￿ ￿ 
￿
￿ ￿ ￿
￿ ￿
 ￿  ￿  ￿  ￿￿ ￿
￿

￿
￿
￿

￿￿￿
￿
￿ 
￿
￿ ￿ ￿
￿ ￿ ￿￿￿
 ￿    ￿      ￿
￿     
 ￿
￿
￿ ￿ ￿
￿ ￿￿￿￿
  ￿ ￿ ￿ ￿ ￿ ￿         ￿
   ￿￿￿￿￿    ￿   ￿
  
 ￿
￿ ￿ ￿
￿￿￿ ￿ ￿ ￿
￿ ￿￿￿￿
    ￿￿￿    ￿￿￿￿  ￿
  ￿    ￿ ￿ ￿   
￿
￿ ￿     ￿ ￿ ￿ ￿ ￿ 
          ￿￿￿￿
￿￿￿ ￿￿￿
 ￿
￿
  

￿
￿ 
￿ ￿￿￿￿
             ￿ 
       ￿￿￿ 
￿
 ￿  ￿ ￿ ￿   
      ￿ ￿
 ￿￿      ￿￿￿        
      ￿        
￿ ￿          
    ￿ ￿      
  ￿       ￿ ￿
               
        ￿ 
￿￿￿ ￿￿￿￿￿         ￿   ￿
2.2.2 Correlated losses modeled as a Markovian Ar-
rival Process
            ￿
          ￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿
      ￿￿￿           ￿
               
   ￿  ￿    
              
 ￿  ￿ ￿    ￿￿￿￿
          ￿￿ ￿￿￿ 
          ￿
  ￿   ￿     
       ￿   ￿  ￿     
      ￿  ￿  ￿  ￿      
   ￿    ￿      ￿￿ ￿  ￿ ￿
   ￿  ￿       ￿   
          ￿     
  ￿  ￿ ￿  ￿  ￿       ￿ ￿  ￿   ￿ ￿ ￿ ￿ ￿  ￿  
    ￿ 
 ￿
￿
￿
￿
￿
￿
  ￿ ￿ ￿ ￿ ￿
￿   ￿ ￿ ￿ ￿
￿ ￿   ￿ ￿ ￿
￿
￿
￿
￿
￿
￿
￿
￿
￿
￿
￿
￿
￿
￿
￿
￿
￿
￿
￿
￿
    ￿ 
 ￿ 
      
      ￿￿      ￿
      ￿￿  ￿ 
  ￿ 
 ￿ 
         ￿
          ￿  ￿
        ￿  ￿     ￿￿
 
 ￿  ￿  ￿
 ￿    
 ￿
￿       ￿
    ￿  ￿          
      ￿   ￿  ￿ ￿  ￿   
    ￿
￿  


￿       
          
   

￿ ￿ ￿ 

￿ 

￿ ￿
  


￿
 ￿￿
       ￿   
    


￿
 ￿￿
        
             ￿ 
 

￿ 


￿
 ￿￿
         ￿￿￿￿   ￿
      ￿￿￿￿
 ￿  ￿ ￿
￿


￿
     
￿
 ￿ ￿  ￿      ￿￿ ￿  ￿
￿ ￿

   ￿  ￿ ￿ ￿ ￿ ￿ 
￿ ￿
    ￿
               
     ￿  ￿     ￿
￿             
      ￿  ￿  ￿ ￿          ￿
    ￿ ￿    ￿  
           
 ￿   ￿￿￿￿


￿
￿￿￿ 

￿ 
￿
￿ ￿￿￿￿ 

￿ ￿ ￿


 ￿￿
 ￿  ￿    

 ￿    ￿￿￿￿
  ￿    ￿    
 
 ￿ 
￿
￿ ￿￿￿￿ 

￿ ￿  ￿ ￿


 ￿￿




 ￿ ￿ ￿


 ￿￿
 ￿ 

 ￿  ￿
￿ ￿
  ￿
￿￿￿￿
￿   ￿  ￿￿￿￿￿    ￿
   ￿         ￿
    ￿    ￿  ￿
 ￿ 

￿ ￿ ￿


￿ ￿ ￿   ￿  ￿
￿ ￿
  ￿ 
 ￿￿
￿ ￿ ￿
￿ ￿
￿ ￿￿￿￿
 ￿ 
￿

￿ ￿

￿

￿
￿ ￿ ￿   ￿  ￿
￿ ￿
  ￿ 
 ￿￿
￿ ￿ ￿
￿ ￿
 ￿￿￿￿
 ￿  ￿ ￿  ￿ 


 ￿ 
￿ ￿
￿
￿
￿ 
￿
￿ 

 ￿ 
￿
￿ ￿￿￿￿ 

￿ 


￿￿
￿ ￿
￿ ￿
 
 ￿ ￿

￿ ￿
 ￿ ￿￿￿￿
           ￿  ￿  
           ￿   
   ￿  ￿ ￿ 
￿ ￿
￿  ￿￿
￿
￿ ￿ 
￿ ￿
￿  ￿ 
￿
￿  ￿

￿ ￿
￿  ￿ ￿￿￿￿
       ￿ ￿
       ￿ ￿       ￿  ￿ ￿ 
 ￿ ￿ ￿
 ￿   ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿  ￿￿￿￿￿     
￿           

 ￿
  ￿￿       

    
   ￿ ￿
 ￿ 
￿

￿ ￿ ￿
￿
￿ ￿ ￿
￿
￿ ￿
 ￿￿￿￿
 ￿￿ 
￿

￿
￿
￿ ￿
￿
￿
￿ ￿ ￿
￿
￿ ￿ ￿ 
￿ ￿
￿ ￿ 
￿ ￿
 ￿  ￿ ￿  ￿
￿ ￿

￿ ￿
 ￿ 
￿￿￿￿
 ￿          
 ￿￿￿￿ ￿￿￿     ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿   ￿
   
￿

 ￿￿
￿

 ￿  ￿ ￿ ￿
￿ ￿

￿

 ￿￿
￿


 ￿ ￿

￿ ￿
 
M
M__
2
Transmission rate
Time
T
n
T
n+1
T
n+2
 ￿￿      
￿ ￿
￿ ￿
 ￿
￿

 ￿￿
￿




￿ ￿
  ￿ ￿ ￿
￿ ￿
 ￿  ￿ ￿  ￿
￿ ￿

￿ ￿
 
￿
￿  ￿￿￿￿        ￿
  ￿￿   

          ￿
￿         
 ￿ ￿
￿
￿
￿ ￿

￿ ￿ 
￿ ￿
￿
￿
￿

￿ ￿
 ￿  ￿ ￿  ￿
￿ ￿

￿ ￿
 ￿ ￿ ￿￿￿￿
2.3 Bounds for the model with transmission
rate limitation
            ￿
           
          
    ￿         
                
      ￿￿￿￿ ￿￿￿￿  ￿   ￿
￿          
        ￿     ￿ ￿ ￿ ￿ ￿    
            ￿
          ￿    
             
￿            
  ￿  ￿      
              
       ￿
            ￿
 ￿￿     ￿  ￿￿￿    
 ￿     

 ￿￿
￿  ￿ ￿
￿
￿


￿ ￿

￿ ￿ ￿￿￿￿
 ￿     ￿     
           
     ￿ 

￿ 
   
  ￿           
          
 ￿
            ￿
     

   ￿   ￿
 ￿￿    

     ￿
        
￿

 ￿  
   ￿     ￿￿￿￿￿
 ￿      
￿
     ￿￿￿

 ￿￿

 ￿ 
 

￿ 
￿

 ￿ ￿ ￿ ￿￿￿￿
 ￿      
￿
￿     


 ￿ 
￿
           ￿ ￿ ￿
 ￿ ￿        
    
￿  ￿

￿  ￿   ￿  ￿ ￿ ￿ ￿ ￿ ￿￿￿   ￿ 
￿  ￿

￿￿ ￿
  ￿ ￿  ￿    ￿ ￿          ￿￿￿￿￿
     ￿ 
￿  ￿

          
   ￿     ￿￿       

￿

￿   ￿ ￿￿￿￿      ￿ 
￿  ￿

￿
￿  ￿        

 
  
￿

     ￿      



￿

     
 
 ￿￿
￿ 
￿
 ￿￿
 ￿   ￿ ￿
￿
￿


￿ ￿

￿ ￿  ￿ ￿
￿
￿

￿

￿ ￿

￿ 
￿
￿
￿
 

￿ 
￿


            ￿    ￿
  ￿        ￿
￿
￿


￿ ￿

￿ 
￿
￿
￿

￿

￿ ￿

￿         ￿ 
     ￿        ￿
 ￿   ￿  ￿
￿
￿


￿ ￿

￿ ￿   ￿
￿
￿

￿

￿
￿

￿ ￿  ￿ 
 
 ￿￿
￿ 
￿
 ￿￿
 ￿  ￿ ￿
￿
￿

￿

￿ ￿

￿
￿ ￿
￿
￿


￿ ￿

￿ ￿ ￿
￿
￿

￿

￿ ￿

￿
￿
￿
￿
 

￿ 
￿

 ￿
 ￿
 

￿ 
￿

 ￿ ￿
￿ 
 
￿
￿ 
￿
￿
 ￿ ￿   ￿ ￿ ￿
   
￿
 
￿
￿
 ￿ ￿       
￿   ￿   ￿￿￿￿￿
￿
       ￿￿￿￿     

 ￿￿
￿
￿
￿


￿ ￿

￿ ￿  ￿
￿
￿


￿ ￿
 ￿ ￿ 

￿  ￿     
￿
￿


￿ ￿

￿

￿
￿ 
 ￿￿
￿
￿
￿


￿ ￿

￿  ￿
                
    ￿       ￿
   ￿        

￿
￿

 ￿￿
￿
￿
￿
￿


￿

￿
￿ ￿ ￿

￿ ￿
￿
￿
￿


￿ ￿ ￿

￿ ￿
￿ 

￿ ￿ ￿￿￿￿

￿

 ￿￿
￿
￿
￿
￿


￿  ￿ ￿ ￿

￿ ￿
￿
￿
￿


￿ ￿ ￿

￿
￿ 

￿ ￿ ￿￿￿￿
  ￿￿   

          
 ￿   
￿
￿
￿

￿
￿
￿

￿
￿     ￿ ￿ ￿
￿


￿ 

￿
￿


￿   ￿
￿ ￿
￿
 ￿  ￿ 

￿ ￿ ￿ ￿
￿
 ￿￿￿￿
     ￿ 

￿        
 ￿
￿
 ￿  ￿
￿


￿ ￿
￿
 ￿  ￿
￿


￿ ￿  
￿


￿￿

￿ ￿
￿ 

￿
￿


￿￿

￿
￿ 

￿
 ￿        
￿


￿ 

￿   
 ￿ ￿ ￿      ￿  ￿ ￿     


￿

￿ ￿
 

￿

￿ ￿
￿   

￿

￿ ￿
￿  

 ￿￿
￿
￿
￿


￿ ￿

￿
￿
￿
￿


￿ ￿

￿
￿

 ￿￿
￿
  

￿

￿ ￿
￿ 

 ￿￿
￿
￿
￿


￿ ￿  ￿
￿
￿


￿ ￿ ￿ ￿

￿
￿
￿
￿


￿ ￿  ￿
￿
￿


￿ ￿ ￿

￿
￿
￿
￿
￿


￿

￿
￿
￿
￿
￿


￿

￿
￿
￿

 ￿￿
 ￿    ￿  

￿  ￿ ￿
￿

 ￿￿
￿

 ￿￿
     ￿  ￿
 
￿


￿ 

    ￿ ￿ ￿   ￿  ￿
￿


￿ ￿
 ￿ 

￿    ￿ ￿ ￿
      ￿￿￿￿   ￿    

￿


   

       ￿   
    ￿  ￿         ￿
             
    ￿￿￿￿￿
￿
               ￿
￿
  ￿￿ 
￿

￿￿￿
￿￿  ￿￿
￿


￿
￿
￿ ￿
￿
 ￿  ￿ ￿￿  ￿
￿

 ￿ 


￿

￿

￿￿￿
￿￿  ￿￿
￿


￿
￿
￿ ￿
￿
 ￿  ￿ ￿￿  ￿
￿

 ￿ 


￿ ￿ ￿    
            
 ￿ ￿￿
￿
￿
 ￿￿￿ ￿
￿
￿
￿

￿￿￿
￿
￿

 ￿￿
￿
￿
 ￿￿
￿
 ￿  ￿ ￿￿
￿
￿ ￿￿￿￿
 ￿ ￿￿
￿
￿
 ￿￿￿ ￿
￿
￿
￿

￿￿￿
￿
￿

 ￿￿
￿
￿
 ￿￿
￿
 ￿  ￿ ￿￿
￿
￿ ￿￿￿￿
 ￿              
      ￿￿￿￿￿     

 
     ￿
￿
 ￿  ￿ ￿
￿
￿
￿
￿

￿

￿ ￿￿  ￿ ￿ 

￿
￿


￿ ￿
￿
￿
￿

￿

￿ ￿
￿


￿  ￿ ￿
￿


￿ 
 ￿￿
￿ ￿
￿￿￿￿

￿


￿ 

￿
￿


￿  ￿￿￿   ￿￿￿￿ 
          
￿


 ￿
 
￿

￿

￿ ￿
￿

 ￿￿
￿
￿
￿
￿

￿

 ￿ ￿ ￿ 
￿
 ￿  ￿￿￿￿        
￿

￿

￿   
M
M__
2
Transmission rate
Time
T
n
T
n+1
M
2
X(t)
X(t)
T
n
S
n
 ￿￿          
     
 ￿ ￿
￿
￿


￿
￿
 ￿  ￿  ￿ ￿ ￿
￿
￿


￿
￿
￿
 ￿  ￿  ￿
￿ ￿
￿
￿

￿

￿
￿
￿
￿

￿
￿
￿
￿ ￿ ￿  ￿


￿
￿

￿
￿
￿

￿
￿
￿
￿ ￿
￿

￿
￿  ￿
￿ ￿
￿
￿
￿
￿
￿

￿
￿
￿

￿
￿
￿
￿
￿

￿
￿
￿ ￿
￿
￿
￿

￿
￿
￿ ￿
￿

￿
￿￿ 
￿
￿
￿

￿
￿￿
￿ ￿
￿
￿
￿
￿
￿

￿
￿

￿
￿ ￿
￿

￿

￿
￿
￿
￿
￿

￿
￿
￿
￿ ￿
￿
￿
￿
￿
￿
￿

 ￿￿
￿
￿
￿
￿

￿

￿ ￿ ￿ 

￿
￿ ￿
￿

￿

￿
￿
￿
￿
￿

￿
￿
￿
￿ ￿￿
￿
￿

 ￿￿
￿
￿
￿
￿
 ￿￿
￿
 ￿  ￿ ￿￿ ￿
￿
 ￿￿￿ ￿
￿
￿
￿

￿￿￿
￿
￿
 ￿        ￿￿￿￿￿   
           ￿
￿
             ￿ 
       ￿￿￿   ￿ ￿ ￿ ￿ ￿ ￿ ￿  ￿
 ￿   ￿ ￿ ￿ ￿ ￿ ￿ ￿         ￿￿￿￿
   ￿  ￿ ￿           
                 
 ￿￿￿￿￿              ￿

 ￿  ￿
￿
￿
￿ ￿
￿￿￿￿
  ￿ ￿ ￿ ￿    ￿       ￿￿￿ ￿￿￿￿  ￿
 ￿￿￿￿               
         ￿ 
         
               ￿
2.3.1 Bounds for Poisson and IID cases
 ￿        ￿   
￿￿￿￿  ￿￿￿￿          
￿ ￿
￿
￿
￿ ￿ 
￿  ￿￿ ￿ ￿
￿
￿
 ￿
￿ ￿
￿
￿
￿ ￿ 
￿  ￿￿￿
￿
￿
  ￿ ￿￿￿          
     ￿      ￿ ￿
 ￿￿￿￿￿￿￿
            ￿
  
￿
 ￿  ￿ 
￿
 ￿  ￿    

￿
  
￿
    ￿           ￿
￿￿
￿
￿
 ￿￿￿ ￿
￿
￿
￿

￿￿￿
￿ 
￿

￿
￿
 ￿ ￿￿
￿
￿
 ￿￿￿ ￿
￿
￿
￿

￿￿￿
￿ 
￿

￿
2.3.2 Bounds for MAP loss process
    
￿
￿
￿
 ￿
￿

￿￿￿
￿
￿

￿￿￿

￿
 ￿  ￿ ￿
￿
 ￿  ￿ 
             
 ￿ ￿
￿
 ￿  ￿
￿


￿ ￿

￿
￿
￿

￿ ￿
￿  ￿ ￿ ￿  ￿ 
￿ ￿

￿
￿
￿

￿ ￿
￿  ￿      
￿ ￿ ￿  ￿  

￿ ￿
  ￿ 
￿ ￿
 ￿
￿
 ￿  ￿
￿


￿ ￿ ￿ ￿  ￿  

￿
  ￿ 
￿ ￿
 ￿
￿  ￿
￿

￿￿￿
￿ ￿
￿
￿

￿
 

￿ ￿
  
￿ ￿
 ￿ ￿￿ 

￿ ￿
  ￿  ￿ 
￿ ￿

￿
￿
￿

￿￿￿
￿ ￿
￿
￿ ￿

￿
 

￿
  
￿ ￿
 ￿ ￿￿ 

￿
  ￿  ￿ 
￿ ￿

￿
￿
  
￿
 ￿  ￿ 
￿
 ￿  ￿ ￿  ￿ ￿ ￿       ￿
 ￿￿￿￿￿
￿
 ￿  ￿ ￿

￿
￿
￿ ￿ ￿

￿
￿
￿

￿ ￿
￿ 
￿
￿ 

￿    
￿
  ￿ ￿ ￿
   

   
￿
￿ ￿ ￿ 

￿ ￿ ￿  ￿  

￿ ￿
  ￿ 
￿ ￿
 
 ￿ ￿

￿ ￿
 
￿
 ￿  ￿ ￿ ￿ ￿  ￿  

￿
  ￿ 
￿ ￿
 
 ￿ ￿

￿ ￿
 
   ￿ ￿ ￿     
￿
 ￿￿￿ ￿

￿
￿
￿

￿ ￿
￿  ￿ ￿        ￿
￿
￿
￿

￿ ￿
 

￿ ￿
  
￿ ￿
 ￿ ￿￿ 

￿ ￿
  ￿  ￿ 
￿ ￿

￿

￿
 ￿￿￿ ￿
￿
￿
￿

￿
 

￿
  
￿ ￿
 ￿ ￿￿ 

￿
  ￿  ￿ 
￿ ￿

￿

2.4 Modeling conservative TimeOuts
           ￿  
          
￿    ￿    ￿￿  
￿  ￿    ￿   ￿
    ￿      ￿
           ￿
    ￿            
        ￿  ￿
       ￿￿     ￿
         
           
        
 ￿               
       ￿￿￿
S
n
S
n+1
S
n+2
Time
T T
n+1 n+2
T
n
T
n+3
Transmission rate
S’
n+1
S’
n+2
S’
n
Z
 ￿￿          
                  
            ￿
     ￿￿     
  ￿       
            ￿
            
   ￿  ￿     
          ￿
 ￿
 
             ￿
              
 ￿ ￿ 

        ￿
          ￿  ￿￿
  

￿ 
 ￿￿
￿ 

￿           ￿ 
          

￿     


    ￿     ￿
 ￿       ￿    
     ￿     
         ￿   ￿   
           ￿
          ￿ 
            
     ￿￿￿    ￿￿  
 ￿       
     ￿    ￿    
        ￿￿  ￿      ￿
          
      ￿
￿     ￿  ￿￿

￿

￿
￿


     


￿        ￿
  ￿￿      
￿

 
￿
  ￿
￿
￿ ￿ ￿ ￿ 
￿

￿  
￿
￿  ￿ ￿  ￿ 
￿


￿
 ￿ 
￿ ￿  
     
 ￿ ￿
￿
￿ ￿

￿
￿￿￿
￿
￿
￿

 ￿￿
￿
￿


￿
￿  ￿￿￿￿ ￿ ￿
 
 ￿ ￿ ￿￿￿￿
 ￿          
￿

   ￿
     
￿

 ￿      
￿
              
 ￿  ￿ ￿￿                ￿
 ￿￿                
￿

 
   ￿
T ’
n
S’
n
S’
n+1
S’
n+2
T ’ T ’
n+1 n+2
T ’
n+3
Transmission rate
Time
 ￿￿          
      
           
   ￿       ￿￿    
       ￿￿￿￿  

   

￿

 

   
￿

￿      ￿￿ 
          

￿
￿ ￿
￿
￿ ￿

￿
￿￿￿
￿
￿
￿

 ￿￿
￿
￿


￿
￿  ￿￿ ￿
               
               
￿
               
   ￿￿ ￿  ￿  ￿
 
 ￿        
              ￿
 
 ￿
          ￿￿ ￿ ￿
 
 ￿

￿
￿
￿
 
 ￿ ￿    ￿￿￿￿￿
￿
￿
 
              
          
   ￿            ￿
               
￿       ￿￿￿￿￿    
         
￿

     ￿


￿
￿        ￿
 
    
   
 ￿ ￿     
        ￿        
  ￿
 
￿ ￿ ￿  ￿￿￿￿￿      
            ￿ 
 ￿             
               
    ￿        ￿    ￿￿￿￿￿￿
        ￿
￿
￿

￿
￿     
   ￿￿￿￿￿   
    ￿
3.MODEL VALIDATION
              
                 
       ￿
     ￿         ￿
         ￿     
             ￿￿￿     ￿
              ￿￿   
     ￿        
   ￿  ￿          
        ￿   ￿
             
  ￿    ￿     
 ￿           ￿
     ￿￿￿￿￿        
   ￿￿￿￿        ￿
3.1 Experimentation testbed
    ￿           ￿￿￿￿￿
     ￿   ￿   ￿
       ￿      
  ￿     ￿ ￿￿ ￿   
            ￿
       ￿     
            ￿   
￿ ￿￿ ￿￿          ￿ ￿￿
 ￿￿          ￿ ￿￿
￿￿ ￿￿        ￿￿￿￿   ￿ ￿
    ￿￿      ￿
      ￿￿         
      ￿￿   ￿     
  ￿     ￿  
  ￿￿  ￿     ￿￿   
￿    ￿   ￿    ￿
        ￿  ￿ ￿ ￿ ￿ ￿￿   
￿
￿ ￿
           
     ￿￿￿￿  ￿      
  ￿              
             ￿
 ￿ 

￿￿         ￿
            ￿ 
￿       

 
￿

￿  ￿
 ￿
 
  ￿          
 ￿￿
      ￿￿ ￿       
  ￿            ￿     
 ￿   ￿      ￿￿    ￿  ￿￿
         ￿   
     ￿    ￿     
￿￿          
            
       ￿  ￿     
           ￿￿￿￿￿   
     ￿         ￿
  ￿￿  ￿ ￿  ￿￿
 ￿         ￿
       ￿￿
     ￿     
       ￿     ￿
   ￿        
     ￿         ￿
         ￿   ￿￿￿ 
          
         ￿
       ￿   ￿￿￿  
            
  ￿      
            
   ￿          ￿
       ￿   ￿  
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
2200
2400
10.5
11
11.5
12
12.5
13
13.5
14
TCP throughput (Kbps)
Day time (hours)
INRIA - ESSI
Exact Fluid Model
Correlated losses
IID losses
Poisson losses
Deterministic losses
 ￿￿  
          ￿
         ￿   
        ￿  
    ￿        
         ￿   ￿
             
       ￿￿￿   
 ￿   ￿          ￿￿
       ￿￿       
        
     ￿      
            
   ￿             
 ￿  ￿   ￿      
        
             
          ￿  ￿
3.2 Validation of the model for losses
          ￿   
 ￿    ￿        
         ￿   ￿
     ￿      
       ￿￿￿   
 ￿   ￿ ￿     
￿ ￿  ￿  ￿  ￿
￿
     ￿￿￿￿  ￿      ￿
 ￿￿￿      ￿   
 ￿            
     ￿    ￿   
    ￿     ￿￿￿￿   
            
           
          ￿  ￿
          ￿   ￿
 ￿￿￿￿￿          ￿
￿    ￿￿￿￿￿
        ￿    
  ￿￿￿￿  ￿        ￿   
          ￿￿￿
         ￿    
       ￿ ￿  ￿  ￿
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
TCP throughput (Kbps)
Day time (hours)
INRIA - Paris
Exact Fluid Model
Correlated losses
IID losses
Poisson losses
Deterministic losses
 ￿￿  
20
40
60
80
100
120
140
160
180
10
12
14
16
18
20
22
24
TCP throughput (Kbps)
Day time (hours)
INRIA - Australia
Exact Fluid Model
Correlated losses
IID losses
Poisson losses
Deterministic losses
 ￿￿   
    ￿      ￿
         
              ￿   ￿ 
          ￿
 ￿           
    ￿    ￿    
 ￿           ￿
￿              
           ￿￿   
￿        
 ￿          
￿    ￿       ￿
   ￿        
        ￿ ￿
 ￿     ￿       
      ￿
      ￿        ￿ 
        ￿     
  ￿    ￿     
       ￿
3.3 Validation of the model for TCP
        ￿     
       ￿    
             ￿ 
        ￿ ￿￿  ￿
      ￿￿ ￿￿￿  ￿￿￿    
0
10000
20000
30000
40000
50000
60000
70000
1755
1760
1765
1770
1775
1780
Instantaneous TCP Window (Bytes)
Time (s)
Exact Fluid Model Window
Real Window
 ￿￿    ￿      

800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
2200
2400
10.5
11
11.5
12
12.5
13
13.5
14
TCP throughput (Kbps)
Day time (hours)
INRIA - ESSI
Exact Fluid Model
Deterministic losses
Packet level model
Real throughput
 ￿￿  
 ￿   ￿      
 ￿         ￿
￿       ￿    
   ￿         ￿￿  ￿
              
   ￿￿￿       
      ￿￿   
              
                
   ￿       
           
            ￿
           ￿
    ￿        
  ￿  ￿          
       ￿   ￿  ￿
   ￿       
   ￿        
    ￿  ￿￿￿     
 ￿    ￿      
   ￿   ￿    ￿  
          ￿
            ￿
 ￿  ￿       
             
200
400
600
800
1000
1200
1400
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
TCP throughput (Kbps)
Day time (hours)
INRIA - Paris
Exact Fluid Model
Deterministic losses
Packet level model
Real throughput
 ￿￿￿  
20
40
60
80
100
120
140
160
10
12
14
16
18
20
22
24
TCP throughput (Kbps)
Day time (hours)
INRIA - Australia
Exact Fluid Model
Deterministic losses
Packet level model
Real throughput
 ￿￿￿   
              ￿  ￿
 ￿             
       ￿         
   ￿￿￿￿      ￿ ￿
 ￿￿                  
                 ￿
        ￿    
             
   ￿￿￿￿￿    ￿  ￿      
    ￿           
    ￿  ￿   ￿ ￿ ￿￿    ￿     
           
     ￿ ￿￿￿￿    
  ￿￿￿￿            ￿
            ￿  ￿ 
 ￿ 
￿

￿ ￿               
                
             
￿       


￿
 ￿
￿
￿   
￿
 ￿ 
￿

￿ ￿   
￿  ￿ 

￿
￿
 ￿
￿

￿
￿
￿
￿￿￿ ￿ ￿ ￿
￿
￿  
  ￿      ￿￿ ￿￿￿  ￿￿
      ￿  ￿￿￿￿  
        ￿￿￿￿￿         
     ￿  
Number of packets in the network
Time
b.RTT RTT
1
Fluid model
Packet model
 ￿￿￿    ￿     
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
0
5
10
15
20
25
TCP throughput (Kbps)
Time (hours)
INRIA - Australia
Exact fluid model
Unbounded window model
Upper bound
Lower bound
Asymptotic approximation
 ￿￿￿   
           ￿
       ￿  ￿   
 ￿￿￿￿           ￿ 
         
  ￿ ￿    
         ￿ 
   ￿ ￿￿    
              
          ￿
3.4 Validation of bounds
               
￿              
       ￿     
     ￿ ￿￿￿￿ ￿      ￿
 ￿￿ ￿          
      ￿   
  ￿  ￿   ￿     
  ￿       
           
           ￿
            ￿￿   
     ￿   ￿    
        
  ￿￿￿￿￿         
        ￿  ￿  
        ￿  ￿  
           
           ￿￿￿
    ￿
4.CONCLUSIONS
   ￿         
     ￿     
          ￿
  ￿          
        ￿  ￿
                 
           ￿    
          ￿￿￿￿ ￿￿￿ ￿￿￿￿   ￿
             
    ￿         
   ￿
        ￿    ￿ 
              
￿￿              ￿
       ￿ ￿   ￿
            
 ￿       
        ￿   
    ￿    ￿     ￿
     ￿￿        
  ￿     ￿      ￿
    ￿     ￿  ￿
          ￿  
            
     ￿
5.ACKNOWLEDGMENTS
           ￿  
           
        ￿  
         
            
   ￿            ￿
         ￿
￿
6.REFERENCES
￿￿￿ ￿ ￿ ￿     ￿  ￿  ￿ ￿ 
    ￿￿    ￿  ￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿ ￿ ￿ ￿  ￿ ￿ ￿ ￿ ￿
￿  ￿  ￿  ￿ ￿ ￿ 
   ￿   ￿   ￿￿ ￿￿ 
         ￿  ￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿    ￿   ￿ ￿       
       ￿￿ ￿ ￿  ￿ ￿   ￿￿￿
 ￿￿￿￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿    ￿ ￿ ￿    ￿
 ￿      ￿￿
￿  ￿ ￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿  ￿ ￿ ￿  ￿  ￿ ￿ 
        ￿   ￿￿
    ￿   ￿￿￿  ￿￿  ￿￿￿￿￿￿
 ￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿  ￿ ￿ ￿ ￿  ￿  ￿ ￿
￿  ￿      ￿￿
  ￿  ￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿ ￿ ￿     ￿￿
 ￿￿   ￿ ￿￿￿￿￿
￿￿￿ ￿ ￿ ￿     
 ￿￿
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